滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第九章整式第一節(jié)整式的概念9.1.2.3、字母表示數(shù)代數(shù)式：用括號(hào)和運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是代數(shù)式。代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)：1、代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)通常寫(xiě)作“*”或省略不寫(xiě)，但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原則。2、數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫(xiě)在字母前面，而有理數(shù)要寫(xiě)在無(wú)理數(shù)的前面。3、帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。4、相同字母相乘通常不把每個(gè)因式寫(xiě)出來(lái)，而寫(xiě)成冪的形式。5、代數(shù)式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符號(hào)。代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。注意：1、代數(shù)式中省略了乘號(hào)，帶入數(shù)值后應(yīng)添加×。2、若帶入的值是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號(hào)。3、注意解題格式規(guī)范，應(yīng)寫(xiě)“當(dāng)…..時(shí)，原式=……..”.4、在實(shí)際問(wèn)題中代數(shù)式所取的值應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義。9.4整式1、由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。2、系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。3、單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。4、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。5、多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)6、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。9.5合并同類項(xiàng)1、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式合并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。3、合并同類項(xiàng)的法則是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。第二節(jié)9.6整式的加減：去括號(hào)法則：（1）括號(hào)前面是"＋"號(hào)，去掉"＋"號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的不變號(hào)；（2）括號(hào)前面是"－"號(hào)，去掉"－"號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。添括號(hào)法則（1）所添括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；（2）所添括號(hào)前面是“－”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。第三節(jié)整式的乘法9.7同底數(shù)冪的乘法、9.8冪的乘方、9.9積的乘方：①同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n(m、n都是正整數(shù))。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方與積的乘方（am）n=amn(m、n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（ab）n=anbn(n都是正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積。③同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n(a≠0,mn都是正整數(shù)，且m＞n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。a0=1（a≠0）11pa-p=(a≠0,p是正整數(shù))任何一個(gè)不等零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪，等這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。9.10整式的乘法：⑴單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。⑵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。⑶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。第四節(jié)、乘法公式9.11平方差公式①內(nèi)容：（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2②意義：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。③特征：Ⅰ.左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；Ⅱ.右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差；Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。④幾何意義：平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等的表達(dá)式。⑤拓展：Ⅰ.立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3；Ⅱ.立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ2＋…＋ａ2ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。9.12完全平方公式：①內(nèi)容：（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ；（ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。②意義：兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。③特征：Ⅰ.左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的２倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央。”Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。④推廣：Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc；Ⅱ.（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2；Ⅲ.（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。第五節(jié)因式分解⑴因式分解的意義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。注意：①因式分解的要求：Ⅰ.結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；Ⅱ.每個(gè)因式必須是整式；Ⅲ.各因式要分解到不能分解為止。②因式分解與整式乘法的關(guān)系：是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。9.13提取公因式法：①提公因式法分解因式：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。這里的ｍ可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，ｍ稱為公因式。確定公因式方法：系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。字母（或多項(xiàng)式因式）：取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪。9.14公式法②利用公式法分解因式：Ⅰ.平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。Ⅱ.完全平方公式：ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2；ａ2＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。Ⅲ.立方和與立方差公式：ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）；ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完全平方公式。9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法。ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。9.16分組分解法：Ⅰ.將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。Ⅱ.適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。④其他方法：.求根公式法：⑶因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題：①對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。②多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。整式除法：9.17同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，既：9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。注意：①兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，即注意：⑶整式的混合運(yùn)算：關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的?！鶅?nèi)容整理冪冪的運(yùn)算am·an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbnam÷an=am-n單項(xiàng)式的乘法乘法公式因式分解提公因式法公式法多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式的乘法多項(xiàng)式的乘法單項(xiàng)式的除法第十章分式10.1、（1）、分式的意義兩個(gè)整式A/B相除，即A÷B時(shí)，可以表示為A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如果一個(gè)分式的分母為零，那么這個(gè)分式無(wú)意義。