專題02 三角形的外角與全等三角形的性質(zhì)壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題02三角形的外角與全等三角形的性質(zhì)壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形的外角的定義及性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二全等圖形識(shí)別】 3【考點(diǎn)三利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】 5【考點(diǎn)四將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形】 8【考點(diǎn)五全等三角形的概念】 10【考點(diǎn)六全等三角形的性質(zhì)】 11【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一三角形的外角的定義及性質(zhì)】例題：（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直線，被直線，所截，且，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到的度數(shù)【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，∵，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線和三角形外角的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市海軍中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，若，，，則___________．【答案】/149度【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由三角形的外角性質(zhì)可求得的度數(shù)，再次利用三角形的外角性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，∵，，是的外角，，∵，是的外角，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．2．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，已知，點(diǎn)A在上，點(diǎn)B和D在上，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，，，則的度數(shù)是_____．

【答案】/40度【分析】利用平行線的性質(zhì)求出，再利用三角形外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二全等圖形識(shí)別】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)于兩個(gè)圖形，給出下列結(jié)論：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等；②兩個(gè)圖形的面積相等；③兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積都相等；④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等．其中能獲得這兩個(gè)圖形全等的結(jié)論共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．強(qiáng)調(diào)能夠完全重合，對(duì)選擇項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證可得答案．【詳解】解：①周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圖形不一定重合，所以不一定全等；②如果面積相同而形狀不同也不全等；③如果周長(zhǎng)相同面積相同而形狀不同，則不全等，④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等，則二者一定重合，正確．所以只有1個(gè)正確，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的概念，做題時(shí)要根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)證．2．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形與四邊形全等，則________，________，________，________．【答案】/度/度126【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)全等圖形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在四邊形中，∴，∵四邊形與四邊形全等，∴由圖可知，故答案為：；；12；6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟知全等圖形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則___________度．【答案】【分析】作輔助線，使為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形，可得到，利用等角代換即可得解．【詳解】解：如圖，連接、，，，，由圖可知，在和中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中求兩角和，構(gòu)造全等三角形，利用等角代換是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3正方形網(wǎng)格中，__________度．【答案】【分析】證明，得出,根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，即可求解．【詳解】解：如圖，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求得是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的小正方形，則∠1+∠2的度數(shù)為_(kāi)_________.【答案】/45度【分析】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，則，根據(jù)外角的性質(zhì)卡得，即可求解．【詳解】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用全等的性質(zhì)求網(wǎng)格中的角度，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形】例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，用兩種方法將下面的圖形劃分為兩個(gè)全等的圖形．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)全等圖形的定義：對(duì)應(yīng)邊都相等，對(duì)應(yīng)角都相等的圖形進(jìn)行構(gòu)造即可．【詳解】解：如圖所示（任意兩種方法，正確即可）：

【點(diǎn)睛】本題考查全等圖形的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）試在下列兩個(gè)圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個(gè)圖形分別分割成兩個(gè)全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【答案】見(jiàn)解析（第一個(gè)圖答案不唯一）【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對(duì)稱性和互補(bǔ)性來(lái)分隔成兩個(gè)全等的圖形．【詳解】解：第一個(gè)圖形分割有如下幾種：第二個(gè)圖形的分割如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點(diǎn)．2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）沿網(wǎng)格線把正方形分割成兩個(gè)全等圖形？用兩種不同的方法試一試．【答案】見(jiàn)解析【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：這個(gè)正方形網(wǎng)格的總面積為16，因此只要將面積分為8，且圖形形狀相同即可．【詳解】解：如圖所示即為所求．【點(diǎn)睛】題目主要考查了全等圖形的定義及學(xué)生的空間想象能力，理解全等圖形的定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五全等三角形的概念】例題：（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)校考期中）下列說(shuō)法中，正確的有（

