第三章空間向量與立體幾何-導(dǎo)學(xué)案

1第三章空間向量與立體幾何導(dǎo)學(xué)案3、1、1空間向量及其運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2、會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；3、能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P84~P86，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或長(zhǎng)度）；叫零向量，記著；叫單位向量、叫相反向量，的相反向量記著、叫相等向量、向量的表示方法有，，和共三種方法、復(fù)習(xí)2：平面向量有加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：1、向量的加法和減法的運(yùn)算法則有法則和法則、2、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)量，記作，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝、(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與A、；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與A、；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝、3、向量加法和數(shù)乘向量，以下運(yùn)算律成立嗎？加法交換律：a＋b＝b＋a加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的相關(guān)概念問(wèn)題：什么叫空間向量？空間向量中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？新知：空間向量的加法和減法運(yùn)算：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，變?yōu)閮蓚€(gè)平面向量的加法和減法運(yùn)算，例如右圖中，，，試試：1、分別用平行四邊形法則和三角形法則求、2、點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，且,則,、反思：空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律嗎？⑴加法交換律：A、+B、=B、+a；⑵加法結(jié)合律：(A、+b)+C、=A、+(B、+c)；⑶數(shù)乘分配律：λ(A、+b)=λA、+λb、※典型例題例1已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：變式：在上圖中，用表示和、小結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量、例2化簡(jiǎn)下列各式：⑴;⑵⑶⑷、變式：化簡(jiǎn)下列各式：⑸;⑹;⑺、小結(jié)：化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法既可轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加法和減法可以轉(zhuǎn)化、※動(dòng)手試試練1、已知平行六面體,M為AC與BD的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：⑴;⑵;⑶⑷、三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、空間向量基本概念；2、空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律※知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、下列說(shuō)法中正確的是（）A、若∣∣=∣∣，則，的長(zhǎng)度相同，方向相反或相同;B、若與是相反向量，則∣∣=∣∣;C、空間向量的減法滿(mǎn)足結(jié)合律;D、在四邊形ABCD中，一定有、2、長(zhǎng)方體中，化簡(jiǎn)=3、已知向量，是兩個(gè)非零向量，是與，同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（）A、B、或C、D、∣∣=∣∣4、在四邊形ABCD中，若,則四邊形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四邊形5、下列說(shuō)法正確的是（）A、零向量沒(méi)有方向B、空間向量不可以平行移動(dòng)C、如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D、同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量課后作業(yè)1、在三棱柱ABC-ABC中，M,N分別為BC,BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列式子：⑴+⑵－+2、如圖，平行六面體中，點(diǎn)為與的的交點(diǎn)，，，，則下列向量中與相等的是（）A、B、C、D、3、1、2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)式化簡(jiǎn)；2、理解共線(xiàn)向量定理和共面向量定理及它們的推論；3、能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P86~P87，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：化簡(jiǎn)：⑴5（）+4（）；⑵、復(fù)習(xí)2：在平面上，什么叫做兩個(gè)向量平行？在平面上有兩個(gè)向量，若是非零向量，則與平行的充要條件是二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的共線(xiàn)問(wèn)題：空間任意兩個(gè)向量有幾種位置關(guān)系？如何判定它們的位置關(guān)系？新知：空間向量的共線(xiàn)：1、如果表示空間向量的所在的直線(xiàn)互相或，則這些向量叫共線(xiàn)向量，也叫平行向量、2、空間向量共線(xiàn)：定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（），的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得推論：如圖，l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是試試：已知，求證:A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)、反思：充分理解兩個(gè)向量共線(xiàn)向量的充要條件中的，注意零向量與任何向量共線(xiàn)、※典型例題例1已知直線(xiàn)AB，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB外一點(diǎn)，若，且x+y＝1，試判斷A,B,P三點(diǎn)是否共線(xiàn)？