高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第六節(jié) 雙曲線習(xí)題 理試題

第六節(jié)雙曲線[基礎(chǔ)達標]一、選擇題(每小題5分,共30分)1.雙曲線=1的一條漸近線的傾斜角為30°,則雙曲線的離心率為 ()A. B. C. D.21.A【解析】由題意可知,雙曲線的焦點在x軸上,且一條漸近線的斜率是,所以,即e2=,故e=.2.已知圓x2+y2-10x+24=0的圓心是雙曲線=1(a>0)的一個焦點,則此雙曲線的漸近線方程為 ()A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x2.B【解析】因為圓心(5,0)是雙曲線的一個焦點,所以a2+9=25,a>0,解得a=4,所以漸近線方程為y=±x=±x.3.(2015·西北師大附中三診)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F1,F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4),則此雙曲線的方程為 ()A.=1 B.=1C.=1 D.=13.C【解析】由題意可得c=5,,則b2=a2=25-a2,解得a2=9,b2=16,故該雙曲線的方程為=1.4.(2015·新課標全國卷Ⅱ)已知A,B為雙曲線E的左、右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為 ()A. B.2 C. D.4.D【解析】設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),且不妨設(shè)點M在第一象限,則由題意得M(2a,a),則=1,所以a=b,所以e=.5.已知點F1,F2分別是雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若△ABF2是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是 ()A.(1,) B.(,2)C.(1+,+∞) D.(1,1+)5.D【解析】由△ABF2是銳角三角形,得∠AF2F1∈,所以AF1<F1F2,即<2c,c2-a2<2ac,即為e2-2e-1<0,又e>1,解得1<e<1+.6.已知不平行于坐標軸的直線l與以原點O為中心的雙曲線=1(a>0,b>0)的兩支及其兩條漸近線從左到右依次交于A,B,C,D不同的四點,則下列一定成立的是 ()A.|AD|=2|BC| B.|AB|=|BC|=|CD|C. D.6.C【解析】設(shè)直線l為y=kx+m.聯(lián)立方程組得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.聯(lián)立方程組得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2=0.∴xA+xD=xB+xC,即線段AD與線段BC的中點重合,故|AB|=|CD|,.二、填空題(每小題5分,共10分)7.若雙曲線x2-ky2=1的一個焦點是(3,0),則實數(shù)k=.

7.【解析】該雙曲線的標準方程為x2-=1,所以1+=9,解得k=.8.(2015·鎮(zhèn)江調(diào)研)若雙曲線=1(a>0,b>0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,則該雙曲線的漸近線方程是.

8.y=±x【解析】雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離d==b,焦距為2c,則由題意可得b=×2c,4b2=c2=a2+b2,3b2=a2,,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.三、解答題(共20分)9.(10分)求過和(4,-3)兩點的雙曲線的標準方程.9.【解析】設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn>0).由題意得解得所以所求雙曲線方程為=1.10.(10分)已知定圓M:(x-2)2+y2=8,動圓P過點N(-2,0),且與定圓M外切,求動圓P的圓心的軌跡方程.10.【解析】因為動圓P過點N,所以|PN|是圓P的半徑,又因為動圓P與圓M外切,所以|PM|=|PN|+2,即|PM|-|PN|=2.故點P的軌跡是以M,N為焦點,實軸長為2的雙曲線的左支.因為實半軸長a=,半焦距c=2,所以虛半軸長b=.從而動圓P的圓心的軌跡方程為=1(x≤-).[高考沖關(guān)]1.(5分)過雙曲線=1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B,C.若,則此雙曲線的離心率是 ()A. B. C. D.1.C【解析】由題意可得-<-1,b>a,直線l:y=-x+a與漸近線y=x相交于點B,與漸近線y=-x相交于點C,又,則,得b=2a,b2=c2-a2=4a2,c=a,所以離心率e=.2.(5分)(2015·湖州二模)已知橢圓C1:=1(a1>b1>0)和雙曲線C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的焦點F1,F2,且橢圓C1與雙曲線C2在第一象限的交點為P,若2=||2(O為坐標原點),則雙曲線C2的離心率的取值范圍是 ()A.(,+∞) B.(2,+∞) C.(,+∞) D.(3,+∞)2.B【解析】設(shè)P(x,y),F2(c,0),則由2=||2可得x=,分別代入橢圓和雙曲線方程可得y2=,y2=,且=c2,則c2,可得),解得e1e2=2,e2=,因為e1∈(0,1),所以e2∈(2,+∞).3.(5分)(2015·安慶三模)若以A,B為焦點的雙曲線經(jīng)過點C,且|AB|=|AC|,cos∠ABC=,則該雙曲線的離心率為 ()A. B.2 C.3 D.3.C【解析】不妨設(shè)點A,B分別為左、右焦點,實半軸長為a,半焦距為c,若點C在雙曲線的左支上,設(shè)BC中點為D,則由定義知|BD|=|BC|=(2c+2a)=c+a,在Rt△ABD中,由cos∠ABC=,得,e=-3,不可能,故C在雙曲線的右支上,設(shè)BC中點為D,則由雙曲線定義知|BD|=|BC|=(2c-2a)=c-a,在Rt△ABD中,cos∠ABD=,故,得e==3.4.(5分)(2015·重慶巴蜀中學(xué)三診)已知F是雙曲線=1的左焦點,點A(1,3),P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為.

4.11【解析】雙曲線的右焦點F'(5,0),由于點P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|=2a+|PF'|+|PA|≥6+|F'A|=11,當(dāng)且僅當(dāng)F',P,A三點共線時取等號,故|PF|+|PA|的最小值為11.5.(5分)(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點.若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數(shù)c的最大值為.

5.【解析】如圖,x-y=0為雙曲線x2-y2=1的一條漸近線.設(shè)點P到直線x-y+1=0的距離為d,直線x-y=0與直線x-y+1=0的距離為d1,由漸近線的性質(zhì),可知d>d1=,又因為d>c恒成立,所以c的最大值為.6.(5分)設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的其中一個交點為P,設(shè)O為坐標原點,若=m+n(m,n∈R),且mn=,則該雙曲線的離心率為.

6.【解析】不妨設(shè)點A在第一象限,由已知可得A,B,代入=m+n,解得P(m+n)c,(m-n),代入雙曲線方程,化簡得4e2mn=1,所以e2=,解得e=.7.(10分)已知橢圓x2+=1的左、右兩個頂點分別為A,B.曲線C是以A,B兩點為頂點,離心率為的雙曲線.設(shè)點P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點T.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)P,T兩點的橫坐標分別為x1,x2,證明:x1·x2=1.7.【解析】(1)依題意可得A(-1,0),B(1,0).設(shè)雙曲線C的方程為x2-=1(b>0),因為雙曲線的離心率為,所以,即b=2.所以雙曲線C的方程為x2-=1.(2)解法1:設(shè)點P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直線AP的斜率為k(k>0),則直線AP的方程為y=k(x+1),聯(lián)立方程組整理得(4+k2)x2+2k2