第12講 勾股定理 （教師版）-數學八年級上冊同步講義（蘇科版）江蘇初中數學（蘇教版）

第3章勾股定理

3.1勾股定理

簿目標導航

課程標準課標解讀

1.掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的

多種證明方法，體驗數形結合的思想；

1.了解勾股定理的發(fā)現過程，掌握勾股定理的內容，

2.能夠運用勾股定理求解三角形中相關的

會用面積法證明勾股定理。

邊長(只限于常用的數)；

2.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現問題總結規(guī)律的意識和能力。

3.通過對勾股定理的探索解決簡單的實際

問題，進一步運用方程思想解決問題.

巖笈知識精講

燮、知識點01勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為。，斜邊長為c,

那么片+/=c2.

【微點撥】

(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b2,b2=c2—a2,c1—^a+—2ab.

【即學即練1】《九章算術》中有一道題目譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木

柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牽繩索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡設

繩索的長為x尺，下列方程正確的是()

A.(x-3)2-%2=82B.X2-(X-3)2=82

C.(x+3)2-%2=82D.x2-(x+3)2=82

【答案】B

【分析】設繩索的長為x尺，則木柱高為（x-3）尺，長8尺構成直角三角形，利用勾股定理列方程.

【詳解】解：設繩索的長為x尺，由題意得產-（x-3）?=8、

故選:B.

叁'知識點02勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中“做g=(a+by=J+4xLa6,所以J+b'j.

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中斗弁|84A3)=/=(b-a)2+4x-“b,所以—=[‘+戶

名712今

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

D

b

C

斗3="嗎"=2蔣必+#,所以『+從=（?.

【即學即練2】在學習勾股定理的過程中，我們已經學會了運用如圖圖形，驗證著名的勾股定理，這種根據

圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明實際上它也可用于驗證數與代數、圖形與

兒何等領域中的許多數學公式和規(guī)律，它體現的數學思想是（）

b

A.分類思想

【答案】D

【分析】根據圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法體現的數學思想為數形結合思想.

【詳解】解：這種根據圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現的數學思想

是數形結合思想，

故選：D.

4

工'知識點03勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.與勾股定理有關的面積計算；

4.勾股定理在實際生活中的應用.

【即學即練3】如圖所示的圖形是由兩個直角三角形和三個正方形組成的，其中三個正方形陰影部分的面積

和是56,大直角三角形一邊長為6,則斜邊長（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】A

【分析】根據圖形面積，可求出大正方形面積為28,即4爐=28,由此即可求出4C.

【詳解】解：由圖形可知，兩個小正方形的面積和=大正方形的面積，

???三個正方形陰影部分的面積和是56,

."4=28,

/MC2=AB2+BC2=28+36=64,

.*.AC=8.

故選：A.

Qi能力拓展

考法01用勾股定理解三角形

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題.在使用

勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾

股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解.

【典例1］如圖，A8C中，NB=45。,BC=2近，。是邊A3靠近點B的三等分點，ZADC=ZA,則C。

長為（）

D.布

【答案】C

【分析】作CELAD交4。于點E,求出5E=CE=2,再求出BD=￡>E=AE=1,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：作CEL4）交AD于點￡,

A

,:ZADC=ZAf

：.AC=CD,

是AO中點，

VZB=45°,BC=2。

???BE=CE=2,

:是邊A8靠近點3的三等分點，E是AD中點,

:.BD=DE=AE=T,

JCD=A/22+12=A/5?

故選：C

四分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖，網格中的小正方形邊長均為1,ABC的三個頂點均在格點上，則AC的長度為（）

A.2及B.2后C.無）D.25

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：由勾股定理可得：AC=y^^=5

故答案為C.

2.如圖，正方形內的數字代表所在正方形的面積，則A所在的正方形的面積為（)

。

AAB.28100

【答案】D

【分析】山勾股定理即可求出答案.

【詳解】由勾股定理可知：S,=36+64=100.

故選：D.

3.如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路他們僅

僅少走了幾步路，卻踩傷了花草，他們少走的路長為（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【答案】D

【分析】先利用勾股定理可得A8=10m,再利用AC+BC-AB即可得.

【詳解】解：由題意可知，AC=6m,8C=8m,AC，BC,

AB=yjAC2+BC2=10m，

r.AC+8C-43=6+8-10=4（m）,

即他們少走的路長為4m,

故選：D.