變式：已知A,B,P三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB外一點(diǎn)，若，那么t＝例2已知平行六面體，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在對(duì)角線(xiàn)AC上，且CG:GA=2:1,設(shè)=，，試用向量表示向量、變式1：已知長(zhǎng)方體，M是對(duì)角線(xiàn)AC中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：⑴;⑵⑶變式2：如圖，已知不共線(xiàn)，從平面外任一點(diǎn)，作出點(diǎn),使得：⑴⑵⑶⑷、小結(jié)：空間向量的化簡(jiǎn)與平面向量的化簡(jiǎn)一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點(diǎn)，并且要注意向量的方向、※動(dòng)手試試練1、下列說(shuō)法正確的是（）A、向量與非零向量共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)；B、任意兩個(gè)共線(xiàn)向量不一定是共線(xiàn)向量；C、任意兩個(gè)共線(xiàn)向量相等；D、若向量與共線(xiàn)，則、2、已知，，若，求實(shí)數(shù)三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則及它們的運(yùn)算律；2、空間兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件及推論、※知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、下列說(shuō)法正確的是（）A、與非零向量共線(xiàn),與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)B、任意兩個(gè)相等向量不一定共線(xiàn)C、任意兩個(gè)共線(xiàn)向量相等D、若向量與共線(xiàn)，則2、正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若,則x＝，y＝，z＝、3、若點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB外，則+、4、平行六面體,O為AC與BD的交點(diǎn),則5、已知平行六面體，M是AC與BD交點(diǎn)，若，則與相等的向量是（）A、；B、；C、；D、、課后作業(yè)：3、1、2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)式化簡(jiǎn)；2、理解共線(xiàn)向量定理和共面向量定理及它們的推論；3、能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P86~P87，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：什么叫空間向量共線(xiàn)？空間兩個(gè)向量，若是非零向量，則與平行的充要條件是復(fù)習(xí)2：已知直線(xiàn)AB，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB外一點(diǎn)，若，試判斷A,B,P三點(diǎn)是否共線(xiàn)？二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的共面問(wèn)題：空間任意兩個(gè)向量不共線(xiàn)的兩個(gè)向量有怎樣的位置關(guān)系？空間三個(gè)向量又有怎樣的位置關(guān)系？新知：共面向量：同一平面的向量、2、空間向量共面：定理：對(duì)空間兩個(gè)不共線(xiàn)向量，向量與向量共面的充要條件是存在，使得、推論：空間一點(diǎn)P與不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是：⑴存在，使⑵對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有試試：若空間任意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C滿(mǎn)足關(guān)系式,則點(diǎn)P與A,B,C共面嗎？反思：若空間任意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C滿(mǎn)足關(guān)系式,且點(diǎn)P與A,B,C共面，則、※典型例題例1下列等式中，使M,A,B,C四點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)是（）①②③④、A、1B、2C、3D、4變式：已知A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，若向量則P,A,B,C四點(diǎn)共面的條件是例2如圖，已知平行四邊形ABCD,過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線(xiàn)OA,OB,OC,OD,在四條射線(xiàn)上分別取點(diǎn)E,,F,G,H,并且使求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面、變式：已知空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D不共面，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面、小結(jié)：空間向量的化簡(jiǎn)與平面向量的化簡(jiǎn)一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點(diǎn)，并且要注意向量的方向、※動(dòng)手試試練1、已知三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？練2、已知，，若，求實(shí)數(shù)三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則及它們的運(yùn)算律；2、空間兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件及推論、※知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A、有相同起點(diǎn)的向量B、等長(zhǎng)向量C、共面向量D、不共面向量、2、正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若,則x＝，y＝，z＝、3、若點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB外，則+、4、平行六面體,O為AC與BD的交點(diǎn),則、5、在下列命題中：①若a、b共線(xiàn)，則a、b所在的直線(xiàn)平行；②若a、b所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc、其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）、A、0B、1C、2D、3課后作業(yè)：1、若，，若，求實(shí)數(shù)、2、已知兩個(gè)非零向量不共線(xiàn),、求證：共面、3、1、3、空間向量的數(shù)量積（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2、掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P90~P92，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：什么是平面向量與的數(shù)量積？復(fù)習(xí)2：在邊長(zhǎng)為1的正三角形⊿ABC中，求、二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì)問(wèn)題：在幾何中，夾角與長(zhǎng)度是兩個(gè)最基本的幾何量，能否用向量的知識(shí)解決空間兩條直線(xiàn)的夾角和空間線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題？新知：1)兩個(gè)向量的夾角的定義：已知兩非零向量，在空間一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作、試試：⑴范圍:=0時(shí),;=π時(shí),⑵成立嗎？⑶，則稱(chēng)與互相垂直，記作、2)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即、規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零、反思：⑴兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？⑵（選0還是）⑶你能說(shuō)出的幾何意義嗎？3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）設(shè)單位向量，則、（2）、（3）＝、4)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）、（2）（交換律）、（3）（分配律反思：⑴嗎？