初中數(shù)學(xué)邏輯推理強(qiáng)化練習(xí)1

初中數(shù)學(xué)邏輯推理強(qiáng)化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知二次函數(shù)>=以2+法+。的圖象如圖所示，則下列6個(gè)代數(shù)式：

ab,ac,a+b+cya-b+c,2a+b,2a-btp,其值為正的式子的個(gè)數(shù)為（）.

3個(gè)C.4個(gè)D.4個(gè)以上

2.如圖所示,一次函數(shù)>=履+〃的圖象過點(diǎn)RL4）且與x軸和y軸的正半軸交于4B

兩點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AAOB的面積最小時(shí)，k,匕的值為（）

B.A=T,b=4C.%=—2,b=4D.k=-l,h=2

3.已知“，b均為正數(shù)，且,J/+41是一個(gè)三角形的三邊的

長，則這個(gè)三角形的面積是（）

31

A.-abB.ahC.—abD.2ab

22

4.若x-；+（3y+l『=0,則f+y2的值是（）

112

A.0B.-C.-D.—

399

5.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”，圖1是由四個(gè)全等的

直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.連接圖1中相應(yīng)的頂點(diǎn)得到

圖2,記陰影部分的面積為空白部分的面積為邑，若大正方形的邊長為逐，

$=2Sz，則小正方形的邊長為（）

6.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師在4張同樣的紙片上各寫了一個(gè)正整數(shù)，從中隨

機(jī)取2張，并將它們上面的數(shù)相加，重復(fù)這樣做，每次所得的和都是5,6,7,8中的

一個(gè)數(shù)，并且這4個(gè)數(shù)都能取到，根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A.四個(gè)正整數(shù)中最小的是1B.四個(gè)正整數(shù)中最大的是8

C.四個(gè)正整數(shù)中有兩個(gè)是2D.四個(gè)正整數(shù)中一定有3

7.10個(gè)孩子分進(jìn)4個(gè)班，則至少有一個(gè)班分到的學(xué)生人數(shù)不少于（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

8.一只小蟲子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E,這只小

蟲子的不同走法共有（）

A.12種B.13種C.14種D.15種

二、填空題

9.如圖，BD為邊長為〃的菱形4BCO的對(duì)角線，NBA￡>=60。，點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A,

8同時(shí)出發(fā).以相同的速度沿AB,BD向終點(diǎn)B和。運(yùn)動(dòng)，連接。M和AN,。例與

AN相交于點(diǎn)P,連接8P,則8P的最小值為.

MB

10.如圖，△ABC中，ZC=90°,AO平分/BAC,AB=\0,AC=6,則8。的長是

11.已知正整數(shù)x滿足Y+5x+30是完全平方數(shù)，則x的值是.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8S的頂點(diǎn)。在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第

一象限，軸，AO±AD,AO=AD.過點(diǎn)A作垂足為E,

DE=4CE.反比例函數(shù)y=?x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E.與邊AB交于點(diǎn)凡連接。區(qū)

OF,EF.則cosO=若則點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

O

13.如圖，四邊形A3CO中，ZCBD=ZCAD=90^AC=AD9若CD=50AB,則

tanZACB=.

14.如圖（1）,將一個(gè)等腰直角三角形紙片沿著虛線剪成三塊，再利用這三塊小紙片

進(jìn)行拼接，恰好拼成一個(gè)如圖（2）無縫隙、不重疊的平行四邊形，則2的值是一.

(1)(2)

15.若卜―l|+(b+2021)2=0,那么a-8的值是

16.方程2(l-3x)4-32=0的根是.

三、解答題

17.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上一點(diǎn)，連接￡尸,

設(shè)NE￡>F=a,

圖1圖2圖3

E為A8的中點(diǎn)，則三的值為

(1)如圖I,若a=45°,

BF

(2)如圖2,若a=30。,過點(diǎn)E作EM〃BC交。產(chǎn)于M點(diǎn)，問4E+C/與EM有何數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,若a=60。，AQ=4,直接寫出心。所的最大值：

18.如圖:

圖1圖2

圖3

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，點(diǎn)A為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BC="，AB—c(a>c),則AC的最小值

為，AC的最大值為；

(2)輕松嘗試:

如圖2,在矩形A8CD中，AB=10,40=12,E為A8邊的中點(diǎn)，尸是BC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，將AEFB沿EF所在直線折疊得到△EF8,連接83,則的最小值為.