4.直角三角形的兩條直角邊長分別為2和3,那么它的斜邊的長是（）

A.0或加B.4C.小D.713

【答案】D

【分析】根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：由勾股定理得，斜邊長=戶手=后，

故選：D.

5.在如圖所示的直角三角形中，x=

12

【答案】13

【分析】直接利用勾股定理求解即可得出結果.

【詳解】解：X=A/FWF=13，

故答案為：13.

6.如圖，ZC=90°,AB=\2,BC=3,CD=4.若ZAB3=90。，則A。的長為

【答案】13

【分析】多次利用勾股定理求相關邊的長即可.

【詳解】解：在BCD中,

ZC=90°

...△BCD是直角三角形

在RtABCD中

VBC=3,CD=4

由勾股定理可得：

BD=^BC'+CET=耳+4?=5

,/ZABD=90°

...△A3。是直角三角形

在Rt&ABD中

V?A=12,BD=5

由勾股定理可得:

AD=yjAB^BD2=7122+52=13

故答案為：13.

7.如圖，在AABC中，ZACB=90°,CO_LA3于點。，BC=3cm,AC=4cm,A8=5cm.請求出△ABC

的面積和CD的長.

【答案】△ABC的面枳為6cm2,

【分析】根據直角三角形面積公式即可求解三角形的面積，再根據直角三角形面積的兩種計算方法求出斜

邊上的高.

【詳解】解：：NAC8=90。

=—BC-AC=—x3x4=6fcm2

22

=-ABCD

2

：.-ABCD=6

2

-x5C￡>=6

2

/.CD=￡(cm)

,12

答：△ABC的面積為6cm2,CO的長為M-cm.

題組B能力提升練

1.如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，將沿直線3c平移至的位置，連接3。，則BO的

長是（）

D

A.73B.2C.2A/3D.3

【答案】C

【分析】根據題意得到△OCETA48C,進而得到。E=2,ZCBD=ZCDB=3G°,求出8E=2￡）E=4,利用勾

股定理求出BD即可.

【詳解】解：???將oABC沿直線BC平移至‘OCE的位置，ABC是邊長為2的等邊三角形，

.,.△DCE^AABC,

NE=N4C8=60°,ZDCE=ZABC=60°,DE=2,CD=AB=BC,

：.NCBD=NCDB=3。。,

：.ZBDE=90°,

在中，BE=2DE=4,

BIAsiBE2-DE2=2x/3，

故選：C.

2.如圖，/A0C=/80C,點尸在OC上，尸OJ_OA與點。，PELOB與點、E,若00=4,0P=5,則尸E的

長為（）

A.3B.GC.4D.V15

【答案】A

【分析】利用勾股定理列式求出PC,再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PE=PD

【詳解】解："：OD=4,0P=5,PDLOA,

，由勾股定理得，PDZ5?-4?=3,

VZAOC=ZBOC,PD1OA,PELOB,

:.PE=PD=3.

故選A.

3.如圖是我國數學家趙爽的股弦圖，它由四個全等的直角三角形和小正方形拼成的一個大正方形.己知大

正方形的面積是26,小正方形的面積是2,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么（〃+。）2

的值為（）.

A.28B.50D.169

【答案】B

【分析】根據勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到油的

值，然后根據3+初2=/+2。匕+〃即可求解.

【詳解】根據勾股定理可得/+從=26，

四個直角三角形的面積是：1^x4=26-2=24,即加=24,

則（a+b）2=a2+2ab+/>2=26+24=50.

故選：B.

4.如圖，字母8所代表的正方形的邊長是（）

A.12cmB.15cmC.144cmD.306cm

【答案】A

【分析】根據勾股定理求出字母B所代表的IE方形的面積，根據正方形的性質計算，得到答案.

【詳解】解：在RdDE尸中,由勾股定理得，。產+￡尸2=。后，

，字母8所代表的正方形的面積=￡尸2=?！?-￡)產=225-81=144(cm2),

字母B所代表的正方形的邊長=12(cm),

故選A.

5.周長為24,斜邊長為10的直角三角形面積為.

【答案】24

【分析】設直角三角形兩直角邊長為mb,由周長與斜邊的關系得。+匕=14,中由完全平方公式和勾股定

理求出時的值，即可求出三角形的面積.

