北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1 .1 探索勾股定理

1.1探索勾股定理

一.選擇題

1.如圖，△ABC中，NACB=90°,分別以三邊為底向形外作等腰直角三角形，它們的面

積依次為51、$2、S3,則下列關(guān)系式正確的是（）

A.S]>S2+S3B.&VS2+S3

222

C.S]=S2+S3D.S|=S2+S3

2.在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A、B、C三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB=2近B.ZBAC=90°

C.SAABC=1°D.點(diǎn)A到直線8c的距離是2

3.在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,則RtZ\ABC的斜邊AB上的高C￡)的

長(zhǎng)是（）

A.匹B.處C.9D.6

55

4.如圖，分別以直角AABC的三邊AB.BC、C4為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影

部分的面積為S”右邊陰影部分的面積為S2,則（)

B

A.Si>SzB.SiVS2

C.Si=&D.S|、S2大小不確定

5.如圖：三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形，圖形A的面積是（）

A.225B.144C.81D.無(wú)法確定

6.若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5a",12c",則斜邊上的高為（）

A.互:nzB.^-cmC.\3cmD.H/n

21360

7.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)為12和5,則第三邊的長(zhǎng)為（）

A.13或丁五§B.13或15C.13D.15

8.如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若BD

是△4BC的高，則8。的長(zhǎng)為（）

9.以直角三角形三邊作三個(gè)正方形，面積如圖所示，則正方形A的面積為（）

10

A.4B.6C.8D.10

10.若一直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和5,則第三邊長(zhǎng)為（）

A.3B.3或C.6或3D.7方

11.如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作正方形，面積分別為Si，S2,S3；如圖2,

分別以直角三角形三邊長(zhǎng)為直徑向外作半圓，面積分別為S4,S5,S6.其中Si=l,§2=3,

S5=2,§6=4,則S3+S4=（）

B.9C.8D.7

12.在△ABC中，AB=17,AC=\0,高AQ=8,則3c的周長(zhǎng)是（)

A.21B.36C.48D.36或48

13.如圖所示是某房屋頂框架的示意圖，其中AB=AC,ADA.BC,ZBAC=nO°,AD=

C

C.8〃?D.9/n

14.如圖，甲、乙、丙三個(gè)直角三角形中，斜邊最長(zhǎng)的是（)

2018

甲

2019

?-------------

2020

A.甲B.乙C.丙D.一樣長(zhǎng)

15.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成大正方形，若小正

方形的邊長(zhǎng)為3,大正方形邊長(zhǎng)為15,則一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是（)

A.45B.36C.25D.18

二.填空題

16.己知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5CTH和12c7”，則斜邊上的高為cm.

17.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,四邊形的頂點(diǎn)A,B,C,。都在格點(diǎn)上，則線段長(zhǎng)度

為^/15的是.

18.如圖，“人字梯”放在水平的地面上，AB=AC,當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角a為

60°時(shí)，兩梯角之間的距離BC的長(zhǎng)為2m.周日亮亮幫助媽媽整理?yè)Q季衣服，先使a為

60°,后又調(diào)整a為45°,則梯子頂端A離地面的高度下降了m.

19.如圖，在aABC中，AO_L8c于點(diǎn)￡>,8F平分NA8C交AO于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.AC

=17,AD=15,BC=28,則AE的長(zhǎng)等于.

20.一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7,則第三邊長(zhǎng)的平方為.

21.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為10和24,則第三邊長(zhǎng)是

22.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是2和4,則斜邊的長(zhǎng)是

23.四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形A8CD,過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，

圍成面積為2的小正方形EFG”.已知AM為RtAABM較長(zhǎng)直角邊，AM=4?EF,則

正方形ABCD的面積為.

24.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形的面積為84,中間小正方形的面積為

24,若直角三角形較長(zhǎng)直角邊為從較短直角邊為。，則〃+/>=.

25.如圖，在“趙爽弦圖”中，MABE、XBCF、△C￡>G和△D4H是四個(gè)全等的直角三角

形，四邊形4BCO和四邊形E尸GH都是正方形.若A”=l,EF=\,則正方形ABC。的

面積為.

26.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,以點(diǎn)8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于

￡>:以點(diǎn)A為圓心，A。長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E,連接CD

(1)若/A=28°,求/AC。的度數(shù)；

(2)設(shè)8C=3,AC=4.求AO的長(zhǎng).

27.等腰△ABC的面積為30,其中一邊AB的長(zhǎng)為10,另外兩邊為BC、AC,請(qǐng)你求出BC2,

AC2的值.

28.如圖，已知等腰△ABC,AB=AC,BC=Ji5,AB=5,求AC邊上的高8。的長(zhǎng).

29.勻股定理被帶為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位.它是初中數(shù)

學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中常常運(yùn)用到的重

要知識(shí)，因此學(xué)好勾股定理非常重要.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然”，所

以，我們要學(xué)會(huì)勾股定理的各種證明方法.請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：

已知：如圖，四邊形4BCZ）中，BDLCD,于點(diǎn)E,且aABE絲△BCZX求證：

AB2=BE1+AE1.