(3)方法運(yùn)用：

在四邊形A8C。中，8c=4,點(diǎn)。是BC上方的動(dòng)點(diǎn)，且C￡>=2,ZABD=90°,—

AB

=m.

①如圖3,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求線段AC的最大值.

②如圖4,當(dāng)加力時(shí)，用含機(jī)式子表示線段AC的最大值.

19.如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,"為垂足，將△4BH繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得AADE,連接8,F為CO的中點(diǎn)，連接F”，F(xiàn)E.

(1)求證：FH=FE且FH1.FE；

⑵若A8=4,a=180。，直接寫出點(diǎn)廠經(jīng)過的路徑長.

20.戴高樂是二戰(zhàn)期間領(lǐng)導(dǎo)法國人民趕走德國法西斯的英雄，也是法蘭西第五共和國

的總統(tǒng).他去世后，根據(jù)他生前的意愿，他的墓前只立有一塊小小的碑牌，一面刻著

“查爾斯?戴高樂1890—1970”，另一面則刻著一個(gè)洛林十字架.洛林十字架由13塊相

同的小正方形組成，如圖1所示.

(1)你能否只用一把無刻度直尺畫一條直線，使其等分洛林十字架.(面積等分，在圖1

中畫出1種情形即可)

(2)戴高樂還是第一個(gè)提出并且解決了下面一個(gè)非常有趣的有關(guān)洛林十字架的數(shù)學(xué)問題

的人.問題如下：如圖2,在洛林十字架的A點(diǎn)處作一條直線，把洛林十字架嚴(yán)格地

劃分成面積相等的兩部分.

戴高樂利用圓規(guī)，直尺和鉛筆解決了該問題，他的作法如下：如圖3所示，①標(biāo)記點(diǎn)

D,B,M,連接BM,與AD交于點(diǎn)、F；②以點(diǎn)F為圓心，長為半徑作弧，與BF

交于點(diǎn)G；③以點(diǎn)8為圓心，BG長為半徑作弧，與8。交于點(diǎn)C；④連接CA并延

長，與洛林十字架邊界交于點(diǎn)N,則直線CN即為所求.

請(qǐng)根據(jù)戴高樂的作圖步驟，證明直線CN等分洛林十字架.小林同學(xué)的部分證明過程

如下：

標(biāo)記點(diǎn)H,P,Q,如圖3所示.設(shè)洛林十字架中每個(gè)小正方形的邊長為1.

易證.BDF^^MAF,

FD=FA.

由作圖，可知尸G=H)=￡4=gAO=g.

BF=VfiD2+FD2=/=與.

：.BG=BC=BF-FG=---=.

222

?口八ori小-I3一石

22

請(qǐng)補(bǔ)全小林同學(xué)的證明過程.

21.如圖，在正方形AB8中，點(diǎn)E在邊8c上(不與端點(diǎn)重合)，AADF是由△AfiE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，連接所交4。于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作垂足為

H,連接

(1)求證：是等腰直角三角形；

(2)求證：ZAFE=NHBE；

⑶若=竺也，CE=3,求tanNEAD的值.

4

22.拋物線y=V-(m+3)x+3〃與x軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,若點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，AOBC為等腰直角三角形，求拋物線的解析

式；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)D(―2,5)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)用為直線8C下方拋物線上

一動(dòng)點(diǎn)，令四邊形BDCM的面積為S,求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為一9,作直線PC,將直線PC向

下平移〃(〃>0)個(gè)單位長度得到直線PC',若直線PC'與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

①直接寫出〃關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫出當(dāng)時(shí)m的取值范圍.

23.已知直線/八丫=一級(jí)+10交丫軸于點(diǎn)4交x軸于點(diǎn)B,二次函數(shù)的圖象過A,B

兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C,BC=4,且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P/(%/.

y/),P2(X2,>,2),當(dāng)時(shí)，總有y/士.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若直線〃：y—mx+n(n/10),求證：當(dāng)機(jī)=—2時(shí)，h//h；

(3)E為線段8c上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線〃：y=-2r+q過點(diǎn)C且交直線AE于點(diǎn)

F,求△ABE與面積之和的最小值.