【詳解】解：解：設直角三角形兩直角邊長為a,b,

???該直角三角形的周長為24,其斜邊長為10,

/.24-(a+h)=10,

即a+b=\4t

由勾股定理得：?2+/72=102=100,

?.?(〃+〃)2=142,

a2+b2+2ah=196,

即100+2"=196,

而=48,

二直角三角形的面積=3"=24,

故答案為：24.

6.如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在

注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖連接四條線段得到如圖2的新的圖案.如果圖1中的

直角三角形的長直角邊為5,短直角邊為3,圖2中陰影部分的面積為S,那么S的值為.

圖1圖2

【答案】16

【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積.

【詳解】解：由題意作出如下圖，

得47=，3?+52=取,80=5-3=2,AB=CD,△AB。是直角三角形，

則大正方形面積=4C2=34,

19

△4。(7面積=:(5x3-2x3)=-,

22

9

陰影部分的面積S=34-44=16,

2

故答案為：16.

7.如圖，在「ABC中，AB^AC,fiC=10,CDLAB,垂足為￡>,C￡>=8.求AC的長.

【答案】AC=y

【分析】由勾股定理可先求出8。的長，然后設AC=AB=x,則AD=x-6,進而根據勾股定理可建立方

程求解

【詳解】解：8_LA8,

ZADC=^BDC=90°,

?；3c=10,8=8,

二在心8C￡>中，BD=\jBC2-CD2=6>

設AC=A8=x,則A￡>=x—6,

在R/AACC中，AC2=AD2+CD2,BPX2=(X-6)2+82,

2525

解得，乂=子，BPAC=y

8.如圖，在，MC中，ZACB=90°,BC=\2,AC=16,CD是高.求CD的長.

【答案】y

【分析】在ABC中，由勾股定理可求得A8的長度，然后根據等積法即可求得C￡>的長.

【詳解】解：：在./BC中，ZACB=90°,BC=12,AC=16,

AB=dBC，+AC?=7122+162=20>

5AAfi￡.=1^CAC=1xl2xl6=96,

又是,.血的高，

SZAAA/loKCr=-2ABCD=-2x20CD=96,

48

解得：CD=y,

48

???CD的長為

9.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,8。交于點E,ZBAC=90°,ZCED=45°,ZDCE=30°,DE=y/2,

BE=2-J1.求AC的長和四邊形ABC。的面積.

AD

B

［答案］21M

2

【分析】利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=l,進而再利用直角三角形30。所對的直角邊是斜邊的一

半求出AC、AB的長，即可得出四邊形A8C。的面積.

【詳解】過點。作

VZCED=45°,DHLEC,DE=6,

EH=DH=1,

又：Z￡>C￡=30°,

ADC=2,HC=上,

,ZZAEB=45°,ABAC=90°.BE=2五,

，AB=AE=2,

AC=2+1+G=3+百，

smmABCD=；x2x(3+8)+；x]x(3+6)=■+；-1

10.勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數學

家，也有業(yè)余數學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現了一個新的證法，證法如下：

把兩個全等的直角三角形(R3ABC絲RtADAE)如圖1放置，ND4B=/B=90。，AC_L￡>E于點F,點E

在邊A8上，現設RdACB兩直角邊長分別為CB=Z?、BA=a,斜邊長為4C=c,請用a、氏c分別表示出

梯形ABC。、四邊形AECD、aEBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理

(1)請根據上述圖形的面積關系證明勾股定理；

(2)如圖2,鐵路上A、B兩點(看作直線上的兩點)相距40千米，8為兩個村莊(看作直線上的兩點)，

ADLAB,BCLAB,垂足分別為A、B,AO=25千米，8C=16千米，則兩個村莊的距離為多少千米.

【答案】(I)見解析

(2)兩個村莊相距41千米.

【分析】(1)根據三角形的面積和梯形的面積就可表示出.

(2)連接C。,作CEJ_于點E,根據ADLAB,BC1.AB得至ljBC=AE,CE=AB,從而得至I」OE=AO-AE=24-16=8

千米，利用勾股定理求得CO兩地之間的距離.

