第12講 勾股定理 （教師版）-數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步講義（蘇科版）江蘇初中數(shù)學(xué)（蘇教版）

第3章勾股定理

3.1勾股定理

簿目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的

多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，

2.能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的

會(huì)用面積法證明勾股定理。

邊長(zhǎng)(只限于常用的數(shù))；

2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。

3.通過對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際

問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題.

巖笈知識(shí)精講

燮、知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為。，斜邊長(zhǎng)為c,

那么片+/=c2.

【微點(diǎn)撥】

(1)勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b2,b2=c2—a2,c1—^a+—2ab.

【即學(xué)即練1】《九章算術(shù)》中有一道題目譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木

柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牽繩索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時(shí)，繩索用盡設(shè)

繩索的長(zhǎng)為x尺，下列方程正確的是()

A.(x-3)2-%2=82B.X2-(X-3)2=82

C.(x+3)2-%2=82D.x2-(x+3)2=82

【答案】B

【分析】設(shè)繩索的長(zhǎng)為x尺，則木柱高為（x-3）尺，長(zhǎng)8尺構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列方程.

【詳解】解：設(shè)繩索的長(zhǎng)為x尺，由題意得產(chǎn)-（x-3）?=8、

故選:B.

叁'知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中“做g=(a+by=J+4xLa6,所以J+b'j.

2

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中斗弁|84A3)=/=(b-a)2+4x-“b,所以—=[‘+戶

名712今

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

D

b

C

斗3="嗎"=2蔣必+#,所以『+從=（?.

【即學(xué)即練2】在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)

圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無字證明實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)、圖形與

兒何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

b

A.分類思想

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【詳解】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：D.

4

工'知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；

4.勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

【即學(xué)即練3】如圖所示的圖形是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的，其中三個(gè)正方形陰影部分的面積

和是56,大直角三角形一邊長(zhǎng)為6,則斜邊長(zhǎng)（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形面積，可求出大正方形面積為28,即4爐=28,由此即可求出4C.

【詳解】解：由圖形可知，兩個(gè)小正方形的面積和=大正方形的面積，

???三個(gè)正方形陰影部分的面積和是56,

."4=28,

/MC2=AB2+BC2=28+36=64,

.*.AC=8.

故選：A.

Qi能力拓展

考法01用勾股定理解三角形

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用

勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾

股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.

【典例1］如圖，A8C中，NB=45。,BC=2近，。是邊A3靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，ZADC=ZA,則C。

長(zhǎng)為（）

D.布

【答案】C

【分析】作CELAD交4。于點(diǎn)E,求出5E=CE=2,再求出BD=￡>E=AE=1,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：作CEL4）交AD于點(diǎn)￡,

A

,:ZADC=ZAf

：.AC=CD,

是AO中點(diǎn)，

VZB=45°,BC=2。

???BE=CE=2,

:是邊A8靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，E是AD中點(diǎn),

:.BD=DE=AE=T,

JCD=A/22+12=A/5?

故選：C

四分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則AC的長(zhǎng)度為（）

A.2及B.2后C.無）D.25

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：由勾股定理可得：AC=y^^=5

故答案為C.

2.如圖，正方形內(nèi)的數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所在的正方形的面積為（)

。

AAB.28100

【答案】D

【分析】山勾股定理即可求出答案.

【詳解】由勾股定理可知：S,=36+64=100.

故選：D.

3.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路他們僅

僅少走了幾步路，卻踩傷了花草，他們少走的路長(zhǎng)為（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【答案】D

【分析】先利用勾股定理可得A8=10m,再利用AC+BC-AB即可得.

【詳解】解：由題意可知，AC=6m,8C=8m,AC，BC,

AB=yjAC2+BC2=10m，

r.AC+8C-43=6+8-10=4（m）,

即他們少走的路長(zhǎng)為4m,

故選：D.

4.直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2和3,那么它的斜邊的長(zhǎng)是（）

A.0或加B.4C.小D.713

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)=戶手=后，

故選：D.

5.在如圖所示的直角三角形中，x=

12

【答案】13

【分析】直接利用勾股定理求解即可得出結(jié)果.

【詳解】解：X=A/FWF=13，

故答案為：13.