24.如圖1,R/ZABC中，4=90。，/B=45°,NC的角平分線交邊AB于。點(diǎn)，BD=

近，

⑴請(qǐng)求出4c的長；

(2)如圖2,E為8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AELEF,ACVCF,EF交AC于G點(diǎn)，連接AF,

PP

當(dāng)E點(diǎn)在CQ間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷長的值是否為一個(gè)定值，如果是請(qǐng)求出具體的值，

AE

不是，請(qǐng)說明理由;

⑶在（2）的條件下，若AE=EC,請(qǐng)求出AfGC的面積.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

【詳解】

因圖象開口向下，故。<0.又頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)0<-3<1,故。>0,2a+A<0,從而

2a

ab<0,2a-b<0.又x=0時(shí)，y=c<0,從而ac>0,a-6+c<0.又當(dāng)x=l時(shí)，

y=a+h+c>0.綜上知所給代數(shù)式中只有2個(gè)為正.

故選：A.

2.A

【解析】

【分析】

【詳解】

解因函數(shù)N="的圖象過點(diǎn)P(l,4),所以4=%+b*=4-k,于是y=^+(4—Q.

令)，=0得《空,0).

令x=0得B(0,4—幻.連OP,得

S.OAB=S.OAP+SQPB=；x4xOA+gxlxO8

1k—41.

=—x4x----F—x1x(4一左)

2k2

顯然々<0.令k=~~u,則〃>0,于是

c/\(16、-1cI~16°

=4+不〃+—>4+-x2kx-=8.

u)2Vu

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)”=3(〃>0),即"=4,這時(shí)％=-4/=4—々=8.

U

故選A.

I1*_4

注：的面積也可用S?,=3xOAxOB=5X1-x(4-k)算出.

乙乙K

3.A

【解析】

【分析】

答案第1頁，共34頁

構(gòu)造矩形ABC。，E、尸分別為A。、AB的中點(diǎn)，設(shè)">=勖，AB=2a,將所求三角形

面積轉(zhuǎn)化為=S^ABCD-SAAEf-SABCI---SACDE即可求解.

【詳解】

解：如圖，在矩形ABCO中，E、尸分別為A。、A8的中點(diǎn),

設(shè)AD=2b,AB=2a,

AAF=BF=a,AE=DE=b,

???在?△AEF、RsBCF、/^△CDE中,依次可得到：

EF=y/AE2+AF2=>Ja2+b2，

CF=1BF2+BC?=yla2+4b2

CE=yjCCP+DE2=y/4a2+b2，

??S^CEF=S矩形Me/5-S^AEF-S^BCF-^CDE

=2ax2b--xaxh--xax2h--x2axb

222

=4ab——ah—ah-ah

2

3,

=—ab,

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查二次根式的應(yīng)用.能夠通過構(gòu)造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形

的面積轉(zhuǎn)化為矩形和幾個(gè)直角三角形的面積之差.利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

4.D

【解析】

【分析】

答案第2頁，共34頁

根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求出X和y的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算算出結(jié)果.

【詳解】

解：(3y+l)->0,且卜-f+(3y+l)-=°,

r.x--=0,3y+l=O,即x=Ly=~-,

333

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，代數(shù)式的值，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握絕

對(duì)值和平方的非負(fù)性.

5.A

【解析】

【分析】

如圖2,由題意可設(shè)AB=CD=x,BD=y,則可以用x表示出邑，又由于大正方形的邊

長為木，可得￡+邑=("『，與岳=2￡構(gòu)成方程組，可求出色,從而得到x的值，然后

在MAABC中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，然后解方程即可.

【詳解】

解：如圖2,設(shè)AB=CD=x,BD=y,

1J,

/.SiP-iAC'D2=—CD?AB2=-x~,

S2=4sAACD=2x~，

???大正方形的邊長為"，51=2S2,

；?S]+S2=(#)=6,

/.2s2+S2=6,

解得：邑=2,

,2x2=2,

解得：菁=1,々=一1(舍去)，

答案第3頁，共34頁

在HAABC中，AB-+BC2=AC2,

：.l2+(y+l)2=(V6)2,

解得：%=芯-1,%=-石—i(舍去)，

小正方形的邊長為石-1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，正方形的面積，二元一

次方程組，一元二次方程等知識(shí).設(shè)出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股定理

列方程，是解決本題的關(guān)鍵.

6.D

【解析】

【分析】

設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為W,X,Y,Z且WVX4Y4Z,分類討論，進(jìn)而得出符合題意的答案.