30.勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖

擺放時(shí)，也可以用面積法來(lái)證明，請(qǐng)將下面說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：

證明：連接。8,過(guò)點(diǎn)。作BC邊上的高。凡交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)尸，

則四邊形。以方為長(zhǎng)方形，所以DF=EC=.（用含字母的代數(shù)式表示）

;

因?yàn)镾四邊形ABCD=SAACD+—+—ab

22

S四邊形ABCD=SAADB+.=c.

2+

所以_______

參考答案

選擇題

1.解：如右圖所示，

△4BC中，NACB=90°,分別以三邊為底向形外作等腰直角三角形,

C

C?5/

/.5|=—J,

24

2

同理可得，S2==,$3二「，

44

VZACB=90°，

.2%2_2

??Q+b—c

?*?5)=S2+S3,

故選：C.

2.解：由題意可得，

AB—,2^+^2—故選項(xiàng)A正確：

AC={]2+22=V5>

BC=：V32+42=5,

:.AB2+AC1=BC1,

.??△ABC是直角三角形，NBAC=90°,故選項(xiàng)8正確;

S&ABC=.'AC=2立X近=5)故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

22

作AD_LBC于點(diǎn)D,

則BOAD=5,

2

即5XAD=5,

2

解得,AD=2,

即點(diǎn)A到直線6c的距離是2,故選項(xiàng)。正確;

故選：C.

3.解：在Rt/XABC中，NACB=90°,BC=6,AC=8,

由勾股定理得，A.B—寸AC2+BC2=g§2+82=10,

△4BC的面積=JLXBCX4C=LxABXCD,即=Ax6X8=Ax10XCD,

2222

解得，cr>=21,

5

故選：B.

4.解：:△ABC為《△,

:.AB2=AC2+BC2

又,.,5=工11爐，

2

/.5|=An（細(xì)_）2,

22

S2=U（蛆）2+%（BC）2=11r（AC^BC%=%（AB）2=$,

22222422

?"?S|=S2-

故選：c.

5.解：直角三角形的直角邊的平方=225-144=81,

圖形4的面積是81.

故選：C.

6.解：?.?在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為5cm,12cm,

...斜邊長(zhǎng)2=5?+122=169,

斜邊長(zhǎng)=5/169=13（cm）.

設(shè)斜邊上的高為人，則S=[X5X12=Lxi3/?,

22

,^5X12.=60（5）.

1313

故選：B.

7.解：；一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)為12和5,

.?.第三邊的長(zhǎng)為石聲南=13.

故選：C.

8.解：由題意可得，

△4BC的面積是：3X4-2>S1_2X4_22S1=4,

222

???BQ是aABC的高，AC=J22+42=2A/5,

.BDX2V5-4

??---------4+,

2_

解得，80=2返，

5

故選：A.

在直角三角形8C￡>中，BC2+BD2=CD1,

.?.B￡>2=10-4=6,

正方形A的面積為6,

故選:B.

10.解：①當(dāng)4和5都是直角邊時(shí)，則第三邊是萬(wàn)普=?1；

②當(dāng)5是斜邊時(shí)，則第三邊是小二於=3.

故第三邊長(zhǎng)為3或女.

故選:B.

11.解：如右圖所示，

222

：S|=J,S2=",s3=c,a+b=c-,

.,.S]+S2=S3，

同理可得，S5+S6=S4，

?S|=1,S[=3,S$=2,$6=4,

，S3+S4=(1+3)+(2+4)=4+6=9,

故選：B.

圖1

是8C邊上的高，

AZADB=ZADC=90°,

BD=VAB2-AD2=V172-82=A'CD"VAC2-AD2=V102-82=6,

BC=BD+CD=15+6=21；

此時(shí)，ZXABC的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC=17+10+21=48.

②如圖2所示：

同①得：BD=\5,CD=6,

：.BC=BD-CD=]5-6=9；

此時(shí)，ZiABC的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC=17+10+9=36.

綜上所述：XABC的周長(zhǎng)為48或36.

故選：D.

13.解：?.,在△ABC中，AB=AC,ADrBC,NBAC=120°.

：.ZB=ZC=(180°-120°)4-2=30°,

AZBAD=^ZBAC=60°；

2

在△ABC中，AD=3.5m,ZC=30°,

.?.A3=2AO=7〃？.

故選：B.

14.解：由勾股定理可知甲、乙、丙三個(gè)直角三角形中，斜邊的平方分別為：

甲:(2018+2019)2+202()2；

乙：(2018+2020)+2019-；

丙：(2019+2020)2+20182.

V(2018+2019)2+20202-[(2018+2020)2+20192J

=40372+20202-40382-20192

=(40372-40382)+(20202-20192)

=(4037+4038)(4037-4038)+(2020+2019)(2020-2019)

=-8075+4039

=-4036<0,

.??甲的斜邊的小于乙的斜邊；

,:(2018+2020)2+20192-[(2019+2020)2+20182]

=40382+20192-40392-20182

=(40382-40392)+(20192-20182)

=(4038+4039)(4038-4039)+(2019+2018)(2019-2018)

=-8077+4037

--4040

V0,

.??乙的斜邊的小于丙的斜邊，

斜邊最長(zhǎng)的是丙.

