專題06 全等三角形常見模型專題探究（原卷版）

專題06全等三角形常見模型專題探究模型一K型圖【知識點睛】K型圖模型總結圖形條件與結論輔助線注意事項條件：AC=BC,AC⊥BC結論：△ADC≌△CEB(AAS)分別過點A、B作AD⊥l,BE⊥lK型圖可以和等腰直角三角板結合，也可以和正方形結合K型全等模型變形——三垂定理：如圖，亦有△ADC≌△CEB(AAS)總結：當一個直角放在一條直線上時，常通過構造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關系【類題訓練】1．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點B在直線l上，過A作AD⊥l于D，過C作CE⊥l于E．下列給出四個結論：①BD＝CE；②∠BAD與∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點A與矩形ABCD的頂點重合，直角頂點E落在邊BC上，另一頂點F恰好落在邊CD的中點處，若BC＝12，則AB的長為．3．（2021秋?惠民縣月考）如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S＝．3．如圖1，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點A，D是線段AB上的點，AD＝BC，AF＝BD．（1）判斷DF與DC的數(shù)量關系為，位置關系為．（2）如圖2，若點D在線段AB的延長線上，過點A在AB的另一側作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC，DF，CF，試說明（1）中結論是否成立，并說明理由．4．（2020秋?永年區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，點D在邊BC上運動（點D不與BC點重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交邊AC于點E．（1）當∠BDA＝100°時，∠EDC＝°，∠DEC＝°；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．5．（2022春?錦江區(qū)校級期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過點A作AH⊥CE于點H，反向延長線段AH交BD于點F．（1）如圖1，當AB＝AD時①請直接寫出BF與DF的數(shù)量關系：BFDF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：CE＝2AF（2）如圖2，當AB≠AD時，上述①②結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．模型二手拉手模型【知識點睛】手拉手模型總結圖形條件與結論輔助線條件：AD=AE、AB=AC∠BAC=∠DAE結論：△ABD≌△ACE(SAS)BD=CE分別連接BD、CE手拉手模型在第一章只是表面應用，后續(xù)深層次應用需要在等腰三角形學完之后探究【類題訓練】1．如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，則∠BOC的度數(shù)是（）A．135° B．125° C．120° D．110°2．（2021秋?諸暨市月考）已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）線段BD與線段CE的關系為，請說明理由．3．如圖，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于點F，有下列四個結論：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（2021秋?長沙期末）如圖，△ABD、△AEC都是等邊三角形，直線CD與直線BE交于點F．（1）求證：CD＝BE；（2）求∠CFB的度數(shù)．5．（2021秋?大連期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一動點（不與B、C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉∠BAC的度數(shù)，得到線段AE，連接CE，設∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，用等式表示α與β之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，當點D在線段CB延長線上時，補全圖形，用等式表示α與β之間的數(shù)量關系，并證明．6．已知，∠MON＝90°，點A在邊OM上，點P是邊ON上一動點，∠OAP＝α．以線段AP為邊在AP上方作等邊△ABP，連接OB、BP，再以線段OB為邊作等邊△OBC（點C、P在OB的同側），作CH⊥ON于點H．（1）如圖1，α＝60°．①依題意補全圖形；②求∠BPH的度數(shù)；（2）如圖2，當點P在射線ON上運動時，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關系，并證明．模型三對稱全等模型【知識點睛】對稱全等模型總結常見基本圖形：模型提?。?.對稱變換基本特征：必有對稱軸2.對稱型全等模型常隱含的條件：具有公共邊、公共角、有時全等三角形不止一對、對稱軸會平分公共角3.全等證明常用解決手段：多想角度間的等量代換方法—角平分線的定義、內(nèi)角和公式、外角定理等4.其特殊應用環(huán)境：角平分線的常見輔助線角平分線基本性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等（對稱類全等經(jīng)常和角平分線結合，可以考察角平分線的定義，也可以考察角平分線的性質定理）【類題訓練】1．（2022?梧州模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點D，CD＝4，△CDE周長為12，則AC的長是（）A．14 B．8 C．16 D．62．如圖：D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2020秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD與BE交于O點，則∠EOC的度數(shù)為（）A．80° B．85° C．90° D．100°4．如圖，已知點D、E是△ABC內(nèi)兩點，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：△ABD≌△ACE．（2）延長BD、CE交于點F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度數(shù)．5．（2022?嘉興一模）在①OA＝OD，②∠ABC＝∠DCB，③∠ABO＝∠DCO這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，AC與BD相交于點O，∠1＝∠2．若，求證：AB＝DC．6．（2021秋?臺安縣月考）如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M