【詳解】

解：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為W,X,Y,ZiLW<X<Y<Z,故W+X=5,Y+Z=8,

(1)當(dāng)卬=1時(shí)，則X=4,

"：W<X<Y<Z

：.X=Y=Z=4,不合題意舍去，

(2)當(dāng)卬=2時(shí)，則X=3,

當(dāng)y=X=3時(shí)，。=5；

答案第4頁，共34頁

當(dāng)r>x時(shí)，

,:W<X<Y<Z

y=z=4,

故綜上所述，這四個(gè)數(shù)只能是2,3,3,5或2,3,4,4

A.四個(gè)正整數(shù)中最小的是2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.四個(gè)正整數(shù)中最大的是4或5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.四個(gè)正整數(shù)中有兩個(gè)可能是3,不是2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.四個(gè)正整數(shù)中一定有3,故選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了應(yīng)用類問題，利用分類討論是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

【分析】

利用抽屜原理，把班級(jí)個(gè)數(shù)看作“抽屜”數(shù)，把孩子的個(gè)數(shù)看作“物體個(gè)數(shù)”：

【詳解】

解：10+4=2（人）余2（人），

2+1=3（人），

故選：C；

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽屜原理：把多于〃個(gè)的物體放到〃個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不

少于兩件.

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意按順序列舉即可解題.

【詳解】

解：這只小蟲子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、

ABPFE、APBCDE,APDE、APE,APFE,AGFPBCDE,AGFPDE、AGFPE、AGFE,共

14種，

答案第5頁，共34頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列與組合問題，是常見考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

9.與

3

【解析】

【分析】

如圖，延長CO使C￡>=r>G,是等邊三角形，證明"OW四ABAN(SAS),有

ZADM=ZBAN,ZDAP+ZBAN=60°,ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°,

AD

A、P、D、G四點(diǎn)共圓，圓的半徑為三,GB=2ABcos30°,當(dāng)G、P、8三點(diǎn)共線即

cos30°

GP為圓的直徑時(shí)，BP最短對(duì)BP=GB-GP,計(jì)算求解即可.

【詳解】

解：如圖，延長8使CD=DG,

:四邊形ABC。是菱形，ZZM￡>=60°

AZADG=60°,AD=GD

△AZ)G是等邊三角形

在△/?加和△BAN中

AD=BA

?：\zDAM=ZABN=60°

AM=BN

：.AADMABANISAS)

：.ZADM=ZBAN

答案第6頁，共34頁

ZDAP+ZBAN=60°

：.ZG4D+ZDAP+ZGZM+ZAZ)P=180°

AD

???A、P、D、G四點(diǎn)共圓，圓的半徑為~T=可

cos30。一亍

GB=2A5cos300=W

???當(dāng)G、P、區(qū)三點(diǎn)共線即GP為圓的直徑時(shí)，肝最短，

:?BP=GB—GP=G〃—2X息=—

33

故答案為：叵.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共

圓，余弦等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于證明四點(diǎn)共圓.

10.5

【解析】

【分析】

過點(diǎn)。作￡>E_LA8于點(diǎn)E,利用角平分線的性質(zhì)得CD=DE,再利用面積法求出CD的

長，從而解決問題.

【詳解】

解：如圖：過點(diǎn)。作。ELAB于點(diǎn)E,

在RdABC中，由勾股定理得，

BC=>/AB2-AC2=V102-62=8>

平分/BAC,ACA.DC,DEA.AB,

：.CD=DE,

:.S.=-ACCD+-ABDE=-ACBC,

AABRCr222

.*.6CD+10CD=48,

答案第7頁，共34頁

：.CD=3,

：.BD=BC-CD=S-3=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用面積法求出CO

的長是解題的關(guān)鍵.

11.1或21##21或1

【解析】

【分析】

設(shè)d+5x+30=〃2,利用求根公式得出4/-95也是完全平方數(shù)，再由95=1x95或

95=5x19,（2〃+Z）＞（2〃-％）,列方程求出”的值，再代入求根公式計(jì)算x的值即可；

【詳解】

解：設(shè)f+5x+30=〃2,?.?方程x?+5x+30--2=0有正整數(shù)解，

.??方程的根為：X=5+，4“2—95（負(fù)根舍去），

2

方程的根為整數(shù)，二4/-95也是完全平方數(shù)，

設(shè)47—95*則4"—r=95，（2〃+初2〃—%）=95,

：95=1x95或95=5x19,（2"+%）＞（2〃一女），

2n+k=95\2n+k=19

2n-k=\或j2〃-Z=5解得：〃=24或〃=6,

當(dāng)〃=24時(shí)，代入a衛(wèi)邈三死得：戶21,

2

當(dāng)〃=6時(shí)，代入=-5+4〃*得:戶］,

2

故答案為：21或1；

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的求根公式，整數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，利用根是整數(shù)判斷4/?-95也是完

全平方數(shù)是解題關(guān)鍵.