故選：C.

15.解：設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為“和江

由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b=3,

根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上小正方形的面積可知:

225=4x4+9,

2

所以2ab=216,

根據(jù)勾股定理，得J+/=i52,

所以(a+b)2=a+l^+lab=225+216=441,

因?yàn)閍+b>0,

所以a+h=2\,

所以21+15=36.

所以一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是36.

故選：B.

填空題

16.解：???直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5c,"和12cm,

二斜邊長(zhǎng)為：^52+122=13c/n,

設(shè)斜邊上的高為XC〃2,

則5X12J3x.

22

解得，尸毀，

13

即斜邊上的高為獨(dú)力，

13

故答案為：60.

13

17.解：AB=N§2+]2=']0,8c=3,CD={]2+]2=AD=寸22+32=7]3,

故長(zhǎng)度為行的線段是A8,

故答案是：AB.

18.解：如圖1所示：

過(guò)點(diǎn)A作AOJ_BC于點(diǎn)。，

由題意可得：N8=NC=6O°,

則△A8C是等邊三角形，

i^BC=AB=AC=2m,

則A￡)=2sin60°

如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E,

由題意可得：NB=NC=60°,

則△A8C是等腰直角三角形，AC=A8,

則AE=%C=1m，

2

故梯子頂端離地面的高度4。下降了（JE-I）m.

故答案為：（A/^-1）.

'：AD=15,AC=11,

'￡>C=VAC2-AD2=7172-152=8,

VBC=28,

???3Q=28-8=20,

由勾股定理得：AB=yj<20^+15=25,

過(guò)點(diǎn)E作EG1AB于G,

平分/ABC,ADA.BC,

：.EG=ED,

在Rt^BDE和RtABG￡中，

..JEG=ED,

,IBE=BE，

：.Rt/\BDE^Rt/\BGE(HL),

：.BG=BD=20,

：.AG=25-20=5,

設(shè)AE=x,則ED=15-x,

；.EG=15-x,

RtAAGE中，X2=52+(15-x)2,

x=^~,

3

：.AE=2L.

3

故答案為：25.

3

20.解：當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，則有第三邊的平方=3?+72=58；

當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，則有第三邊的平方=7?-32=40.

則第三邊長(zhǎng)的平方為58或40.

故答案是：58或40.

21.解：?.?直角三角形的兩條直角邊分別為10和24,

第三邊長(zhǎng)=VIQ2+242=26-

故答案是：26.

22.解：由勾股定理得，斜邊=五號(hào)7=2而，

故答案為：2代.

23.解：設(shè)AM=2a.BM=b.則正方形4BCD的面積=4/+/,

由題意可知七尸二(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,

"：AM=4\/3PF,

2fl=，

**?a—2,

；正方形EFGH的面積為2,

./=2,

正方形ABCD的面積=4j+b2=i3b2=26,

故答案為：26.

24.解：根據(jù)題意得：。2=“2+/=84,4xL〃=84-24=60,即2"=60,

2

貝lj(a+h)2=a2+2ah+b2=84+60=144,

〃+/?=12,

故答案為：12.

25.解：'：△ADHQXBAE,

：.BE=AH=\,

;四邊形EFGH都是正方形，

：.HE=EF=\,

.?.AE=2,

在直角三角形A8E中，由勾股定理得到：AB2=AE1+BE1=22+l2=5,

正方形A8CZ）的面積=4〃=5,

故答案為：5.

三.解答題

26.解：(1)VZACD=90°,ZA=28°,

：.ZB=62°.

?:BD=BC,

：.NBCD=ZBDC=M1■_膽—=59°.

2

：.ZACD=90°-ZBCD=90°-59°=31°；

(2)VZACB=90°,8C=3,AC=4,

由勾股定理得：AB=JAC2+BC2={+z2=5,

*：AB=AD+BD9BD=BC=3,

：.AD=5-3=2.

27.解：過(guò)點(diǎn)C作。。_LAB于。，

:△ABC的面積為30,

；.Jo<A8XC￡>=30,即工X10X8=30,

22

解得，CD=6,

如圖I,當(dāng)AB為底邊，CA=C8時(shí)，

VCDLAB,

：.AD=DB=1AB=5,

2

：.AC1^BCi^52+61^6l；

當(dāng)AB為腰，且△42C為銳角三角形，AB=AC=10時(shí)，如圖2,

則AC1=AB2=\0Q,

在Rt△ACD中,AD={AC2_‘D2=V100_36=8>

貝ijBD=AB-AD=2,

/.BC2=CD2+BD2=40；

當(dāng)AB為腰，且△ABC為鈍角三角形，AB=BC=10時(shí)，如圖3,

則BC1^AB2=]W,

由勾股定理得，BD=^BC2_CD2=8,

：.AD=AB+BD=\S,

.,.AC2=AD2+CD2=360,

綜上所述，fiC2,AC2的值分別為61,61或40,100或100,360.

圖3