【詳解】(1)解：S^.ABCD——ci(〃+。)，SAEBC——b(a-b),S^/--AECD——(?,

它們滿足的關系式為：~ci(a+b)=5。(a-b)c2,

即a2+h2=(r^

(2)解：如圖2①，連接CO,作于點￡

圖2

*：AD.LAB.BC-LAB,

:,BC=AE,CE=AB,

：.DE=16=9千米,

-'-CD=4DE?+CE,=W+4()2=4](千米),

，兩個村莊相距41千米.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，AB,BC,CD,OE是四根長度均為5cm的小木棒，點4、C、E共線.若AC=6cm,CDVBC,

則線段CE的長度是（）

A.7cmB.6^/2cmC.8cmD.875cm

【答案】C

【分析】過點B作BMLAE于點”，過點。作于點N,先根據三角形全等的判定定理證出

*BCM"DN,根據全等三角形的性質可得=CN,再根據等腰三角形的三線合一可得

CM=lAC=3cm,利用勾股定理可得8W=4cm,從而可得CN=4cm,然后根據等腰三角形的三線合一

即可得.

【詳解】解：如圖，過點3作于點M，過點。作DNLA石于點N,

??./BMC=/CND=9Q0,

:./BCM+NCBM=90°,

CD上BC,

.?ZBCM+ZDCN=90。，

:"CBM=4DCN,

4BMC=/CND=90。

在43cM和△8N中，4cBM=4DCN,

BC=CD

:-BCMMCDN(AAS),

:.BM=CN,

,AB=BC=5cm,AC=6cm,BM_LAE,

:.CMAC=3cm(等腰三角形的三線合一)，

BM=\lBC2-CM2=4cm，

CN=4cm，

又：CD=DE,DNLAE,

.?.CE=2CW=8cm(等腰三角形的三線合一)，

故選：C.

2.如圖RtAiABC中，/B=90。，BC=10,點尸是BA延長線上一點，過點F作FD〃8C,交C4延長線

于點。，點E是的中點，若BF=12,。尸=5則EF的長是()

DF

A.3B.5C.6.5D.6

【答案】c

【分析】延長在交8C于G,根據平行線的性質及利用AS4可得花一CGE,根據全等三角形的性質可

得FE=GE,CG=DF=5,進而可得BG的長，再利用勾股定理求出FG即可求得答案.

【詳解】解：延長FE交BC于G,如圖所示：

:./D=/C,

又,?,點E是OC的中點，

；?DE=CD,

在^DEE■和△CGE中，

ZD=ZC

DE=CE,

/DEF=NCEG（對頂角）

:.：DFE=^CGE{ASA）.

LFE=GE,CG=DF=5,

：.BG=BC-CG=10-5=5,

在RSFBG中,ZB=90°,

???FG=<BF2+BG?=J122+5z=13,

113

，FE=-FG=—=6.5,

22

故選：C.

3.如圖在四邊形A3CD中，AD//BC,ZD=90°,4）=5,BC=4,分別以A,。為圓心，大于;AC的

長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線的交AO于點F,交AC于點。，若點O是AC的中點，則CO的長

為（）

E

A.715B.y/ilC.3D.4

【答案】A

【分析】連接尸C,根據基本作圖，可得0E垂直平分AC,由垂直平分線的性質得出AF=FC再根據ASA

證明△FOAg^BOC,那么Af=BC=4,等量代換得到FC=AF=6,利用線段的和差關系求出尸=1.

然后在RtAFDC中利用勾股定理即可求出CD的長.

【詳解】解：如圖，連接FC,由題可得，點E和點。在AC的垂直平分線上,

垂直平分4C,

：.AF=FC,

\'AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO,

在AFOA與△80c中，

ZFAO=ZBCO

<OA=OC

ZAOF=NBOC

：.△尸OA絲△80C(AAS)：.A尸=BC=4,

：.FC=AF=4,FD=AD-AF=],

在△FDC中，ZD=90°,

CD2+DF2^FC2,

即CO2+12=42,

解得a)=A.

故選：A.

4.如圖，已知.ABC為等邊三角形，30為中線，延長8c至E,使CE=A￡),連接。E,若DE=6貝hABC

的面積()

A.B

B.G

2

【答案】B

【分析】過點C作CF_LOE于點凡根據等邊三角形的性質得出3O_LAC,AD=CD,ZACB=6Q°,

/48D=/C8C=30。，利用等邊對等角確定/COE=30。，設CF=x,則CD=2x,根據勾股定理求解確定8=1,

利用含30度角的直角三角形的性質得出AC=2,再山勾股定理得出8慶后二產=豆，根據面積公式求解

即可.