10.2（2）、分式的基本性質(zhì)整式整式和分式統(tǒng)稱為有理式：：即有理式分式分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A÷C/B÷C（A,B,C為整式，且B、C≠0）①約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分．②分式的約分步驟：(1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個(gè)乘積的形式,將它們的公因式約去(2）分式的分子和分母都是將分子和分母分別,再將公因式約去.注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的,字母取分子和分母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.③④通分：把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分。⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡(jiǎn)公分母,再將所有分式的分母變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母.同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù),相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子.注:最簡(jiǎn)公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的及單獨(dú)字母的冪的乘積。注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。(2)分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過(guò)程。10.3、分式的運(yùn)算：①分式的乘法法則:兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd②分式的除法法則:Ⅱ.除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b÷c/d=a/b*d/c異分母分式通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。10.4分式的加減③同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c④異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.用字母表示為：a/b±c/d=ad±cb/bd10.5分式方程：①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.②分式方程的解法:Ⅰ.去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程);Ⅱ.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;Ⅲ.驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).10.6整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算※內(nèi)容整理分式分式的性質(zhì)分式分式的性質(zhì)分式運(yùn)算分式方程約分通分乘除法加減法第十一章圖形的運(yùn)動(dòng)1、平移定義和規(guī)律（1）平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移（Translation）。平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離叫做圖形平移的距離。關(guān)鍵：a.平移不改變圖形的形狀和大?。ㄒ膊粫?huì)改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。b.圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。（2）平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等。注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。（3）簡(jiǎn)單的平移作圖：平移作圖要注意：①方向；②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)按一定方向和一定的距離平行移動(dòng)。2、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律（1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)（Circumrotate）。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。關(guān)鍵：a.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。ǖ珪?huì)改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。b.圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。（2）旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。)注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。（3）簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)作圖：旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。3、圖案的分析與設(shè)計(jì)①首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運(yùn)動(dòng)變換而形成。②圖案設(shè)計(jì)的基本手段主要有：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角α滿足0<α<360）中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也叫做這兩個(gè)圖形成中興對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。7、軸對(duì)稱知識(shí)回顧（1）軸對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形（AxiallySymmetricFigure）。折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。（2）兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形沿某一條直線翻，能與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)。（3）注意：①軸對(duì)稱是說(shuō)兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；而軸對(duì)稱圖形是說(shuō)一個(gè)具有特殊形狀的圖形。②成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，必定是全等圖形。（4）軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等。（3）簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱作圖：求作一個(gè)幾何圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形，可以轉(zhuǎn)化為求作這個(gè)圖形上的特征點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱的點(diǎn)。后依次連結(jié)各特征點(diǎn)即可。圖形的平移旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形圖形的運(yùn)動(dòng)圖形的旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱軸對(duì)稱圖形圖形的翻折軸對(duì)稱軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系：軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)別①指兩個(gè)圖形而言；②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。①對(duì)一個(gè)圖形而言；②指一個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián)系①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。軸對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸：名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置線段是２條垂直平分線或線段所在的直線角是１條角平分線所在的直線長(zhǎng)方形是２條對(duì)邊中線所在的直線正方形是４條圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線不是０條第十二章實(shí)數(shù)第一節(jié)實(shí)數(shù)的概念12.1實(shí)數(shù)的概念有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)按如下方式分類：正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)負(fù)有理數(shù)實(shí)數(shù)正無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小。無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。第二節(jié)數(shù)的開(kāi)方12.2平方根和開(kāi)平方如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。求一個(gè)數(shù)ɑ的平方跟的運(yùn)算叫做開(kāi)平方，ɑ叫做被開(kāi)方數(shù)。一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。正數(shù)ɑ的兩個(gè)平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算術(shù)平方根)，讀作“根號(hào)a”；表示ɑ的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號(hào)ɑ”。零的平方根記作√0，√0=0.