【解析】

答案第8頁，共34頁

【分析】

延長E4交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作"7_Lx軸于點(diǎn)H,證明絲△AOG（A4S）,得到

DE=AG,AE=OG.根據(jù)四邊形ABCO是菱形，DE=4CE,得到8=即

4

4

可求出cosD=g；設(shè)?！?4a,則A3=OA=5a,根據(jù)勾股定理求出OG=AE=3a,求出

點(diǎn)E（3a,7a）,即可求出％=21/,證出四邊形AGHF為矩形，得到〃尸=AG=4a,求出點(diǎn)

尸（丁〃，4。），根據(jù)S4OEF=$△*；+S梯形EG”尸一S^OFH,S^EOF=—,?>0,即可求出。的

值，則可以得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

解：延長E4交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作F”_Lx軸于點(diǎn)”，如圖所示

???AB〃x軸，AE1CD,AB//CD

：.AG_Lx軸

?/AOLAD

???Z.DAE+ZOAG=90°

■:AE1.CD

：.N/M￡+ZD=90。

:.AD=ZOAG

在△D4E和ziAOG中

N￡)E4=NAGO=90。

9：［ZD=ZOAG

AD=OA

：.4DAE94AOG(AAS)

:?DE=AG,AE=OG

丁四邊形ABC。是菱形，DE=4CE

???AD=CD=-DE

4

答案第9頁，共34頁

cosD=—

5

設(shè)DE=4a,則AQ=Q4=5a

OG=AE=dAD?-DE，=3a

**?EG=AE+AG=7。

/.E(3aja)

?；反比例函數(shù)y=々x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E

X

***k=2\a2

VAGVGH,FHLGH,AF1AG,

，四邊形AGH/為矩形

???HF=AG=4a

???點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象上

X

.21a221

??x=---=—a

：.OH=—aFH=4a

4f

9

：.GH=OH-OG=-a

4

=

**S&OEFS4OEG+§梯形EG“/一^OFH，AEOF="T

o

???-xOGxEG+-(EG+FHyGH--OHxHF=—

2228

1?21/r4\91?211

—x21礦+—X(7Q+4Q)X—〃——x21a~=—

22'7428

解得：/=!

*/a>0

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，求角的三角函數(shù)值,

答案第10頁，共34頁

勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段長度表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)

鍵.

13.-

7

【解析】

【分析】

由NCBZ>NC4>90。得到A、B、C、。四點(diǎn)共圓，C。為直徑，取C3的中點(diǎn)。，連接4。

并延長交。。于點(diǎn)E,連接BE,設(shè)AB=x,則AE=5五x，勾股定理求出8E,利用

ZAEB=ZACB,求的正切函數(shù)值即可.

【詳解】

解：二?四邊形A8C。中，ZCBD=ZCAD=90°,

；.A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

；.CD為直徑,

取CO的中點(diǎn)0,連接A0并延長交。。于點(diǎn)E,連接8E,

：.AE=CD,

CD=5讓AB,

.?.設(shè)AB=x,貝!JAE=5&X，

BE=>JAE2-AB1=lx，

NAEB=NACB,

A5x1

/.tanZACB=tanNAEB==—=一,

BElx7

【點(diǎn)睛】

答案第11頁，共34頁

此題考查了四點(diǎn)共圓，圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)計(jì)算，正切理解四點(diǎn)共圓是解題

的關(guān)鍵.

14.72+1

【解析】

【分析】

等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個(gè)沒有縫隙且不重疊的平形四邊

1）

形，則等腰直角三角形的面積和平行四邊形的面積相等，可得彳（4+3=4（4+人+打，求

出。和6之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個(gè)沒有縫隙且不重疊

的平行四邊形，

二等腰直角三角形的面積等于平行四邊形的面積，

由圖（1）可知：等腰直角三角形的直角邊的長為（4+3，由圖（2）可知：平行四邊形的

底邊長為（4+%+b）,高為a,

Ab2-2ab-a2=0,

解得：2=3+1或2=-&+1（舍去）,

aa

??.2的值是夜+1.

a

故答案為：＞/2+1

【點(diǎn)睛】

答案第12頁，共34頁

本題考查了圖形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四邊形的面積公

式.解決本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，剪拼前后兩個(gè)圖形的面積相等.