）①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形②面積相等的兩個(gè)圖形是全等形③全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等④若，則，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)全等的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】①形狀大小都相同的兩個(gè)圖形是全等形，故①錯(cuò)誤；②面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等形，故②錯(cuò)誤；③全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等，是對(duì)的，故③正確；④若，則，，故④錯(cuò)誤；故正確的有1個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的定義和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的定義．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，且與是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與是對(duì)應(yīng)邊 B．與是對(duì)應(yīng)邊C．與是對(duì)應(yīng)邊 D．不能確定的對(duì)應(yīng)邊【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的概念即可得到答案．【詳解】解：與是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，與是對(duì)應(yīng)邊，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形 B．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形C．面積相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形 D．邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形為全等三角形，據(jù)此判斷即可．【詳解】A、形狀相同且大小相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、面積相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形，原說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六全等三角形的性質(zhì)】例題：（2023春·廣東深圳·七年級(jí)校考期中）如圖，若，，，則等于______．

【答案】/100度【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求出，然后利用三角形的內(nèi)角和可得答案．【詳解】解：，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，并且，，則______，_______．

【答案】5/38度【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故答案為：5；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，且，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】/度【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，且，，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因?yàn)?，即可求得的度?shù)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可得的度數(shù)．【詳解】解：，．．綜上所述：，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和，角度的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）下列各組中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等形的形狀相同、大小相等逐項(xiàng)分析即可．【詳解】根據(jù)全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷．解：A、兩個(gè)圖形的形狀不一樣，不是全等形，故不合題意；B、兩個(gè)圖形的形狀不一樣，不是全等形，故不合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等形，故符合題意；D、兩個(gè)圖形的大小不一樣，不是全等形，故不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)平面圖形叫做全等形．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有下列說(shuō)法：①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等圖形；②兩個(gè)面積相等的正方形是全等形；③全等三角形的面積相等；④若，，則．其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①形狀相同的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故說(shuō)法錯(cuò)誤；②兩個(gè)面積相等的正方形是全等形，故說(shuō)法正確；③全等三角形的面積相等，故說(shuō)法正確；④若，，則，故說(shuō)法正確，故正確的有3個(gè)，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了全等圖形的定義和性質(zhì)，熟練掌握全等圖形的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），連接，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的性質(zhì)，求出．5．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)與全等時(shí)，的值是（

）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2【答案】B【分析】由題意知當(dāng)與全等，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，與全等，分兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，即，解得，，即，解得；綜上所述，的值是1或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．二、填空題6．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，則_____________

【答案】140【分析】利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，，．，故答案為：140．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，解答此類題目的關(guān)鍵是熟記三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．7．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，如果，，，則________.

【答案】4【分析】本題欲求的長(zhǎng)度，只需求出的長(zhǎng)度即可，因兩三角形全等，故可得，從而使問(wèn)題得解．【詳解】，∴，∵，∴，又，∴，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____________．【答案】60【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖如圖所示：，，，，，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．9．（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，的數(shù)據(jù)標(biāo)錯(cuò)了，為了改正確，應(yīng)將圖中的度數(shù)___________（填“增大”或“減小”）___________度．

【答案】增大5【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出，進(jìn)而可得，然后與圖形中的數(shù)據(jù)比較即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，如圖，則，∴，∴為了改正確，應(yīng)將圖中的度數(shù)增大；故答案為：增大，5．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，正確理解題意、熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是_____．【答案】/25度【分析】由全等的性質(zhì)得出，從而可證．再由，即得出．【詳解】解：∵，∴，∴，即．∵，∴．故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查全等的性質(zhì)，垂線的定義，求一個(gè)角的余角．熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖已知，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，，求的度數(shù)和的長(zhǎng)．【答案】，【分析】先由全等三角形的性質(zhì)得出，，，再由，得出，即可由三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：，，，，∵B、C、E在一條直線上，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知，，，(1)求AC的長(zhǎng)(2)CE與BF平行嗎？說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AC；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）平行，理由如下：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題關(guān)鍵．13．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、D、C、B在同一條直線上，，∠B＝33°，，BC＝5cm，CD＝2cm．求：