當(dāng)a>0時(shí)，（）2=a，（）2=a.當(dāng)a≥0時(shí)，=a;當(dāng)a≤0時(shí)，=－ɑ12.3立方根和開(kāi)立方如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用“”表示，讀作“三次根號(hào)ɑ”。中的ɑ叫做被開(kāi)方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)。求一個(gè)數(shù)ɑ的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方。正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方等于零，所以正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方根是零。任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根。12.4n次方根如果一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于ɑ，那么這個(gè)數(shù)叫做ɑ的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為ɑ的奇次方根；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為ɑ的偶次方根求一個(gè)數(shù)ɑ的n次方跟的運(yùn)算叫做開(kāi)n次方，ɑ叫做被開(kāi)方數(shù)，n叫做根指數(shù)。實(shí)數(shù)ɑ的奇次方根有且只有一個(gè)，用“”表示，其中被開(kāi)方數(shù)ɑ是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)n是大于1的奇數(shù)。正數(shù)ɑ的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“”表示，負(fù)n次方根用“－”表示，其中被開(kāi)方數(shù)ɑ>0，根指數(shù)n是正偶數(shù)（當(dāng)n=2時(shí)，在±中省略n)負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。零的n次方根等于零，表示為=0“”讀作“n次根號(hào)ɑ”第三節(jié)實(shí)數(shù)的運(yùn)算12.5用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)有理數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值、相反數(shù)意義：一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作∣ɑ∣.絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)ɑ的相反數(shù)是－ɑ。實(shí)數(shù)大小的比較：負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)。兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大。兩點(diǎn)間的距離：在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為ɑ、b，那么A、B兩點(diǎn)的距離AB=∣ɑ－b∣.12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)ɑ>0，b>0，可知（·）=（）2·（）2=ɑb。根據(jù)平方根的意義，得=·。同理：=近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度。對(duì)近似程度的要求，叫做精確度。對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。第四節(jié)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪=（ɑ>0）=（ɑ>0）其中m、n為正整數(shù)，n>1.有理數(shù)指數(shù)冪有下列性質(zhì)：設(shè)ɑ>b，b>0，P、q為有理數(shù)，那么（1）·=，=（2）=（3）本章小結(jié)有理數(shù)實(shí)數(shù)的分類無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算近似數(shù)及近似計(jì)算數(shù)的開(kāi)方分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)第十三章相交線、平行線第1節(jié)相交線13.1鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角相交線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線。對(duì)頂角的定義：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。鄰補(bǔ)角的定義：有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。垂線的定義：垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：垂線段最短。點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。同位角：兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角。內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。平行線的概念在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。13.2垂線1.垂線與斜線通過(guò)操作實(shí)踐，所得到的結(jié)果說(shuō)明垂線有這樣的基本性質(zhì)：在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)直線上或直線外地一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。2.點(diǎn)到直線的距離聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單地說(shuō)：垂線段最短。直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離。13．3同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角（三線八角）第2節(jié)平行線13.4平行線的判定兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）平行線具有以下基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)直線外地一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）13.5平行線的性質(zhì)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(兩直線平行，同位角相等)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。（對(duì)于直線、、,如果，那么。被稱為平行的傳遞性）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離都是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離。第十四章三角形第1節(jié)三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)14.1三角形的有關(guān)概念1.三角形的有關(guān)線段三角形的高，中線，角平分線2.三角形的分類銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和等于。三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角和等于。第2節(jié)全等三角形全等三角形的概念與性質(zhì)能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。兩個(gè)三角形是全等形，就說(shuō)它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形，經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)后一定重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形的判定判定方法1在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為S.A.S）。判定方法2在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為A.S.A）。判定方法3在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為A.A.S）。判定方法4在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為S.S.S）。ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。三角形全等的證明思路找?jiàn)A角——ＳＡＳⅠ.已知兩邊找直角——ＨＬ找另一邊——ＳＳＳ找邊的對(duì)角——ＡＡＳⅡ.已知一邊一角邊為角的鄰邊找?jiàn)A角的另一邊——ＳＡＳ找?jiàn)A邊的另一角——ＡＳＡ邊為角的對(duì)邊——找任意一角——ＡＡＳⅢ.已知兩角找?jiàn)A邊——ＡＳＡ找任意一邊——ＡＡＳ第3節(jié)等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱為“等腰三角形的三線合一”）。等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線。等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”）。等邊三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于。判定等邊三角形的方法：（1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。（2）有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形。ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。1、線段的垂直平分線：定理：⑴線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。2、等腰三角形：性質(zhì)：①等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”。②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊推論：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等，簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”。推論：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。定理：在