15.2022

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可求出。和〃的值，再代入計(jì)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意可知a—1=0，b+2021=0,

解得：a=\,b=—2021.

.?.4-6=1-(-2021)=2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】

本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值.掌握絕對(duì)值和平方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵.

16.Xl=\,X2---

3

【解析】

【分析】

移項(xiàng)整理得(13x)4=16,然后兩邊同時(shí)開四次方得六1=±2,由此即可解決問題.

【詳解】

解：:2(17x)4-32=0,

(l-3x)4=16,

Al-3x=±2,

..1

故答案為x/=l,X2=-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查高次方程的解法，解題的關(guān)鍵是降次，這里通過開四次方把四次降為了一次.

17.(1)1

(2)AE+CF=y/3EM,理由見解析

(3)8

答案第13頁，共34頁

【解析】

【分析】

(1)如圖1,延長BC到“，使得CH=AE,利用全等三角形的性質(zhì)證明EQ4E+CF,設(shè)

CF=x,利用勾股定理求出x即可解決問題；

(2)延長54到G,使得AG=CF,由AD4G=ADCF(SAS)推出ZGDA=FDC,繼而得到

Z.GDF=ZGDA+ZADF=ZFDC+ZADF=90°,由G、E、M、。四點(diǎn)共圓，推出

ZEGM=ZEDM=30°,從而推出EG=6EM；

(3)如圖3,過點(diǎn)E作EKLCD于K,交DF于J,作FH_LEK于H,由

S.DEF=SgD+Si￡JF=；EJDK+gEJFH=；EJ(DK+FH)=2EJ,推出當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重

合時(shí)，E/=EK=4的值最大，此時(shí)ADEF的面積最大.

(1)

解：如圖1,延長8c到，，使得C”=AE,

/.AD=DC,ZA=ZDCB=ZDCH=90°

AE=CH

:.ADAE*DCH(SAS)

DE=DH,ZADE=NCDH

:.ZEDH=ZADC=90°

?.NEDF=45。

/./FDH=/FDE=45。

?;DF=DF

.?.△FDE二AFDH(SAS)

:.EF=FH

\-FH=CF+CH=CF+AE

答案第14頁，共34頁

:.EF=AE+CF

設(shè)C戶中，在Rt△應(yīng)五

設(shè)的=AE=a

BF=2a—x,EF=x+a

??.BE?+BF?=EF?

a2+(2a-x)~=(a+x)~

2a

x——

2a

CF_§J

"BF2”也2

3

故答案為：j

(2)

延長延長BA到G,使得AG=CF,

圖2

同法可證ADAGSADCF(SAS)

.?.4GDA=FDC

二.Z.GDF=ZGDA+ZADF=ZFDC+ZADF=90°

-EM//BC

:.ZAEM=ZB=90°

...ZAEM+ZMDC=180°

答案第15頁，共34頁

:.G,E、M、。四點(diǎn)共圓

/.ZEGM=ZEDM=30°

EG=MEM

AE+CF=AE+EG=EG=幣＞EM

(3)

如圖3,過點(diǎn)E作EKJ.CO于K,交。F于J,作FHLEK于H,

圖3

?/ZFHK=ZHKC=ZC=90°

，四邊形CF〃K是矩形，

FH=CK

:.DK+CK=DK+FH=A

.；S.DEF=S.M+S回=；EJ-DK+；EJ-FH=gEJ(DK+FH)=2EJ

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，E/=EK=4的值最大，此時(shí)△￡>￡?的面積最大，最大值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知

識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

18.a+c；

(2)8

⑶①4&+2,②4>/^+2

m

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A在線段8C上時(shí)，4c有最小值，點(diǎn)A在C8的延長線上時(shí)，4C有最大值

可得答案；

答案第16頁，共34頁

(2)由題意得出點(diǎn)9的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心，5為半徑的圓弧，當(dāng)點(diǎn)E、8、。共線

時(shí)，斤￡)取最小值，求出即可得答案；

(3)①如圖3,以BC為直角邊作等腰直角ABCM,證明AABC絲AOBM,可得當(dāng)￡>M取

最大值時(shí)，AC最大，而。、C、M共線時(shí)，OM最大，求出。M的最大值即可；

②如圖4,作BMLBC,且8N=4〃i,證明△ABCs/vDBN,可得當(dāng)0V取最大值時(shí)，AC最

大，即當(dāng)￡>、C、N共線時(shí)，OV最大，求出ON的最大值然后計(jì)算4c即可.