舉例說(shuō)明、⑵若，則嗎？舉例說(shuō)明、⑶若，則嗎？為什么？※典型例題例1用向量方法證明：在平面上的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直、變式1：用向量方法證明：已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)為，且、求證：、例2如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值變式：如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（）A、60B、90C、105D、75例3如圖，在平行四邊形ABCD-ABCD中，,,,==60,求的長(zhǎng)、※動(dòng)手試試練1、已知向量滿(mǎn)足，，，則____、練2、,則的夾角大小為_(kāi)____、三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、、向量的數(shù)量積的定義和幾何意義、2、向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的運(yùn)用、※知識(shí)拓展向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問(wèn)題，求兩條直線(xiàn)的夾角和線(xiàn)段長(zhǎng)度的新方法、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、下列命題中：①若，則，中至少一個(gè)為②若且，則③④正確有個(gè)數(shù)為（）A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)2、已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（）A、B、C、D、3、已知中，所對(duì)的邊為，且,,則=4、已知，，且和不共線(xiàn)，當(dāng)與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍是、5、已知向量滿(mǎn)足，，，則____課后作業(yè)：1、已知空間四邊形中，，，求證：、2、已知線(xiàn)段AB、BD在平面內(nèi),BD⊥AB,線(xiàn)段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D間的距離、3、1、4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；2、掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P92-96找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：平面向量基本定理：對(duì)平面上的任意一個(gè)向量，是平面上兩個(gè)向量，總是存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得向量可以用來(lái)表示，表達(dá)式為，其中叫做、若，則稱(chēng)向量正交分解、復(fù)習(xí)2：平面向量的坐標(biāo)表示：平面直角坐標(biāo)系中，分別取x軸和y軸上的向量作為基底，對(duì)平面上任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得，，則稱(chēng)有序?qū)橄蛄康?，即＝、二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的正交分解問(wèn)題：對(duì)空間的任意向量，能否用空間的幾個(gè)向量唯一表示？如果能，那需要幾個(gè)向量？這幾個(gè)向量有何位置關(guān)系？新知：1空間向量的正交分解：空間的任意向量，均可分解為不共面的三個(gè)向量、、，使、如果兩兩，這種分解就是空間向量的正交分解、(2)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得、把的一個(gè)基底，都叫做基向量、反思：空間任意一個(gè)向量的基底有個(gè)、⑶單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相，長(zhǎng)度都為，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示、⑷空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著、⑸設(shè)A，B，則＝、⑹向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a＝，b＝，則⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷ab＝、試試：1、設(shè)，則向量的坐標(biāo)為、2、若A，B，則＝、3、已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，ab※典型例題例1已知向量是空間的一個(gè)基底，從向量中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？變式：已知O,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O,A,B,C是否共面？小結(jié)：判定空間三個(gè)向量是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底的方法是：這三個(gè)向量一定不共面、例2如圖，M,N分別是四面體QABC的邊OA,BC的中點(diǎn)，P,Q是MN的三等分點(diǎn)，用表示和、變式：已知平行六面體，點(diǎn)G是側(cè)面的中心，且，，試用向量表示下列向量:⑴⑵、※動(dòng)手試試練1、已知，求：⑴；⑵、練2、正方體的棱長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，、三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、空間向量的正交分解及空間向量基本定理；2、空間向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算※知識(shí)拓展建立空間直角坐標(biāo)系前，一定要驗(yàn)證三條軸的垂直關(guān)系，若圖中沒(méi)有建系的環(huán)境，則根據(jù)已知條件，通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)創(chuàng)造建系的圖形、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的是（）A、B、C、D、2、設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是3、在三棱錐OABC中，G是的重心（三條中線(xiàn)的交點(diǎn)），選取為基底，試用基底表示＝4、正方體的棱長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1中點(diǎn)，則E的坐標(biāo)是、5、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，當(dāng)t＝時(shí)，的模取得最大值、課后作業(yè)1、已知,求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度、2、已知是空間的一個(gè)正交基底，向量是另一組基底，若在的坐標(biāo)是，求在的坐標(biāo)、3、1、5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2、會(huì)用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P95~P97，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，則線(xiàn)段︱AB︱＝、復(fù)習(xí)2：已知，求：⑴a＋B、⑵3a－b；⑶6A、；⑷ab、二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量坐標(biāo)表示夾角和距離公式問(wèn)題：在空間直角坐標(biāo)系中，如何用坐標(biāo)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量之間的夾角？