分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象課件

現(xiàn)代電路理論姓名：學(xué)號：

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象第七章分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.1引言7.2非線性電路的分歧7.3非線性電路中的擬周期現(xiàn)象7.4非線性電路方程中的混沌現(xiàn)象分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.1引言1、非線性電路的穩(wěn)態(tài)解①平衡點(diǎn)②周期解③擬周期解④混沌解傳統(tǒng)的認(rèn)識：一個確定的電路（指電路中所有元件參數(shù)都是確定的，不包含任何隨機(jī)因素），其解也是確定的——即在兩組相近的初始條件下，其解也是相近的。近20年的發(fā)現(xiàn)：確定的非線性電路存在一種特殊穩(wěn)態(tài)解——這種形式的解既不是周期的，也不是擬周期的，而是在一定區(qū)域內(nèi)永不重復(fù)類似隨機(jī)的振蕩。這種振蕩對初始值極端敏感，不能從任一點(diǎn)預(yù)測未來的振蕩行為。這種非線性電路的解就稱為混沌。7.1引言分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.1引言2、分歧或分岔一個非線性電路產(chǎn)生周期、擬周期或混沌振蕩，必須滿足一定的電路參數(shù)條件。同一個非線性電路不同的參數(shù)，其解也不會一樣。當(dāng)非線性電路的參數(shù)發(fā)生變化，引起電路解的性質(zhì)發(fā)生質(zhì)的變化，例如由平衡點(diǎn)解變?yōu)橹芷谡袷幗?這種解的質(zhì)的變化就稱為分歧(bifurcation)或分岔，引起變化的參數(shù)稱為分歧參數(shù)。電路參數(shù)變化——解的性質(zhì)發(fā)生質(zhì)的變化——發(fā)生質(zhì)的變化稱為分歧。7.1引言分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象第七章分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.1引言7.2非線性電路的分歧7.3非線性電路中的擬周期現(xiàn)象7.4非線性電路方程中的混沌現(xiàn)象分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧7.2非線性電路的分歧主要內(nèi)容1、鞍結(jié)分歧2、過臨界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧1、分歧由電路參數(shù)發(fā)生（微小）改變而引起電路的解或相圖發(fā)生質(zhì)的變化。能引起分歧的參數(shù)稱分歧參數(shù)，而此參數(shù)值稱為分歧點(diǎn)。靜態(tài)分歧：平衡點(diǎn)的個數(shù)和穩(wěn)定性的變化。動態(tài)分歧：相平面軌道定性性質(zhì)的變化。局部分歧：討論平衡點(diǎn)或軌道附近相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。全局分歧：研究大范圍內(nèi)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。靜態(tài)分歧：鞍結(jié)分歧、跨臨界分歧等。動態(tài)分歧：霍普夫（Hopf）分歧、閉軌分歧、環(huán)面分歧、同宿或異宿分歧等等。無論是靜態(tài)分歧或者是動態(tài)分歧中的霍普夫(Hopf)分歧，只有平衡點(diǎn)是非雙曲平衡點(diǎn)時(shí)，才會有分歧現(xiàn)象發(fā)生。非雙曲平衡點(diǎn)意味著非線性電路對應(yīng)的線性化方程系數(shù)矩陣至少有一個具有零實(shí)部的特征值。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象電路如圖所示，非線性電阻的u-i特性為i=u2，以uC為狀態(tài)變量，則方程為7.2非線性電路的分歧令時(shí)，有分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧可見該電路的平衡點(diǎn)隨參數(shù)的變化而變化。特別當(dāng)＝0時(shí)，x=0是該電路的一個非雙曲平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化，由式給出，可以用平衡點(diǎn)隨分歧參數(shù)變化的圖7-2表示。這種平衡點(diǎn)或方程的解隨分歧參數(shù)變化的圖稱為分歧圖。由圖7-2可見，當(dāng)<0時(shí)，電路沒有平衡點(diǎn)，即電路不存在工作點(diǎn)；當(dāng)＝0時(shí)，有一個平衡點(diǎn)，而當(dāng)>0時(shí)，有二個平衡點(diǎn)，分別為。容易判斷是穩(wěn)定的， 是不穩(wěn)定的。這表示參數(shù)產(chǎn)在=0的附近變化時(shí)，電路平衡點(diǎn)的個數(shù)和軌道都發(fā)生了定性的變化，即發(fā)生了分歧，分歧點(diǎn)是（x，）=（0，0）。這種分歧稱為鞍結(jié)分歧。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧從圖7-3(b)可以看出，當(dāng)電流源電流IS<0時(shí)，電路工作點(diǎn)不存在；當(dāng)IS＝0時(shí)，有一個工作點(diǎn)；當(dāng)IS>0時(shí)，有兩個工作點(diǎn)。且工作點(diǎn)Q1處的動態(tài)電阻為正值，所以，該工作點(diǎn)是穩(wěn)定的；工作點(diǎn)Q2處的動態(tài)電阻為負(fù)值，該工作點(diǎn)是不穩(wěn)定的。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧為了能清楚地表明鞍結(jié)分歧相圖的變化，考慮圖7-4所示二階電路。此電路是圖1-1所示一階電路增加了一個RL電路，仍設(shè)非線性電阻的伏安特性為i＝v2，以電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量列出狀態(tài)方程：取歸一化值，設(shè)則有：

(1-2)