(1)

解：?點(diǎn)A為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC—a,AB=c(a>c),

二當(dāng)點(diǎn)A在線段8c上時(shí)，AC有最小值a—c,

當(dāng)點(diǎn)A在CB的延長線上時(shí)，AC有最大值a+c,

故答案為：a-c,“+c；

(2)

為A8邊的中點(diǎn)，將△EF2沿EF所在直線折疊得到AEFF,

：.EB=EB'=^AB=5,點(diǎn)8'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心，5為半徑的圓弧，

:?當(dāng)點(diǎn)E、B\。共線時(shí)，8'。取最小值，

:ED=^AE^+ADr=^52+122=13，

/?BD物產(chǎn)ED-EB'=13—5=8,

故答案為：8；

(3)

①如圖3,以BC為直角邊作等腰直角ABCM,則8c=BM,

VZABD—ZCBM=90°,1,

AB

:.NABC=NDBM,AB=BD,

：.△ABC絲/XDBM(SAS),

：.AC=DM,

當(dāng)。M取最大值時(shí)，AC最大，

即當(dāng)。、aM共線時(shí)，0M最大，如圖，。例為最大值，

CM=jBC2+BM?3+42=40,CD'=CD=2,

‘D'M=442+2,

答案第17頁，共34頁

...當(dāng)〃?=1時(shí)，線段4c的最大值為40+2:

A

M圖3

BN

②如圖4,作8NJ_8C,且8N=4〃i,即——=m,

BC

VZABD=ZCBN=90°,—=m

AB9

BDBN

：./ABC=NDBN,

：.dABCs^DBN,

.DN_BD

----=m

*ACAB

AC之

m

???當(dāng)。N取最大值時(shí)，AC最大,

即當(dāng)。、aN共線時(shí)，DN最大,如圖，ON為最大值,

VBC=4,BN=4m,

,CNNBC?+BN?=J42+(4"?『=4】而+1,CD'=CD=2,

,?D'N=4Jm*+1+2,

?同廠D'N+1+2

??△?；虼?----

mtn

答案第18頁，共34頁

DD'

A

N

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的綜合應(yīng)用，翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形來解決問題，

綜合性較強(qiáng).

19.(1)見解析；

(2)21

【解析】

【分析】

(1)連接AF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/8=/4CB=45。，BH=CH,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)

得到乙4EC+乙4尸。=180。，NZ〃C+NAFC=180。，從而證得A、E、D、F四點(diǎn)共圓，A、

H、C、尸四點(diǎn)共圓，求出/AFE=NAOE=45。，ZAFH=ZACH=45°,得到ZE尸”=

ZAFE+ZAFH=90°,證得再證明絲△4AF,得至ljHF=FE；

(2)取線段AC的中點(diǎn)O,連接OF、OH,根據(jù)三角形中位線的定義得到OF=gAZ)=g

AB=2,OF//AD,OH//AB,從而得到在△AB4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F從點(diǎn)”開

始，在以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)a=180。時(shí)，B、A、。三點(diǎn)共線，確定H、

0、尸三點(diǎn)共線，根據(jù)公式求出點(diǎn)尸經(jīng)過的路徑長.

(1)

證明：連接AF,

答案第19頁，共34頁

E

VAB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,

：.ZB=ZACB=45°fBH=CH,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，AD=AB=AC,AE=AHfZAED=ZAHB=90°fZADE=ZB=45°fZEAD

=ZBAH=45°,

?；CF=DF,AC=ADf

AAF1CD,ZDAF=ZCAFf

：.ZAFD=ZAFC=90°,

NAED=/AHC=90。,

???NAED+ZAFD=180°,ZJ7/C+ZAFC=180°,

.??A、E、D、尸四點(diǎn)共圓，A、H、C、/四點(diǎn)共圓，

???ZAFE=ZADE=45°,ZAFH=ZACH=45°f

：.ZEFH=ZAFE+ZAFH=90°,

：.FHLFE,

VZ￡AD=Z/7AC=45°,NDAF=NCAF,

...ZEAD+ZDAF=ZHAC+ZCAFf

：.ZEAF=ZHAFf

：./\EAF^/\HAFt

:?HF=FE；

(2)

