4-3 角（單元教學(xué)設(shè)計）七年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

4.3角(單元教學(xué)設(shè)計)通過一些實物圖，抽象出其中的角，并學(xué)會歸納總結(jié)出角的概念與意義，并學(xué)會角的計算；掌握角的概念及表示方法，學(xué)會比較角的大小，理解角的和、差、倍、分的意義，同時也理解余角和補角的概念與(1)構(gòu)造生活中的具體情境，讓學(xué)生通過實例歸納總結(jié)出角的概念和性質(zhì)，角的表示方法，并學(xué)會比(3)通過典型例題的訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；(4)在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，(5)通過觀察圖片，提高學(xué)生的觀察事物的能力，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)；(2)和為180°的兩個角互補.8.方位角本節(jié)內(nèi)容主要是角的計算與應(yīng)用，掌握角的兩種定義及表示方法，并在圖形中認(rèn)識角、熟悉角的表示方法；會比較角的大小，理解兩個角的和、差、倍、分的意義；在具體情境中認(rèn)識余角和補角，掌握余角理解度分秒的換算，會進(jìn)行簡單的計算；掌握角平分線的概念，能夠利用角平分線的定義解決相關(guān)計算問題，會用量角器畫角的平分線；經(jīng)歷比較角的大小、用量角器畫角平分線、用折紙法確定角平分線的理解兩個角的和、差、倍、分的意義；在具體情境中認(rèn)識余角和補角，解決相關(guān)計算問題，會用量角器畫角的平分線；經(jīng)歷比較角的大小、用量角器畫角平分線、用折紙法確定角平分線的過程，積累活動經(jīng)驗，培養(yǎng)動手操作能力；能利用余角和補角的性質(zhì)進(jìn)行計算和簡單有一天聰聰和明明各帶了一把折扇(狀態(tài)如下).聰聰：“我的折扇張開大一些，所以我的折扇的角也大一些”.讓學(xué)生觀察意大利著名建筑比薩斜塔.比薩斜塔建于1173年，工程曾間斷了兩次很長的時間，歷經(jīng)約二百年才完工.設(shè)計為垂直建造，但是問題1:(角的定義)下列關(guān)于角的說法正確的個數(shù)是()③在角一邊延長線上取一點D;④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.【破解方法】本題主要是對角的定義的考查，正確理解角的定義是解題的關(guān)鍵：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，需要熟練掌握.【解析】①角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形，錯誤；②角的大小與開口大小有關(guān)，角的邊是射線，沒有長短之分，錯誤；③角的邊是射線，不能延長，錯誤；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，說法正確.所以只有④正確.故選A.ACBD【破解方法】角的兩個基本元素中，邊是兩條射線，頂點是這兩條射線的公共端點.解題時要善于排除一些似是而非的說法的干擾，選出能準(zhǔn)確描述“角”的說法.用三個大寫字母表示角，表示角頂點的字母在中間.【解析】在角的頂點處有多個角時，用一個字母表示這個角，這種方法是錯誤的.所以A、C、D錯誤，問題3:(判斷角的數(shù)量)如圖所示，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線，則圖中角的個數(shù)為()【解析】可以根據(jù)圖形依次數(shù)出組成角的個數(shù)；或者根據(jù)公式求圖中角的個數(shù)是：問題4:(角的度量)(1)用度、分、秒表示48.26°;(2)用度表示37°24′36”.【破解方法】用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互轉(zhuǎn)化的過程正好相反：大單位化小單位，乘以進(jìn)率；而小單位化大單位要除以進(jìn)率.【解析】(1)度、分、秒是常用的角的度量單位.根據(jù)1度=60分，即1°=60′,1分=60秒，即1'=60”把大單位化成小單位乘以60即可；(2)根據(jù)度分秒之間60進(jìn)制的關(guān)系計算.解：(1)48.26°=48°+0.26×60′=48°15′+0.6×60"=48°15'36";(2)根據(jù)1°=60',1′=60”得36"÷60=0.6',24.6'÷60=0.41°,所以37°24′36”用度來表示為37.41°,4.3.2角的比較與運算問題5:(角的比較)如圖，射線OC,OD分別在∠AOB的內(nèi)部，外部，下列各式錯誤的是()【破解方法】此題主要考查了角的比較大小，解題的關(guān)鍵是掌握角比較大小的方法.問題6:(利用角平分線進(jìn)行角度的計算)如圖，∠AOB=120°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.【破解方法】能夠根據(jù)圖形正確找到角之間的和差關(guān)系，理解角平分線的概念是解題的關(guān)鍵.