中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題19 瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡圓或圓弧型最值問(wèn)題（學(xué)生版）

專題7瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡圓或圓弧型最值問(wèn)題【專題說(shuō)明】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法:動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下;=1\*GB3①見(jiàn)直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形=2\*GB3②見(jiàn)定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識(shí)精講】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系【分析】圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系【分析】軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

【例題】1、如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82、如圖，在矩形紙片ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿EF所在直線翻折，得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()A．1 B．3 C．32 D4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．5、如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______.6、如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0在半圓SKIPIF1<0上，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上移動(dòng)，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在移動(dòng)的過(guò)程中，SKIPIF1<0的最小值是______．

7、如圖，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；①連結(jié)BD，求BD的最小值；②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．【解析】（1）由題意A（﹣2，5），對(duì)稱軸x=﹣=4，∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴B（10，5）．（2）①如圖1中，由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，∴當(dāng)O、D、