初中幾何經(jīng)典難題合集

初中幾何經(jīng)典難題合集（附答案）

經(jīng)典難題（一）

1、已知：如圖，0是半圓的圓心，UE是圓上的兩點(diǎn)，CD

±AB,EF_LABrEG±CO.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD

=15°.

求證：aPBC是正三角形.（初二）

3、如圖，已知四邊形ABCD、AiBiGDi都是正方形，A2、

B2、C2、D2分別是AAi、BBi、CCuDDi的中點(diǎn).

求證：四邊形AzB2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分

別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F.

求證:zDEN=zF.

經(jīng)典難題（二）

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外

心，且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=20M;

（2）若/BAC=60。，求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)。作OA_LMN于A,自A

引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD

分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）G

0

C

B

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)「Fl由臉N

下命題：

設(shè)MN是圓0的弦過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、

DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以SBC的AC和BC為一邊，在3

側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）

典難題（三:

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEIIAC,AE=ACf

AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）

、如圖，四邊形為正方形

2ABCDfDEllACffiCE=CAf

直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.

求證：AE=AF.（祐W

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF±AP,

CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）\---------iD

B-----------------------------------------

4、如圖，PC切圓。于C,AC為圓的直涇，PE『為圜的割E

線，AE、AF與直線PO相交于B、D.求證：AB二DC,

BC=AD.（初三）

降典難題（麗

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,

PB=4,PC=5.

求：/APB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)且/PBA:/PDA.

求證:/PAB:/PCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB-CD+AD.BC

二AC?BD.（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一

點(diǎn)，AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證:zDPA=zDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)fL=PA+PB+PCf

A

求證：/WLv2.A

A

2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的酷點(diǎn)求PA'

+PB+PC的最小值.

2、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,

AD

PC=3af求正方形的邊長(zhǎng).

BC

4、如圖，△ABC中,zABC=zACB=80°,L\E分別是

AB、AC上的點(diǎn),zDCA=30°,zEBA=20°,求/BED的

A

度數(shù).

典難題（一:

1.如下圖做GHJ_AB,連接EOe由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以

zGFH=zOEGf

即芯好一十仃匕可得鐺二等二詈，又CO=EO,所以

GrCJHCO

CD=GF得證。

2.如下圖做9GC使與3DP全等，可得WDG為等邊△,

從而可得

△DGC合△APDM^CGR得出PC=AD=DCjnzDCG=z

PCG=15°

所以NDCP=30。，從而得出aPBC是正三角形

3.如下圖連接BG和ABi分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E

并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，

連接EB2并延長(zhǎng)交CzQ于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q

于G點(diǎn)，

由AzE—AiBifBiG=FB2,EB2=|AB=|BC=FCI,

又NGFQ+/Q=90°和

zGEB2+zQ=90。,所以nGEB2=ZGFQ又zB2FC2=z

A2EB2,

可得ABZFCZ合aAzEBz,所以AzB2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90。和NGFQ=NEB2A2,

從而可得NA2B2c2=90。，

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可

得/QMF=NF,zQNM=zDEN和NQMN=NQNM,從

而得出NDEN二NF。

經(jīng)典難題（二）

1.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF,做OG±AFf

又/F=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又

AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,OC,既得/BOC=120°,

從而可得/BOM=60。，

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

3.作OF±CD,OG_LBE,連接OP,0A,OF,AF,0G,

AG,OQo

由于絲ACCD2FDFD

AB~~AE~~BE~2BG~BG'

由此可得AADF2aABG,從而可得/AFC=NAGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得NAFC=NAOP

和NAGE=NAOQ,

zAOP=zAOQ,從而可得AP=AQ。

4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,Q,FHO可得

PQ二受產(chǎn)

S|AEGA^AAIC,可得EG=AIr由△BFH合ACBI,可得

FH=BIO

從而可得PQ=笥2二『，從而得證。

密典難題（三

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)aADE,至IkABG,連接CG.