問題7:(利用三角板疊合進(jìn)行角度的計算)如圖，將一副三角板折疊放在一起，使直角的頂點重合于點0,則∠AOC+∠DOB=()【破解方法】此題主要考查學(xué)生對角的計算的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是讓學(xué)生通幾個角之間的關(guān)系.A.58°B.45°C.60°【破解方法】掌握折疊的性質(zhì)，要善于發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件：折疊前后兩圖形是完全重合的，其角不【解析】∵將矩形ABCD沿EF折疊，C點落在C',D點落在D'處，∠EFC=119°=119°,∠EFB=180°-∠EFC=61°,∴∠BFC1=∠EFC'-∠EFB=119°-61°=58°,問題9:(角度的換算)計算：【破解方法】角度的運算規(guī)律為：(1)加減法時將同一單位進(jìn)行加減，加法夠60進(jìn)1,減法不夠減要借1當(dāng)60;(2)乘法時將數(shù)與度、分、秒分別相乘，然后從小到大逢60進(jìn)1;(3)除法時用度先除，把余數(shù)化為分，再加上原來的分，用這個數(shù)除以除數(shù)，把余數(shù)化成秒，再加上原來的秒，再用這個數(shù)除以除數(shù)，如果除不盡，就按題意要求，進(jìn)行四舍五入.【解析】(1)相同單位相加，超過60向上一位進(jìn)1即可；(2)先借1°化為分和秒，然后同一單位分別相減即可得解；(3)每一個單位分別乘以4,分、秒超出60的部分向上一個單位進(jìn)1即可；(4)從度開始計算，余數(shù)乘以60繼續(xù)除以3進(jìn)行計算即可得解.解：(1)153°29′42”+26°40′32"=179°69’74"=180°10'14";4.3.3余角和補角=15°.問題10:(余角和補角的概念)如果a與β互為余角，則()【破解方法】正確記憶互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵.【解析】如果a與β互為余角，則a+β=90°問題11:(利用余角和補角計算求值)已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°,求∠B的度數(shù).【破解方法】此題把角的關(guān)系結(jié)合方程問題一起解決，即把相等關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方【解析】根據(jù)∠A與∠B互余，得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°,從而得到∠A=3∠B+30°,再把兩個算式聯(lián)立即可求出∠2的值.解：∵∠A與∠B互余，∴∠A+∠B=90°,又∵∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°,∴∠A=3∠B+30°,∴3∠B+30°+∠B=90°,解得∠B=15°.故∠B的度數(shù)為15°.問題12:(余角、補角和角平分線的綜合計算)如圖，已知∠AOB在∠AOC內(nèi)部，∠BOC=90°,OM、【破解方法】本題考查了余角與補角及角平分線的相關(guān)知識，利用了補角的性質(zhì)，角的和差，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計算，解決問題一定要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，做到數(shù)形結(jié)合.【解析】根據(jù)補角的性質(zhì)，可得∠AOB+∠COM=180°,根據(jù)角的和差，可得∠AOB+∠BOM=90°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可{.根據(jù)解方程，可得∠400的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案.問題13:(利用方位角確定方向)M地是海上觀測站，從M地發(fā)現(xiàn)兩艘船A、B的方位如圖所示，下A.船A在M的南偏東30°方向B.船A在M的南偏西30°方向C.船B在M的北偏東40°方向D.船B在M的北偏東50°方向【破解方法】用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，【解析】船A在M的南偏西90°-30°=60°方向，故A、B選項錯誤；船B在M的北偏東90°-50°=40°方向，故C正確，D錯誤.故選C.問題14:(方位角的有關(guān)計算)如圖所示，甲、乙、丙三艘輪船從港口O出發(fā)，當(dāng)分別行駛到A、B、C處時，經(jīng)測量得甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向.【破解方法】解決本題主要是理解方向角的表示方法，結(jié)合圖形找到相應(yīng)的角，然后進(jìn)行計算.(2)由甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，得∠EOB=76°,∠EOA=1.課前預(yù)習(xí)設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.1.(2023上·全國·七年級專題練習(xí))把7.26°用度、分、秒表示正確的是()A.7°2'12”B.7°2'6"C.7°15'36”D.7°15'6”【答案】【答案】C【分析】本題考查度、分、秒的換算.運用度、分、秒的換算方法運算即可.【詳解】解：∵1?=60',2.(2023上·陜西西安·七年級陜西師大附中?？计谥?如圖，OB平分∠AOC,則∠AOD-∠BOC等【分析】本題主要考查了角的和差關(guān)系和角平分線的定義.