取線段AC的中點(diǎn)。，連接。尸、OH,

D

答案第20頁，共34頁

點(diǎn)F為C。中點(diǎn)，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，

.?.0尸為△AC。的中位線，。，為AABC的中位線，

；.OF=^AD=^AB=2,OF//AD,OH//AB,

在△ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)尸從點(diǎn)”開始，在以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上

移動(dòng)，

當(dāng)。=180。時(shí)，B、A、。三點(diǎn)共線,

'：OF//AD,OH//AB,

:.H、。、尸三點(diǎn)共線,

.??點(diǎn)戶經(jīng)過的路徑長為半圓。的弧長：2X4=2萬.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位

線的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

20.(1)見解析

(2)見解析

【解析】

【分析】

(I)應(yīng)用作矩形的對(duì)角線的方法；

(2)因?yàn)閂ACDMVAPH,求出P4的值，然后求出PQ的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

￥也=(券］,求出的面積，計(jì)算右部分面積之和.

(1)

解：答案不唯一，合理即可，以下畫法僅供參考.

答案第21頁，共34頁

(2)

Q/CDA=4PHA、AD=AH,ZCAD=/PAH,

???NACD^/APH,

??S、ACD~SYAPH?PH=CD=-，

2

/.PQ=HQ-PH==

-22

QZAPH=NNPQ,AAHP=4NQP,

/.NAPH?VNP。,

113

???在直線CN右側(cè)部分的面積=6個(gè)小正方形的面積+4NPQ的面積=6+-=y,

???直線CN等分洛林十字架.

答案第22頁，共34頁

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形面積的等積變化，涉及知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判

定及性質(zhì)(相似三角形面積的比等于相似比的平方)，解題關(guān)鍵應(yīng)用相似三角形面積的比等

于相似比的平方.

21.(1)見解析

(2)見解析

(3)tanZE4D=

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出~4打汪得出=AF=AE,得出

ZFAE=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，

AH=HE=FH=；EF,即可得出結(jié)論；

(2)證明A、B、E、”四點(diǎn)公圓，得出NHBE=NHAE,根據(jù)AH=EH,得出

ZHAE=ZHEA,根據(jù)得出NHE4=/AFE,即可得出結(jié)論；

(3)先證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=竺包，利用

4

等腰直角三角形的性質(zhì)，求出HE=拽，設(shè)BE=x,則AB=3C=3+x,根據(jù)勾股定理，列出

2

關(guān)于x的方程，解出x的值，根據(jù)正切的定義，即可求出結(jié)果.

(1)

證明：:△AOF是由△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

/?AAFD^AAEB,

.-.ZFAD=ZEAB,AF=AE,

???四邊形ABC。為正方形，

?.ZDAB=90°,

：.ZFAD+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90°,

即ZME=90°,

二△以E為直角三角形，

'：AH±EF,AE=AF,

答案第23頁，共34頁

:?EH=FH,

：.AH=HE=FH=-EF,

2

.?.△加花為等腰直角三角形

(2)

???四邊形A8CQ為正方形,

:.ZABC=90°,

?.?NA//E=90。,

/.ZAHE+ZABC=180°,

???A、B、E、“四點(diǎn)共圓，

：.ZHBE=ZHAE,

?：AH=EH,

JZHAE=ZHEAf

:.NHBE=NHEA,

-AE=AFf

：.

ZHEA=ZAFEf

：.ZAFE=ZHBE.

(3)

TA、B、E、”四點(diǎn)共圓,

:.NBAE=NBHE,

*：

ZFAD=ZBAEf

???NFAD=/BHE,

???ZAFE=ZHBE,

???△AFGSAHBE,

答案第24頁，共34頁

.AGAF

??—.

HEBH

：?AFHE=AGBH=^^,

4

VAF=AE,

.45

..A4Er-HuEr=------,

4

???△A//E為等腰直角三角形，

；?AE=6HE,

:.五HE?HE=

4

解得：HE=-^HE=-—（舍去）,

22

AE=>/2HE=42x^-=^^-f

2