STzABG=zADE=900+450=1350

從而可得B,G,D在一條直線上,可得△AGB2CGB。

推出AE=AG=AC=GCf可得3GC為等邊三角形。

zAGB=30°,既得NEAC=30。,從而可得NAEC=75°O

XzEFC=zDFA=450+300=75°.

可證：CE=CFe

2.連接BD作CH1.DE,可得四邊形CGDH是正方形。

SAC=CE=2GC=2CH,

可得/CEH=30°,所以/CAE=/CEA=/AED=15。,

XzFAE=900+450+15°=1500,

從而可知道NF=15。，從而得出AE=AFe

3.作FG±CD,FEJLBE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y?X。

tanzBAP=tanzEPF=—=,可得

YY-X+Z

YZ=XY-X2+XZ,

即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出^ABP^PEF,

得到PA=PF，得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^ABP60。，連接PQ，貝IkPBQ是正三角

形。

可得△PQC是直角三角形。

所以NAPB=150。。

2.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AEIIDC,

BEIIPC.

可以得出NABP=/ADP=/AEP,可得:

AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等X

可得NBAP=NBEP=NBCP,得證。

3.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=NACD,既得△BEJADC,

可得：

些二處，即AD-BC=BE-AC,?

BCAC

又NACB=/DCE,可得,既得

絲二"，即AB?CD=DE?AC,②

ACDC7

由0+②可得：AB?CD+AD-BC=AC(BE+DE)=AC-BD,

得證。

.過(guò)作，由雌二=罪=詆，可

4DAQ_LAEfAG±CFs5

得：

AE，PQ_AE?PQ由AE=FC

F2-，R-

可得DQ=DG,可得/DPA=zDPC(角平分線逆定理工

經(jīng)典難題(五)

L(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^BPC60。，可得aPBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要

AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小L=V5；

(2)過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F。

由于NAPD>NATP=/ADP,

推出AD>AP

又BP+DP>BP②

和PF+FCPC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最大L<2;

由（1）和（2）既得：石“<2。

2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^BPC60。，可得APBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,

EF在一條直線上，

即如下圖：可得最小

PA+PB+PC=AFO

3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SBP90。，可得如下圖：

4.在AB上找一點(diǎn)F,使NBCF=60。，

連接EF,DG,既得^BGC為等邊三角形，

可得NDCF=10°,NFCE=20°,推出^ABE合4ACF,

得到BE=CF,FG=GE。

推出：4GE為等邊三角形，可得NAFE=80。，

既得：NDFG=40°

又BD=BC=BG,既得NBGD=80。,既得NDGF=40。

推得：DF=DG,得至||:ADFE^DGE,

從而推得：/FED=NBED=30°O

經(jīng)典難題（一）

1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD1AB,EF1AB,EG1C0.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，NPAD=NPDA=15。.

求證：aPBC是正三角形.（初二）AD

3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2>B2>C2,D2分別是AAi、BBi、CJ、

DDi的中點(diǎn).

求證：四邊形A?B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延

長(zhǎng)線交MN于E、F.F

求證：ZDEN=ZF.A

NJC

經(jīng)典難題（二）

1,已知：^ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外心，且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=20M；

（2）若/BAC=60。，求證：AH=AO.（初二）/

MDZc

2、設(shè)MN是圓。外一直線，過(guò)。作OA_LMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及

D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.G

求證：AP=AQ.（初二）/lf求

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:

設(shè)MN是圓0的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以4ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,

點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).

求證：

經(jīng)典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.

求證：AE=AF.（初二）

BC

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF_LAP,CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）

4、如圖，PC切圓。于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線P0相交于B、

D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）

經(jīng)典難題（四）

1、己知：aABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5.

求：/APB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且NPBA=NPDA.

求證：/PAB=/PCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD?BC=AC?BD.（初三）

A

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正AABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證:

2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).

4、如圖，△ABC中，/ABC=NACB=80。，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),NDCA=30°,Z

EBA=20°,求NBED的度數(shù).