解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角與角之間的位置和數(shù)量關(guān)系，用和差的形式表示出來.【詳解】解：∵OB平分∠AOC,3.(2022上·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末)學(xué)校操場上，你站在李老師北偏東45°28'36”的方向，那么李老師站在你的()A.北偏西45°28'36”B.北偏西4431'24”C.南偏西45°2836”D.南偏西4471'64”【分析】根據(jù)方位角的定義，進(jìn)行計算即可解答.【點睛】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.4.(2023上·河北石家莊·七年級?？计谥?103°2428”+30°54”=.5.(2023上湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中)鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動，從3時到5時，時針轉(zhuǎn)動了_度.【答案】【答案】603時到5時，轉(zhuǎn)動兩個刻度，角度為30°×2=60°.故答案為：60.【答案】20【分析】角在放大鏡下大小不變，據(jù)此解答.故答案為：20.【點睛】本題考查了角的概念，熟知角的特性是關(guān)鍵.7.(2023上·河北承德·七年級統(tǒng)考期中)如圖，∠AOC=90°,OC平分∠DOB,且∠DOC=2535',求【答案】∠【答案】∠BOA=64°25’【詳解】∵OC平分∠DOB,且∠DOC=25°35’8.(2023下·廣東河源·七年級?？奸_學(xué)考試)如圖，已知∠AOC=BOD=70°,∠BOC=31°,求∠AOD的度數(shù).則∠DOC+∠BOC=∠AOB+∠BOC,即可.根據(jù)【點睛】本題考查角的度量，解題的關(guān)鍵是掌握各角之間的等量關(guān)系，進(jìn)行角的計算.9.(2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中)如圖，在同一平面內(nèi)有任意四個點A、B、C、D·DA℃B*(2)若小明在(1)的基礎(chǔ)上測量∠ABD=6142'15”,∠CBD=15°30',求∠ABC的度數(shù)；(3)若(1)(2)基礎(chǔ)上，小亮又測量∠BDC=15.5°,比較∠BDC與∠CBD的大小關(guān)系.(2)根據(jù)∠ABC=∠ABD+∠CBD即可求解；(3)將角度的單位統(tǒng)一，即可比較.(2)解：∵∠ABD=61°4215”,∠CBD=1530',∴∠ABC=6142'15"+15°30=77°12'15"(3)解：∵∠CBD=15°30'=15.5°又∵∠BDC=15.5°【點睛】本題考查了幾何圖中角度的簡單求解.注意計算的準(zhǔn)確性.1.(2023上·陜西西安·七年級高新一中?？计谥?36.33°用度、分、秒表示正確的是()【分析】考查了度分秒的換算，根據(jù)1度等于60分，1分等于60秒，36.33°由大單位轉(zhuǎn)換成小單位乘以60,按此轉(zhuǎn)化即可.分秒化為度時用除法，而度化為分秒時用乘法.2.(2023上·甘肅武威·六年級?？计谥?如圖，一艘輪船向正北方向航行，下面說法正確的是().A.燈塔1在輪船的北偏西50°方向50千米處.B.燈塔2在輪船的北偏東40°方向30千米處.C.燈塔1在輪船的北偏西40°方向50千米處.D.燈塔2在輪船的北偏東40°方向40千米處.【分析】本題重點考查以方向和距離確定物體位置的方法，解答時關(guān)鍵在于讀懂圖中方向和比例尺.【詳解】解：A、燈塔1在輪船的北偏西5B、燈塔2在輪船的北偏東40°方向30千米處，故原說法正確，符合題意；C、燈塔1在輪船的北偏西50°方向40千米處，故原說法錯誤，不符合題意；D、燈塔2在輪船的北偏東40°方向30千米處，故原說法錯誤，不符合題意；3.(2023上·河北滄州·七年級?？计谥?把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B、C、D三點在同一直線上，CM平分∠ACB,CN平分∠DCE.則∠MCN的度數(shù)為()【答案】150A.127.5°B.128°C.130.5°【答案】【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；利用角平分線的基本性質(zhì)來計算角度即可.【詳解】解：由一副三角尺按如圖所示拼在一起且B、C、D三點在同一直線上∵CM平分∠ACB,CN平分∠DCE,4.(2023上·遼寧沈陽·七年級?？计谥?親愛的同學(xué)，按正常做題速度，北京時間上午8:10,你應(yīng)該做到此題了，8;10這個時刻鐘表上的時針和分針的夾角度數(shù)是(要求：夾角度數(shù)小于180°).【分析】本題主要考查時鐘的時針和分針的夾角，表盤平均分成12等份，每份為30°,且分鐘每走動1°時針走動,結(jié)合起點相同和走動偏離角即可解得答案.【詳解】解：上午8:10時針和分針在8和2的位置，夾角為30°×(8-2)=180°,但時針偏離到9的度數(shù)為,夾角度數(shù)為180°+5°=185°,故時刻鐘表上的時針和分針的夾角度數(shù)360故答案為：175°.5.(2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥?如圖，OB⊥OD,OC⊥OA,【分析】本題主要考查了角的和差關(guān)系，根據(jù)題意解題即可.