新知：1、向量的模：設(shè)a＝，則｜a｜＝2、兩個(gè)向量的夾角公式：設(shè)a＝，b＝，由向量數(shù)量積定義：ab＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式：ab＝，由此可以得出：cos＜a,b＞＝試試：①當(dāng)cos＜a、b＞＝1時(shí)，a與b所成角是；②當(dāng)cos＜a、b＞＝－1時(shí)，a與b所成角是；③當(dāng)cos＜a、b＞＝0時(shí)，a與b所成角是，即a與b的位置關(guān)系是，用符合表示為、反思：設(shè)a＝，b＝，則⑴a//B、a與b所成角是a與b的坐標(biāo)關(guān)系為；⑵a⊥ba與b的坐標(biāo)關(guān)系為；3、兩點(diǎn)間的距離公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為：、4、線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為:、※典型例題例1、如圖,在正方體中，點(diǎn)分別是的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值、變式：如上圖,在正方體中，，求與所成角的余弦值、例2、如圖，正方體中，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，求證：、變式：如圖，正方體中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求與CM所成角的余弦值、小結(jié)：求兩個(gè)向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標(biāo)系中找出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后再用公式計(jì)算、※動(dòng)手試試練1、已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；⑵到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z滿(mǎn)足的條件、練2、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并和你的同學(xué)交流、三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1、空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2、解決立體幾何中有關(guān)向量問(wèn)題的關(guān)鍵是如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，然后再代入公式進(jìn)行計(jì)算、※知識(shí)拓展在平面內(nèi)取正交基底建立坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示，平面向量又稱(chēng)二維向量、空間向量可用三元有序?qū)崝?shù)組表示，空間向量又稱(chēng)三維向量、二維向量和三維向量統(tǒng)稱(chēng)為幾何向量、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）、A、很好B、較好C、一般D、較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1、若a＝，b＝，則是的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分又不不要條件2、已知，且，則x＝、3、已知,與的夾角為120，則的值為（）A、B、C、D、4、若，且的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A、B、C、D、5、已知，且，則（）A、B、C、D、課后作業(yè)：1、如圖，正方體棱長(zhǎng)為，⑴求的夾角；⑵求證：、2、如圖，正方體中，點(diǎn)M,N分別為棱的中點(diǎn)，求CM和所成角的余弦值、3、1空間向量及其運(yùn)算（練習(xí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、熟練掌握空間向量的加法，減法，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；2、熟練掌握空間線(xiàn)段的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題、學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備：（閱讀課本p115）復(fù)習(xí)：1、具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，記著；具有叫單位向量、2、向量的加法和減法的運(yùn)算法則有法則和法則、3、實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)量，記作，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝、(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與A、；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與A、；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝、4、向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算律：交換律：a＋b＝結(jié)合律：(a＋b)＋c＝數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝5、①表示空間向量的所在的直線(xiàn)互相或，則這些向量叫共線(xiàn)向量，也叫平行向量、②空間向量共線(xiàn)定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（），的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得；③推論：l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是6、空間向量共面：①共面向量：同一平面的向量、②定理：對(duì)空間兩個(gè)不共線(xiàn)向量，向量與向量共面的充要條件是存在，使得、③推論：空間一點(diǎn)P與不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是：⑴存在，使⑵對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有7、向量的數(shù)量積：、8、單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相，長(zhǎng)度都為，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示、9、空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著、10、設(shè)A，B，則＝、11、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a＝，b＝，則⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷ab＝※動(dòng)手試試1、在下列命題中：①若a、b共線(xiàn)，則a、b所在的直線(xiàn)平行；②若a、b所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc、其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A、0B、1C、2D、32、在平行