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GH_LAB,連接E0。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以NGFH=NOEG,

即△GHFs^OGE,可得￡—=——=—?，又CO=EO,所以CD=GF得證。

GFGHCD

2.如下圖做△DGC使與aADP全等，可得4PDG為等邊△,從而可得

△DGC絲ZXAPD絲Z\CGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=/PCG=15°

所以/DCP=30。，從而得出aPBC是正三角形

3.如下圖連接BC和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn),

連接EB?并延長(zhǎng)交CzQ于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，

由AaE=yA,Bi=4,BiCi=卜B?,EB?=4AB=&BC=FC1,又NGFQ+/Q=90。和

NGEB2+NQ=90°,所以NGEB產(chǎn)NGFQ又/BzFC2=/A2EB2,

可得ABaFC2gZ\AzEBz,所以AzB2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90°和NGFQ=/EB2A2,

從而可得NA2B2c2=90。，

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=NF,ZQNM=ZDEN

和/QMN=/QNM,從而得出/DEN=/F。

經(jīng)典難題(二)

1.⑴延長(zhǎng)AD到F連BF,做OG_LAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,0C,既得NBOC=120。，

從而可得NBOM=60。，

所以可得0B=20M=AH=A。，

得證。

3.作OF_LCD,OG1BE,連接。P,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

j丁AOACCD2FDFD

由于=---=----=-----=----，

ABAEBE2BGBG

由此可得^ADF多Z\ABG,從而可得/AFC=NAGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/AFC=/AOP和/AGE=/AOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

"G+FH

4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CLFH0可得PQ=

2

由4EGA之△AIC,可得EG=AI,由△BFH之/XCBi,可得FH=BI。

從而可得PQ=AI+BI=―,從而得證。

22

經(jīng)典難題（三）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^ADE,到AARG,連接CG.

由于/ABG=/ADE=900+45°=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得4AGBgZXCGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得4AGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又NEFC=/DFA=450+30°=75°.

可證：CE=CF?

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得/CEH=300,所以NCAE=NCEA=/AED=15°,

又ZFAE=9Oo+450+15°=15Oo,

從而可知道NF=15。，從而得出AE=AF。

3.作FGJ_CD,FE_LBE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=—=-------------------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出aABP絲Z\PEF,

得到PA=PF,得證。

經(jīng)典難題（四）

2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以NAPB=150。。

2.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得：

AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。

可得NBAP=NBEP=/BCP,得證。

3.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=NACD,既得△BECS/\ADC,可得:

BEAD_八

--------,即AD?BC=BE*AC>

BCAC

又/ACB=/DCE,可得△ABCsaDEC,既得

ABDE八

——=——，即anAB?CD=DE,AC,②

ACDC

由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD,得證。

4.過(guò)D作AQJ_AE,AG±CF,由SM-A"CQS可得:

.r\U￡j=.L/rV

AE.PQAE.PQ

......-=------—,由AE=FC。

22

可得DQ=DG,可得NDPA=NDPC(角平分線逆定理)。

經(jīng)典難題（五）

1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60。，可得4PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小L=V與；

（2）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F。

由于NAPD>NATP=NADP,

推出AD>AP

又BP+DP>BP②

和PF+FOPC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最大IX2；

由（1）和（2）既得：4WLV2。

2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60。，可得APBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。

=爭(zhēng)G+1)

A/6+^2

2

4.在AB上找一點(diǎn)F,使NBCF=60。，

連接EF,DG,既得△BGC為等邊三角形，

可得NDCF=10。,NFCE=20°,推出4ABE絲ZXACF,

得到BE=CF,FG=GE。

推出：Z\FGE為等邊三角形，可得NAFE=80。，

既得：ZDFG=40°①

又BD=BC=BG,既得NBGD=80°,既得NDGF=40°②

推得：DF=DG，得到：ZXDFE絲Z\DGE,

從而推得：ZFED=ZBED=30°。

初中幾何證明題

經(jīng)典題（一）

1、己知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD1AB,EF1AB,EG1C0.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，ZPAD=ZPDA=15°.

求證：APBC是正三角形.（初二）AD

P

3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1GD1都是正方形，A［、B2、C2>D2分別是AAi、BB［、CCI、

DDi的中點(diǎn).