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧當(dāng)＝0時(shí)，式（1-2）有非雙曲平衡點(diǎn)。由于式（1-2）的第二式特征值實(shí)部不為零，因此其分歧由式（1-2)的第一式?jīng)Q定。但相平面上的鞍結(jié)點(diǎn)變化過程可以清楚地表示出來，如圖7-5所示。

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧7.2非線性電路的分歧主要內(nèi)容1、鞍結(jié)分歧2、過臨界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象2、過臨界分歧7.2非線性電路的分歧過臨界分歧可以用圖7-6所示一階電路來說明，電路的非線性電阻的伏安特性為壓控且i＝v2，以電容電壓為狀態(tài)變量的方程為即令，則有

（1-3）

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象2、過臨界分歧7.2非線性電路的分歧式（1-3）在＝0時(shí)，x=0的點(diǎn)是一個具有零特征值的非雙曲平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化，由式給出，如圖1-7所示。從圖中可見，<0時(shí)，電路有兩個平衡點(diǎn)x1=0和x2=當(dāng)。容易判定，x1=0的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。x2=的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；當(dāng)＝0時(shí)，僅有一個穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)>0時(shí)，與<0時(shí)相同，有兩個平衡點(diǎn)。但平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生了轉(zhuǎn)換，x1=0變成了不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，x2＝是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。在=0的鄰域內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，會導(dǎo)致平衡點(diǎn)的個數(shù)和穩(wěn)定性發(fā)生變化，因此，點(diǎn)（x，）=(0,0)就是分歧點(diǎn)，這種分歧稱為過臨界分歧。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象2、過臨界分歧7.2非線性電路的分歧與鞍結(jié)分歧相同，分歧過程也可以用電路靜態(tài)工作點(diǎn)的概念解釋。當(dāng)電容用開路代替后，受控源和非線性電路的伏安關(guān)系分別畫于圖7-8。當(dāng)＝0時(shí)，僅有工作點(diǎn)Q0，當(dāng)>0時(shí)，有工作點(diǎn)Q0和Ql，且Ql處的動態(tài)電阻為正值；當(dāng)＜0時(shí)，有工作點(diǎn)Q2和Q0，且Q2處的動態(tài)電阻為負(fù)值。這說明了平衡點(diǎn)穩(wěn)定性質(zhì)轉(zhuǎn)變的本質(zhì)。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧7.2非線性電路的分歧主要內(nèi)容1、鞍結(jié)分歧2、過臨界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象3、叉形分歧7.2非線性電路的分歧

討論叉形分歧的電路仍如圖7-6所示，但非線性電阻的伏安特性為i＝v3；以電容電壓為狀態(tài)變量時(shí)，狀態(tài)方程為同時(shí)令，有如下方程

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象3、叉形分歧7.2非線性電路的分歧

可以驗(yàn)證點(diǎn)（x，）=（0,0)是具有零特征值的非雙曲平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)電路的平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化，由式給出，如圖7-9所示。當(dāng)＜0時(shí)，電路有一個平衡點(diǎn)，x＝0，且是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)＝0時(shí)，x＝0也是一個平衡點(diǎn)，仍是穩(wěn)定的；當(dāng)>0時(shí)，電路有3個平衡點(diǎn)，這3個平衡點(diǎn)分別是和；

此時(shí)，不僅平衡點(diǎn)的個數(shù)發(fā)生了變化，而且穩(wěn)定性也發(fā)生了變化，時(shí)的x=0的平衡點(diǎn)在過分歧點(diǎn)后，由穩(wěn)定變成了不穩(wěn)定，并產(chǎn)生了兩個新平衡點(diǎn)；新產(chǎn)生的兩個平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。由于隨的變化，穩(wěn)定的平衡點(diǎn)在x-平面上描出的曲線像一把叉子，因此稱為叉形分歧。對應(yīng)叉形分歧的電路的靜態(tài)工作點(diǎn)隨產(chǎn)的變化求解過程如圖1-10所示。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象3、叉形分歧7.2非線性電路的分歧

當(dāng)時(shí)，僅有工作點(diǎn)Q0；當(dāng)>0時(shí)，有3個工作點(diǎn)，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2處的動態(tài)電阻都為正值，所以工作點(diǎn)是穩(wěn)定的。

分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧7.2非線性電路的分歧主要內(nèi)容1、鞍結(jié)分歧2、過臨界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象4、Hopf分歧:移相式RC振蕩電路7.2非線性電路的分歧Hopf分歧可以用RC正弦振蕩器說明。圖7-11所示為移相式RC振蕩電路，當(dāng)電路中反相放大器的電壓放大倍數(shù)k>29時(shí)，該電路中將產(chǎn)生穩(wěn)定的正弦振蕩，振蕩頻率，蕩幅度大小由放大器的飽和特性決定。分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象4、Hopf分歧:移相式RC振蕩電路設(shè)放大器的轉(zhuǎn)移特性為令7.2非線性電路的分歧分歧、擬周期與混沌現(xiàn)象7.2非線性電路的分歧系數(shù)矩陣的特征方程為：當(dāng)k=29時(shí)，，有一對實(shí)部為零的共扼復(fù)特征值。即k=29時(shí)，平衡點(diǎn)為非雙曲平衡點(diǎn)；當(dāng)k<29時(shí)，，且a(k)<0，w(k)>0，此時(shí)平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定雙曲平衡點(diǎn)；當(dāng)k>29時(shí)，，但a（k）＞0,即平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定雙曲平衡點(diǎn)。顯然k＝29是一個分歧點(diǎn)，當(dāng)k從k