【詳解】解：過點C作CFLOE于點F,

??,AA8c為等邊三角形，8。為中線，

ABDLAC,AD=CD,ZACB=60°,N4BD=/C8D=30°,

：.ZDCE=\20°,

,:CE=AD,

：.CD=CE,

：.ZCDE^30°,

是OE的垂直平分線，

,\DF=-DE=—,

22

：.設CF=x,則CD=2x,

（2x）2=/+（用，

解得：尸;（負值舍去），

.'.8=1,

.'.AC=2,BD=五一f=6,

A48c的面積為：；AC*BD=6,

故選：B.

5.如圖，折疊直角三角形紙片，直角頂點C恰好落在斜邊AB的中點E處，已知8c=3五，則OE之長為

【答案】72

【分析】根據折疊和直角三角形的性質可得NEW=N3=NC4Q=30。，繼而得出AC=3BC=#，再結

3

合含30。角的直角三角形的性質和勾股定理求解即可.

【詳解】折疊直角三角形紙片，直角頂點C恰好落在斜邊A8的中點E處，

AC=AE=BE,BPAC=-AB,

2

AEAD=ZB=ZCAD=30°,

BC=3五，

:.AC=—BC=y/6,

3

AB=2AC=2yf6,

:.AE=BE=-AB=-j6,

2

設Z)E=x,則A￡)=2x,由勾股定理得/+(6了=4/,

解得了=夜(-夜舍去)，

:.DE=6,

故答案為：應.

6.已知RtAABC中，AB=8,BC=10,N8AC=90。，則圖中陰影部分面積為

【答案】24

【分析】根據陰影部分面積等于以A及4c為直徑的半圓的面積與ABC的面積的和減去以8c為直徑的半

圓面積即可求解.

【詳解】解：RdABC中，AB=S,8c=10,NBAC=90。,

AC=yjBC2-AB2=6-

+S

???5陰影部分=)%(3^8)+；乃(；4。)^ABC

=—x8x6

2

=24.

故答案為：24.

7.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ABA.BD,48=5,80=4,C￡>=3,點E是AC的中點，則8E的

長為.

【答案】亞

【分析】過A點作4尸垂直于CC的延長線于尸點，構造直角三角形，計算出AC的長，再證明△ABC是等

腰三角形，然后在/?/△ABE中根據勾股定理計算BE的長.

'SAB//CD,ABLBD

.".CDVBD

：.ZABD=ZCDB=90°

延長CO至尸，作AFLCF于尸點

則N8￡>F=90°,ZF=90°

四邊形A5Z）尸是矩形

：.AF=BD=4,OF=AB=5

CD=3

/.CF=5+3=8

AC=>/82+42=底=46

?.?H△BCD中，CD=3,BD=4

：.BC=5

：.AB=BC

「△ABC是等腰三角形

???點E是AC的中點

/.AE=-AC=2>/5,且B-

2

BE2=AB2—AE?=5~-（2石）2=5

BE=>/5

故答案為逐.

8.如圖，正方形ABC。的邊長為2,其面積標記為5-以C7）為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三

角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為邑，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則反?！钡闹禐?/p>

【答’案】尹瓦

【分析】根據勾股定理可得應2+四2=/2,從而得到$2=；*,依次類推，即可得到S3=gs2=；E，

找出規(guī)律，進而得到S2022的值.

【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，

則CE=DE,龐2+應2=笈2,

22

；?2DE=CD,

即52=3=1?2?2，

同理可得：S=ls=ls,=l,

3254=1S3=1S,=^S1=1

，4ZoZZ.

a

9.如圖，△ACS和^ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90,的頂點A在.ECD的斜邊ED±.,

連接應）.

(1)求證：△EAC絲△D5C.

(2)若AE=5,DE=17,求4c的長.

【答案】(I)證明見解析；(2)AC=M

2

【分析】(1)根據△ACB和△ECO都是等腰直角三角形，可直接得到相等的邊和相等的角，用“邊角邊證明

出全等即可”;

(2)根據全等的性質，得到對應角/E=/CO8,對應邊AE=BO=5,通過角度的等量代換，得到△A3。是

直角三角形，勾股定理即可求出A8的長度，最后用勾股定理求出AC即可.

【詳解】(1)證明：和都是等腰直角三角形

：.EC=DC,AC=BC,ZECD=ZACB=90°

：.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即：NECA—DCB

EC=DC

在△EAC和△OBC中，■ZECA=ZDCB

AC=BC

，△E4C公△DBC(SAS)⑵由(I)可知△E4C絲△￡>8C

AZE