6.如圖，ZC=90°,AB=\2,BC=3,CD=4.若ZAB3=90。，則A。的長(zhǎng)為

【答案】13

【分析】多次利用勾股定理求相關(guān)邊的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：在BCD中,

ZC=90°

...△BCD是直角三角形

在RtABCD中

VBC=3,CD=4

由勾股定理可得：

BD=^BC'+CET=耳+4?=5

,/ZABD=90°

...△A3。是直角三角形

在Rt&ABD中

V?A=12,BD=5

由勾股定理可得:

AD=yjAB^BD2=7122+52=13

故答案為：13.

7.如圖，在AABC中，ZACB=90°,CO_LA3于點(diǎn)。，BC=3cm,AC=4cm,A8=5cm.請(qǐng)求出△ABC

的面積和CD的長(zhǎng).

【答案】△ABC的面枳為6cm2,

【分析】根據(jù)直角三角形面積公式即可求解三角形的面積，再根據(jù)直角三角形面積的兩種計(jì)算方法求出斜

邊上的高.

【詳解】解：：NAC8=90。

=—BC-AC=—x3x4=6fcm2

22

=-ABCD

2

：.-ABCD=6

2

-x5C￡>=6

2

/.CD=￡(cm)

,12

答：△ABC的面積為6cm2,CO的長(zhǎng)為M-cm.

題組B能力提升練

1.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，將沿直線3c平移至的位置，連接3。，則BO的

長(zhǎng)是（）

D

A.73B.2C.2A/3D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到△OCETA48C,進(jìn)而得到。E=2,ZCBD=ZCDB=3G°,求出8E=2￡）E=4,利用勾

股定理求出BD即可.

【詳解】解：???將oABC沿直線BC平移至‘OCE的位置，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

.,.△DCE^AABC,

NE=N4C8=60°,ZDCE=ZABC=60°,DE=2,CD=AB=BC,

：.NCBD=NCDB=3。。,

：.ZBDE=90°,

在中，BE=2DE=4,

BIAsiBE2-DE2=2x/3，

故選：C.

2.如圖，/A0C=/80C,點(diǎn)尸在OC上，尸OJ_OA與點(diǎn)。，PELOB與點(diǎn)、E,若00=4,0P=5,則尸E的

長(zhǎng)為（）

A.3B.GC.4D.V15

【答案】A

【分析】利用勾股定理列式求出PC,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PD

【詳解】解："：OD=4,0P=5,PDLOA,

，由勾股定理得，PDZ5?-4?=3,

VZAOC=ZBOC,PD1OA,PELOB,

:.PE=PD=3.

故選A.

3.如圖是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的股弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和小正方形拼成的一個(gè)大正方形.己知大

正方形的面積是26,小正方形的面積是2,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么（〃+。）2

的值為（）.

A.28B.50D.169

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到油的

值，然后根據(jù)3+初2=/+2。匕+〃即可求解.

【詳解】根據(jù)勾股定理可得/+從=26，

四個(gè)直角三角形的面積是：1^x4=26-2=24,即加=24,

則（a+b）2=a2+2ab+/>2=26+24=50.

故選：B.

4.如圖，字母8所代表的正方形的邊長(zhǎng)是（）

A.12cmB.15cmC.144cmD.306cm

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理求出字母B所代表的IE方形的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：在RdDE尸中,由勾股定理得，。產(chǎn)+￡尸2=。后，

，字母8所代表的正方形的面積=￡尸2=?！?-￡)產(chǎn)=225-81=144(cm2),

字母B所代表的正方形的邊長(zhǎng)=12(cm),

故選A.

5.周長(zhǎng)為24,斜邊長(zhǎng)為10的直角三角形面積為.

【答案】24

【分析】設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為mb,由周長(zhǎng)與斜邊的關(guān)系得。+匕=14,中由完全平方公式和勾股定

理求出時(shí)的值，即可求出三角形的面積.

【詳解】解：解：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a,b,

???該直角三角形的周長(zhǎng)為24,其斜邊長(zhǎng)為10,

/.24-(a+h)=10,

即a+b=\4t

由勾股定理得：?2+/72=102=100,

?.?(〃+〃)2=142,

a2+b2+2ah=196,

即100+2"=196,

而=48,

二直角三角形的面積=3"=24,

故答案為：24.

6.如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在

注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖連接四條線段得到如圖2的新的圖案.如果圖1中的

直角三角形的長(zhǎng)直角邊為5,短直角邊為3,圖2中陰影部分的面積為S,那么S的值為.

