重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試卷 Word版含解析

三峽名校聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)考高2025屆數(shù)學(xué)試卷命題人：云陽中學(xué)：張偉林審題人：云陽中學(xué)：賈少軍數(shù)學(xué)測(cè)試卷共4頁，滿分150分、考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：B.2.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義可得結(jié)果.【詳解】根根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：.故選：A.3.若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)重合，則的值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)為，故，故選：A4.在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延長(zhǎng)交于，得是中點(diǎn)，，然后由向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】延長(zhǎng)交于，如圖，則是中點(diǎn)，，，故選：C．5.希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的圓錐曲線為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為方程判斷.【詳解】解：方程即為方程表示：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的即可與到定直線的距離的比為5且大于1，所以其軌跡為雙曲線，故選：B6.已知圓與橢圓為橢圓的右頂點(diǎn)，由點(diǎn)作圓的兩條切線其夾角為，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意作圖，由點(diǎn)作圓的兩條切線，則,得，進(jìn)而得，即可得出離心率.【詳解】圓的圓心即為，半徑為，由題意作圖，由點(diǎn)作圓的兩條切線，∵兩條切線其夾角為，∴,∴，即，則，即，得，故選：C.7.已知點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得，即求的最小值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，即求的最小值，即圓上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率最小，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最小值，又斜率不存在時(shí)，，則斜率存在，設(shè)直線為，則，解得，則的最大值為.故選：B8.與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示，已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線與軸交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意，運(yùn)用三角形旁心的定義得出角相等，結(jié)合正弦定理，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊長(zhǎng)關(guān)系，再結(jié)合題意得到、、之間的關(guān)系后即可計(jì)算漸近線方程.【詳解】雙曲線中，所以，則，由三角形得旁心的定義可知分別平分，在中，，在中，，因?yàn)椋?，所以，，所以，同理可得，所以，而，故漸近線方程為：.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.不存在實(shí)數(shù)，使得 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量的模的計(jì)算公式A正確，根據(jù)向量垂直的條件B錯(cuò)誤，以及共線向量的相關(guān)判斷C正確，條件根據(jù)向量計(jì)算基本法則得出D錯(cuò)誤，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A中,由可得解得,故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中,由,可得，解得,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C中，若存在實(shí)數(shù)λ，使得則顯然λ無解，即不存在實(shí)數(shù)λ，使得故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D中，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）A.圓的圓心坐標(biāo)為 B.直線過定點(diǎn)C.直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為 D.直線與圓可以相離【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判定A正確；化簡(jiǎn)直線為，可判定B不正確；根據(jù)圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式，可判定C正確；根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，由圓，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以A正確；對(duì)于B中，由直線，可化為，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，所以B不正確；對(duì)于C中，由圓心坐標(biāo)為和定點(diǎn)，可得，根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線與圓相交且所截的弦長(zhǎng)最短，則最短弦長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D中，由直線恒過定點(diǎn)，且，即點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，所以D不正確.故選：AC.11.如圖所示幾何體，是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到，是圓弧的中點(diǎn)，是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得平面 D.存在點(diǎn)，使得平面【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，從而可得，推出矛盾；對(duì)于B，由平面可判斷；對(duì)于CD，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)即可計(jì)算判斷.【詳解】由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，如圖所示:對(duì)于A，因?yàn)椋?，則，又，則重合，因?yàn)槭菆A弧上的動(dòng)點(diǎn)，不可能重合，所以不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以?dāng)重合時(shí)，有，故B正確；對(duì)于C，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)，必有，故，，，設(shè)面的法向量為，則，，解得，，，故，若平面，則，解得，即是的中點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，當(dāng)時(shí)，平面，則，解得，又，所以不成立，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.當(dāng)，時(shí)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線B.當(dāng)，時(shí)，若平分，則C.的大小為定值D.設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)AB，可代入條件求出拋物線方程后計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，A選項(xiàng)驗(yàn)證三點(diǎn)縱坐標(biāo)可得，B選項(xiàng)中結(jié)合條件得到計(jì)算即可得；對(duì)CD，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得出兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系后，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即可得.