A_____________________r

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）D,/I

4,已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延

長(zhǎng)線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.卜

經(jīng)典題（二）

M

1、已知：^ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外心，且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=20M；

（2）若/BAC=60。，求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓。外一直線，過(guò)。作OAJ_MN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及

D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

設(shè)MN是圓。的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、

Q.E

4、如圖，分別以4ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,

點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).

經(jīng)典題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.

求證：AE=AF.（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF1AP,CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）

4、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑,

D.求證：AB=DC,BC=AD,（初三）

經(jīng)典題（四）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD-BC=AC?BD.（初三）

A

D

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,

求證：也Wl<2.

2、己知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).

4、如圖，△ABC中，/ABC=NACB=80。，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，ZDCA=30°,Z

EBA=20°,求NBED的度數(shù).

經(jīng)典題（一）

1.如下圖做GH_LAB,連接E0。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以NGFH=NOEG,

即△GHFsaOGE,可得——=——=——，又CO=EO,所以CD=GF得證。

GFGHCD

2.如下圖做^DGC使與4ADP全等，可得4PDG為等邊△,從而可得

△DGC絲Z\APD絲ZkCGB得出PC=AD=DC,和/DCG=NPCG=15°

所以/DCP=3O。，從而得出aPBC是正三角形

3.如下圖連接BC和ABi分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A史并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn),

連接EB,并延長(zhǎng)交GQ于H點(diǎn)，連接FB,并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，

由A2E=/AB=4B|C產(chǎn)FB?,EB2=1AB=^BC=FC,,又NGFQ+NQ=90°和

/GEB2+NQ=90°,所以/GEB2=NGFQ又/BzFC2=/A2EB2,

可得ABaFC2gZkAzEBz,所以A2B2=B2c2，

又/GFQ+/HB2F=90°和/GFQ=/EB2A2,

從而可得NA2B2c2=90。，

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得/QMF=/F,ZQNM=ZDEN

和/QMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典題(二)

1.⑴延長(zhǎng)AD到F連BF,做OG_LAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,0C,既得NBOC=120。，

從而可得NBOM=60。，

所以可得0B=20M=AH=A。，

得證。

3.作OF_LCD,OG1BE,連接。P,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

LTA0ACCD2FDFD

ABAEBE2BGBG

由此可得4ADF絲Z\ABG,從而可得/AFC=NAGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/AFC=/AOP和/AGE=/AOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

FC：A-FH

4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CLFH?？傻肞Q=上一

2

由4EGA卷/\人1（：,可得EG=AI,由△BFH絲/XCBi,可得FH=BI。

__.?__AI+BIAB__

從而可r得PQ=------=——，從而得證。

22

經(jīng)典題（三）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^ADE,到AARG,連接CG.

由于NABG=/ADE=900+45°=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得4AGBgZXCGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得4AGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又NEFC=/DFA=450+30°=75°.

可證：CE=CF?

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得/CEH=300,所以NCAE=/CEA=/AED=15°,

又ZFAE=9Oo+450+15o=15O°,

從而可知道NF=15。，從而得出AE=AF。

3.作FGJ_CD,FEJ_BE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

XZ

tanZBAP=tanZEPF=—=--------------------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABPgZiPEF,

得到PA=PF,得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則aPBCl是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以ZAPB=150。。

2.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=/ADP=NAEP,可得：

AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。

可得NBAP=NBEP=/BCP,得證。

3.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=NACD,既得△BECS/\ADC,可得:

BEAD

即AD?BC=BE?AC,①

又NACB=/DCE,可得△ABCs/iDEC,既得

——=——，即AB?CD=DE?AC,②

ACDC

由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD,得證。

4.過(guò)D作AQLAE,AGXCF，由SS可得:

(/iixC=?urL

AE.PQAE.PQ上

.....-=-----—,由AE=FC?

22

可得DQ=DG,可得/DPA=NDPC(角平分線逆定理)。

經(jīng)典題(五)

1.(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60。，可得4PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小1=6；

（2）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F。

由于/APD>/ATP=/ADP,

推出AD>AP

又BP+DP>BP②

和PF+FOPC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最