圖1圖2

【答案】16

【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積.

【詳解】解：由題意作出如下圖，

得47=，3?+52=取,80=5-3=2,AB=CD,△AB。是直角三角形，

則大正方形面積=4C2=34,

19

△4。(7面積=:(5x3-2x3)=-,

22

9

陰影部分的面積S=34-44=16,

2

故答案為：16.

7.如圖，在「ABC中，AB^AC,fiC=10,CDLAB,垂足為￡>,C￡>=8.求AC的長(zhǎng).

【答案】AC=y

【分析】由勾股定理可先求出8。的長(zhǎng)，然后設(shè)AC=AB=x,則AD=x-6,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可建立方

程求解

【詳解】解：8_LA8,

ZADC=^BDC=90°,

?；3c=10,8=8,

二在心8C￡>中，BD=\jBC2-CD2=6>

設(shè)AC=A8=x,則A￡>=x—6,

在R/AACC中，AC2=AD2+CD2,BPX2=(X-6)2+82,

2525

解得，乂=子，BPAC=y

8.如圖，在，MC中，ZACB=90°,BC=\2,AC=16,CD是高.求CD的長(zhǎng).

【答案】y

【分析】在ABC中，由勾股定理可求得A8的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等積法即可求得C￡>的長(zhǎng).

【詳解】解：：在./BC中，ZACB=90°,BC=12,AC=16,

AB=dBC，+AC?=7122+162=20>

5AAfi￡.=1^CAC=1xl2xl6=96,

又是,.血的高，

SZAAA/loKCr=-2ABCD=-2x20CD=96,

48

解得：CD=y,

48

???CD的長(zhǎng)為

9.如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)E,ZBAC=90°,ZCED=45°,ZDCE=30°,DE=y/2,

BE=2-J1.求AC的長(zhǎng)和四邊形ABC。的面積.

AD

B

［答案］21M

2

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=l,進(jìn)而再利用直角三角形30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一

半求出AC、AB的長(zhǎng)，即可得出四邊形A8C。的面積.

【詳解】過點(diǎn)。作

VZCED=45°,DHLEC,DE=6,

EH=DH=1,

又：Z￡>C￡=30°,

ADC=2,HC=上,

,ZZAEB=45°,ABAC=90°.BE=2五,

，AB=AE=2,

AC=2+1+G=3+百，

smmABCD=；x2x(3+8)+；x]x(3+6)=■+；-1

10.勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)

家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法，證法如下：

把兩個(gè)全等的直角三角形(R3ABC絲RtADAE)如圖1放置，ND4B=/B=90。，AC_L￡>E于點(diǎn)F,點(diǎn)E

在邊A8上，現(xiàn)設(shè)RdACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB=Z?、BA=a,斜邊長(zhǎng)為4C=c,請(qǐng)用a、氏c分別表示出

梯形ABC。、四邊形AECD、aEBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理

(1)請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理；

(2)如圖2,鐵路上A、B兩點(diǎn)(看作直線上的兩點(diǎn))相距40千米，8為兩個(gè)村莊(看作直線上的兩點(diǎn))，

ADLAB,BCLAB,垂足分別為A、B,AO=25千米，8C=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為多少千米.

【答案】(I)見解析

(2)兩個(gè)村莊相距41千米.

【分析】(1)根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出.

(2)連接C。,作CEJ_于點(diǎn)E,根據(jù)ADLAB,BC1.AB得至ljBC=AE,CE=AB,從而得至I」OE=AO-AE=24-16=8

千米，利用勾股定理求得CO兩地之間的距離.

【詳解】(1)解：S^.ABCD——ci(〃+。)，SAEBC——b(a-b),S^/--AECD——(?,

它們滿足的關(guān)系式為：~ci(a+b)=5。(a-b)c2,

即a2+h2=(r^

(2)解：如圖2①，連接CO,作于點(diǎn)￡

圖2

*：AD.LAB.BC-LAB,

:,BC=AE,CE=AB,

：.DE=16=9千米,

-'-CD=4DE?+CE,=W+4()2=4](千米),

，兩個(gè)村莊相距41千米.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，AB,BC,CD,OE是四根長(zhǎng)度均為5cm的小木棒，點(diǎn)4、C、E共線.若AC=6cm,CDVBC,