【分析】本題主要考查了角的和差關(guān)系，根據(jù)題意解題即可.故答案為：150.6.(2023上·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期中)一束光在空氣與某透明物質(zhì)的界面處發(fā)生了反射和折射現(xiàn)象，其光路如圖所示.入射光線AO與界面的入射角為50°,折射角為70°,則反射光線與折射光線形成的【分析】本題主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度數(shù)，掌握光的反射鍵.過點O作法線MN,由MN⊥界面、入射角等于反射角即可求解.【詳解】解：過點O作法線MN,得到MN⊥界面，7.(2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中)如圖，已8.(2022上·廣東惠州·七年級惠州一中?？计谀?如圖，0為直線AB上一點，∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.(2)請判斷OE是否平分∠BOC,并說明理由.【答案】【答案】(1)∠BOD=160°,分∠BOC【詳解】(1)解：∵∠AOC=40°,OD即可得到OE平(2)OE平分∠BOC;【點睛】本題考查了角平分線定義，角的和差計算，準(zhǔn)確識別各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.9.(2023上·陜西西安·七年級高新一中?？计谥?將一副直角三角板ABC和BDE的一個頂點B重合在一起，按如圖所示方式擺放，其中∠ACB=∠DBE=90°,∠ABC=30°,三角板ABC在∠DBE內(nèi)可任意轉(zhuǎn)動(2)求以點B為頂點的所有銳角的度數(shù)和.(1)根據(jù)銳角的概念求解即可；(2)根據(jù)∠DBA+∠ABC+∠EBC=∠DBE即可求解.,,∴以點B為頂點的所有銳角有∠DBA,∠EBC,∠ABC,共3個；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角板中角度的性質(zhì)，銳角的概念.小于90°的角是銳角.3.課后作業(yè)設(shè)計意圖：鞏固提升.1.(2022上·湖北宜昌·七年級統(tǒng)考期末)如圖，A、O、B在一條直線上，OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，則∠DOE的度數(shù)是()A.80°B.90°C.100°D.不確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,再結(jié)合∠AOC+∠BOC=180°,即可獲得答案.【詳解】解：∵OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，,,【點睛】本題主要考查了補角、角平分線等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.2.(2023上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末)若∠1與∠2互余，∠2與∠3互補，則∠1與∠3的關(guān)系是()由②-①得：∠3-∠1=90°,【點睛】本題考查了余角和補角，解決本題的關(guān)鍵是要記住互為余角的兩個角的和為903.(2023下·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末)如圖，OEA.25°A.25°B.30°C.40°【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的運算求解即可.【詳解】解：∵OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,∠1=15°,,【點睛】本題主要考查角平分線的定義和角度的運算，熟練掌握與角平分線的有關(guān)鍵.,,,4.(2023上·江蘇南通·七年級校考階段練習(xí))如圖，直線AB,CD交于點O.射線OM平分∠AOC,,【分析】根據(jù)對頂角相等得到∠AOC=∠BOD=48°,利用角平分線的性質(zhì)求出角求出∠BOC,利用角的和，即可解答.故答案為：156°.【點睛】本題考查對頂角和鄰補角，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記對頂角和鄰補角的定義.5.(2023上·廣西防城港·八年級統(tǒng)考期中)如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O,【答案】【答案】65【分析】此題考查了角的計算，根據(jù)角度和差即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角度和差計算.故答案為：65.則∠AOD=【答案】80°/80度【答案】80°/80度【分析】本題先由平角的定義得出∠AOC=100°,【詳解】解：∵∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=80°,,且∠AOC=∠COD+∠AOD,故答案為：80°.【點睛】本題主要考查了平角的定義和角的計算，解答本題的關(guān)鍵是理解平角的概念.即可求出結(jié)果.再由已和條件7.(2023上·江西撫州·七年級校聯(lián)考期中)如圖，0是直線AB上一點，OD平分∠BOC,∠COE=90°.(2)若∠AOC=α,則∠DOE=