【詳解】如圖所示：對(duì)A、B選項(xiàng)：由，平行于軸的，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入得點(diǎn)橫坐標(biāo)，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，由光學(xué)性質(zhì)可知平行于x軸，則、、三點(diǎn)縱坐標(biāo)都相同，所以、、三點(diǎn)共線，故A正確；由光學(xué)性質(zhì)可知平行于軸，平行于軸，則，有，平分，有，所以，，即，得，故B正確；對(duì)C、D選項(xiàng)：設(shè)為，、，由消去得：，恒成立，有，，，設(shè)，，而，，則，則，而，并不是定值，故C錯(cuò)誤；直線斜率，直線斜率，即，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.【答案】1.【解析】【分析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可得到答案.【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，注意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，本題是一道基礎(chǔ)題.14.已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為___________．【答案】14【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，從而可得，，得出答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得,即四邊形為矩形所以,由橢圓的定義可得，所以所以的周長(zhǎng)為：故答案為：1415.長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，可得，則，可得，設(shè)直線與所成角為，可得，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.設(shè)，是半徑為8的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為________（在直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線選擇）則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________．【答案】①.圓②.【解析】【分析】先再平面內(nèi)求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，再轉(zhuǎn)化到空間中，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球，從而得到兩球的交線即為點(diǎn)的軌跡．【詳解】設(shè)以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的垂直平分線為軸，，依題意可得，則，，由，則，又，即，則點(diǎn)P軌跡滿足，故點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑3的圓，轉(zhuǎn)化到空間中，當(dāng)點(diǎn)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，，不變，依然滿足，故空間中點(diǎn)的軌跡為以D為球心，半徑為3的球，又點(diǎn)在球上，故點(diǎn)在兩球的交線上，其軌跡為圓，球心距為，在中，，設(shè)邊上的高為，由等面積法得,即，解得，則點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)圓的半徑為，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：圓；．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度時(shí)，先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)，可直接求圓周長(zhǎng)；當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)，先求圓心角的大小，再計(jì)算弧長(zhǎng)．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)到的距離比到軸的距離大1（其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)不小于0）.（1）求曲線的方程；（2）是曲線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由條件列式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用焦半徑公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，由題意得，即，整理可得，即曲線的方程為；【小問2詳解】由拋物線方程得：，準(zhǔn)線方程為：，為中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由拋物線定義知：.18.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用線面夾角正弦值的計(jì)算公式求解即可；（2）由（1）得出平面的法向量和，然后利用向量直接求解點(diǎn)到面的距離即可.【小問1詳解】由題知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，，設(shè)直線與平面所成角為，平面法向量為，，則得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，向量，則.【小問2詳解】由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.一個(gè)火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心為圓心，半徑為400km的圓形區(qū)域內(nèi)，一輛運(yùn)輸車位于火山口的正東方向600km處準(zhǔn)備出發(fā)，若運(yùn)輸車沿北偏西60°方向以每小時(shí)km的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)：（1）運(yùn)輸車將在無人區(qū)經(jīng)歷多少小時(shí)？（2）若運(yùn)輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進(jìn)，為使該運(yùn)輸車成功避開無人區(qū)，求至少應(yīng)離火山口多遠(yuǎn)出發(fā)才安全？【答案】（1）5小時(shí)（2）800km【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，以火山口位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得弦長(zhǎng)，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由直線與圓相切，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】以火山口位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，記運(yùn)輸車從出發(fā)，點(diǎn)處開始進(jìn)入無人區(qū)，到處離開無人區(qū)，則圓方程為，由運(yùn)輸車沿北偏西60°方向運(yùn)動(dòng)，可得直線的斜率，則，即，因?yàn)榈降木嚯x為,則，所以經(jīng)歷時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).【小問2詳解】設(shè)運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全，此時(shí)運(yùn)輸車的行駛直線剛好與圓相切，且直線方程為，即，則到直線的距離，解得，即運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全.20.已知雙曲線：的離心率為，且過．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于的方程組，解得，即可得到雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理再化簡(jiǎn)得，即可得出直線恒過定點(diǎn)．【小問1詳解】根據(jù)題意可得，解得，，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，又所以，所以，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)．21.如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，如圖乙.（1）求證：；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若不存在，說明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】