則線段CE的長(zhǎng)度是（）

A.7cmB.6^/2cmC.8cmD.875cm

【答案】C

【分析】過點(diǎn)B作BMLAE于點(diǎn)”，過點(diǎn)。作于點(diǎn)N,先根據(jù)三角形全等的判定定理證出

*BCM"DN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=CN,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得

CM=lAC=3cm,利用勾股定理可得8W=4cm,從而可得CN=4cm,然后根據(jù)等腰三角形的三線合一

即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)3作于點(diǎn)M，過點(diǎn)。作DNLA石于點(diǎn)N,

??./BMC=/CND=9Q0,

:./BCM+NCBM=90°,

CD上BC,

.?ZBCM+ZDCN=90。，

:"CBM=4DCN,

4BMC=/CND=90。

在43cM和△8N中，4cBM=4DCN,

BC=CD

:-BCMMCDN(AAS),

:.BM=CN,

,AB=BC=5cm,AC=6cm,BM_LAE,

:.CMAC=3cm(等腰三角形的三線合一)，

BM=\lBC2-CM2=4cm，

CN=4cm，

又：CD=DE,DNLAE,

.?.CE=2CW=8cm(等腰三角形的三線合一)，

故選：C.

2.如圖RtAiABC中，/B=90。，BC=10,點(diǎn)尸是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作FD〃8C,交C4延長(zhǎng)線

于點(diǎn)。，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若BF=12,。尸=5則EF的長(zhǎng)是()

DF

A.3B.5C.6.5D.6

【答案】c

【分析】延長(zhǎng)在交8C于G,根據(jù)平行線的性質(zhì)及利用AS4可得花一CGE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得FE=GE,CG=DF=5,進(jìn)而可得BG的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出FG即可求得答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)FE交BC于G,如圖所示：

:./D=/C,

又,?,點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，

；?DE=CD,

在^DEE■和△CGE中，

ZD=ZC

DE=CE,

/DEF=NCEG（對(duì)頂角）

:.：DFE=^CGE{ASA）.

LFE=GE,CG=DF=5,

：.BG=BC-CG=10-5=5,

在RSFBG中,ZB=90°,

???FG=<BF2+BG?=J122+5z=13,

113

，F(xiàn)E=-FG=—=6.5,

22

故選：C.

3.如圖在四邊形A3CD中，AD//BC,ZD=90°,4）=5,BC=4,分別以A,。為圓心，大于;AC的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線的交AO于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)。，若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CO的長(zhǎng)

為（）

E

A.715B.y/ilC.3D.4

【答案】A

【分析】連接尸C,根據(jù)基本作圖，可得0E垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC再根據(jù)ASA

證明△FOAg^BOC,那么Af=BC=4,等量代換得到FC=AF=6,利用線段的和差關(guān)系求出尸=1.

然后在RtAFDC中利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接FC,由題可得，點(diǎn)E和點(diǎn)。在AC的垂直平分線上,

垂直平分4C,

：.AF=FC,

\'AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO,

在AFOA與△80c中，

ZFAO=ZBCO

<OA=OC

ZAOF=NBOC

：.△尸OA絲△80C(AAS)：.A尸=BC=4,

：.FC=AF=4,FD=AD-AF=],

在△FDC中，ZD=90°,

CD2+DF2^FC2,

即CO2+12=42,

解得a)=A.

故選：A.

4.如圖，已知.ABC為等邊三角形，30為中線，延長(zhǎng)8c至E,使CE=A￡),連接。E,若DE=6貝hABC

的面積()

A.B

B.G

2

【答案】B

【分析】過點(diǎn)C作CF_LOE于點(diǎn)凡根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出3O_LAC,AD=CD,ZACB=6Q°,

/48D=/C8C=30。，利用等邊對(duì)等角確定/COE=30。，設(shè)CF=x,則CD=2x,根據(jù)勾股定理求解確定8=1,

利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=2,再山勾股定理得出8慶后二產(chǎn)=豆，根據(jù)面積公式求解

即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CFLOE于點(diǎn)F,

??,AA8c為等邊三角形，8。為中線，

ABDLAC,AD=CD,ZACB=60°,N4BD=/C8D=30°,

：.ZDCE=\20°,

,:CE=AD,

：.CD=CE,

：.ZCDE^30°,

是OE的垂直平分線，

,\DF=-DE=—,

22

：.設(shè)CF=x,則CD=2x,

（2x）2=/+（用，

解得：尸;（負(fù)值舍去），

.'.8=1,

.'.AC=2,BD=五一f=6,

A48c的面積為：；AC*BD=6,

故選：B.

5.如圖，折疊直角三角形紙片，直角頂點(diǎn)C恰好落在斜邊AB的中點(diǎn)E處，已知8c=3五，則OE之長(zhǎng)為

【答案】72

【分析】根據(jù)折疊和直角三角形的性質(zhì)可得NEW=N3=NC4Q=30。，繼而得出AC=3BC=#，再結(jié)

3

合含30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】折疊直角三角形紙片，直角頂點(diǎn)C恰好落在斜邊A8的中點(diǎn)E處，

AC=AE=BE,BPAC=-AB,

2

AEAD=ZB=ZCAD=30°,

BC=3五，

:.AC=—BC=y/6,

3

AB=2AC=2yf6,

:.AE=BE=-AB=-j6,

2

設(shè)Z)E=x,則A￡)=2x,由勾股定理得/+(6了=4/,

解得了=夜(-夜舍去)，

:.DE=6,

故答案為：應(yīng).

6.已知RtAABC中，AB=8,BC=10,N8AC=90。，則圖中陰影部分面積為

【答案】24

【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以A及4c為直徑的半圓的面積與ABC的面積的和減去以8c為直徑的半

圓面積即可求解.

【詳解】解：RdABC中，AB=S,8c=10,NBAC=90。,

AC=yjBC2-AB2=6-

+S

???5陰影部分=)%(3^8)+；乃(；4。)^ABC

=—x8x6

2

=24.

故答案為：24.

7.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ABA.BD,48=5,80=4,C￡>=3,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則8E的

長(zhǎng)為.

【答案】亞

【分析】過A點(diǎn)作4尸垂直于CC的延長(zhǎng)線于尸點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再證明△ABC是等

腰三角形，然后在/?/△ABE中根據(jù)勾股定理計(jì)算BE的長(zhǎng).

'SAB//CD,ABLBD

.".CDVBD

：.ZABD=ZCDB=90°

延長(zhǎng)CO至尸，作AFLCF于尸點(diǎn)

則N8￡>F=90°,ZF=90°

四邊形A5Z）尸是矩形

：.AF=BD=4,OF=AB=5

CD=3

/.CF=5+3=8

AC=>/82+42=底=46

?.?H△BCD中，CD=3,BD=4

：.BC=5

：.AB=BC

「△ABC是等腰三角形

???點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)

/.AE=-AC=2>/5,且B-

2

BE2=AB2—AE?=5~-（2石）2=5

BE=>/5

故答案為逐.

8.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為5-以C7）為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三

角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為邑，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則反?！钡闹禐?/p>

【答’案】尹瓦

【分析】根據(jù)勾股定理可得應(yīng)2+四2=/2,從而得到$2=；*,依次類推，即可得到S3=gs2=；E，

找出規(guī)律，進(jìn)而得到S2022的值.

【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，

則CE=DE,龐2+應(yīng)2=笈2,

22

；?2DE=CD,

即52=3=1?2?2，

同理可得：S=ls=ls,=l,

3254=1S3=1S,=^S1=1

，4ZoZZ.

a

9.如圖，△ACS和^ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90,的頂點(diǎn)A在.ECD的斜邊ED±.,

連接應(yīng)）.

(1)求證：△EAC絲△D5C.

(2)若AE=5,DE=17,求4c的長(zhǎng).

【答案】(I)證明見解析；(2)AC=M

2

【分析】(1)根據(jù)△ACB和△ECO都是等腰直角三角形，可直接得到相等的邊和相等的角，用“邊角邊證明

出全等即可”;

(2)根據(jù)全等的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)角/E=/CO8,對(duì)應(yīng)邊AE=BO=5,通過角度的等量代換，得到△A3。是

直角三角形，勾股定理即可求出A8的長(zhǎng)度，最后用勾股定理求出AC即可.

【詳解】(1)證明：和都是等腰直角三角形

：.EC=DC,AC=BC,ZECD=ZACB=90°

：.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即：NECA—DCB

EC=DC

在△EAC和△OBC中，■ZECA=ZDCB

AC=BC

，△E4C公△DBC(SAS)⑵由(I)可知△E4C絲△￡>8C

AZE