高考數(shù)學走出題海之黃金30題系列（第01期）專題06 考前必做難題30題 理（含解析）試題

1、如圖，在△中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為()A．B．C．D．【答案】C【解析】如下圖，∵B，P，N三點共線，∴，∴，即，∴①，又∵，∴，∴②，對比①，②，由平面向量基本定理可得：．2、如圖所示，是雙曲線上的三個點，經過原點，經過右焦點，若且，則該雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，設雙曲線的左焦點為，則由雙曲線、過原點的直線的對稱性，以及可得，又由在雙曲線上且可得，故可得到3、設函數(shù)，若對任意給定的，都存在唯一的，滿足，則正實數(shù)的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，，值域為(0，1]，所以；當時，，值域為，所以；當時，，值域為，則，故，當時，值域為，當時，值域為，因為，所以，對稱軸為，故在上是增函數(shù)，則在上的值域為，即)，有題意知，，解得，故正實數(shù)a的最小值為；4、在等腰梯形中，其中，以為焦點且過點的雙曲線的離心率為，以為焦點且過點的橢圓的離心率為，若對任意不等式恒成立，則的最大值為()A.B.C.2D.【答案】B【解析】設雙曲線的實半軸為，則.設橢圓的長半軸為，則.所以.令，則，在上，都為增函數(shù)，又，所以在上，，從而，所以在上單調遞減.又在上單調遞減，所以在上單調遞減，故，即.若對任意不等式恒成立，則.選B.5、已知函數(shù)下列是關于函數(shù)的零點個數(shù)的4個判斷:(1)當時，有3個零點；(2)當時，有2個零點;(3)當時，有4個零點；(4)當時，有1個零點．則正確的判斷是A．(1)(4)B．(2)(3)C．(1)(2)D．(3)(4)【答案】D【解析】由，即，設，則方程等價為當時，作出函數(shù)的圖象如圖，，此時方程有兩個根其中，由，此時有兩解，由，知有兩解，此時共有4個解，即函數(shù)有4個零點.②若，由圖象，，此時方程有一個跟，其中，由知此時只有1個解，即函數(shù)有1個零點，故答案為D.6、如圖所示，正方體的棱長為1，分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱、交于，設，，給出以下四個命題：(1)平面平面；(2)當且僅當x＝時，四邊形的面積最??；(3)四邊形周長，是單調函數(shù)；(4)四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號為()A．(1)(4)B．(2)C．(3)D．(3)(4)【答案】C【解析】(1)由于，，則，則，又因為，則平面平面；(2)由于四邊形為菱形，，，要使四邊形的面積最小，只需最小，則當且僅當時，四邊形的面積最小；(3)因為，，在上不是單調函數(shù)；(4)，＝，到平面的距離為1，，又，，為常函數(shù).故只有(3)正確，選C7、如圖，正方體的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】由題得，圓弧在以B為圓心，半徑為BG的圓上，而圓弧在以A為圓心，半徑為AE＝2的圓上.故＝，由于，故，則，所以＋＝.故選A.8、定義在上的函數(shù)，單調遞增，，若對任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.已知，下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函數(shù)”的有A．1個B.2個C．3個D．4個【答案】B【解析】結合題中所給的追逐函數(shù)的定義，可知對于④在區(qū)間上的值域為，而函數(shù)在上的值域為，所以不成立，而對于③，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長速度更快，到一定程度會是，使得成立，所以不對，可知①②是正確的，所以有兩個，故答案為B.9、已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為()A、B、C、D、【答案】A【解析】∵B和A關于原點對稱∴B也在橢圓上設左焦點為F′根據橢圓定義：又∵∴①是的斜邊中點，∴又②③②③代入①∴即∴，所以.10、對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：(i)對任意的，恒有；(ii)當，，時，總有成立．則下列四個函數(shù)中不是函數(shù)的個數(shù)是()①②③④A．1B．2C．3【答案】A．11、是定義在上的奇函數(shù)，若當時，，則關于的函數(shù)的所有零點之和為(用表示)【答案】【解析】根據對稱性，作出R上的函數(shù)圖象，由F(x)＝f(x)＋a，所以，零點就是f(x)與y＝－a∈(0，1)交點的橫坐標，共有5個交點，根據對稱性，函數(shù)f(x)的圖象與y＝－a∈(0，1)的交點在(2，4)之間的交點關于x＝3對稱，所以，x1＋x2＝6，在(－5，－4)，(－3，－2)之間的兩個交點關于x＝－3對稱，所以，x3＋x4＝－6，設x∈(－1，0]，則－x∈[0，1)，所以，，即，由，所以，，即，所以，.12、下列結論：①若命題，命題則命題“且”是真命題；②已知直線，則的充要條件是；③若隨機變量，則，④全市某次數(shù)學考試成績，則直線與圓相切或相交。.其中正確結論的序號是_______(把你認為正確結論的序號都填上)【答案】①④【解析】①命題，如，，P為真，命題，這是假命題，因為，則為真，則命題“且”是真命題正確；直線，當時，，推不出，反過來，當時，兩條直線斜率之積為，則；則直線，則的充分不必要條件是；錯誤，③若隨機變量，則則，錯誤；④全市某次數(shù)學考試成績，，則直線過定點，由于定點圓上，所以直線與圓相切或相交。正確，填①④13、設函數(shù)滿足，且當時，．若在區(qū)間內，存在個不同的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】，，當時，，，在直角坐標系內作出函數(shù)f(x)的圖象，而表示的是該圖象上的點與原點的連線的斜率．圖象上的點與原點的連線的斜率為；當過原點的直線與曲線相切時，斜率為(利用導數(shù)解決：設切點為則，因此斜率為)．結合圖形可知，滿足題意得實數(shù)的取值范圍為．14、長方體中，已知，，棱在平面內，則長方體在平面內的射影所構成的圖形面積的取值范圍是．【答案】.【解析】四邊形和的面積分別為4和6，長方體在平面內的射影可由這兩個四邊形在平面內的射影組合而成.顯然，.若記平面與平面所成角為，則平面與平面所成角為.它們在平面內的射影分別為和，所以，(其中，)，因此，，當且僅當時取到.因此，.15、拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，若，則點的橫坐標為．【答案】4【解析】設，，直線方程，聯(lián)立，得，，由拋物線的性質得，，因此，解得或，由圖可知，，因此方程，的中點，線段的垂直平分線，令，得，故答案為4.16、給定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N，n≥3)，定義ai＋aj(1≤i<j≤n，i，j∈N)中所有不同值的個數(shù)為集合A兩元素和的容量，用L(A)表示，若A＝{2，4，6，8}，則L(A)＝；若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m為常數(shù))，則L(A)關于m的表達式為.【答案】5，2m－3【解析】∵A＝{2，4，6，8}，∴ai＋aj(1≤i＜j≤4，i，j∈N)分別為：2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，其中2＋8＝10，4＋6＝10，∴定義ai＋aj(1≤i＜j≤4，i，j∈N)中所有不同值的個數(shù)為5，即當A＝{2，4，6，8}時，L(A)＝5．當數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m為常數(shù))時，ai＋aj(1≤i＜j≤m，i，j∈N)的值列成如下各列所示圖表：a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，am－2＋am－1，am－1＋am，a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，am－2＋am，…，…，…，…，a1＋am－2，a2＋am－1，a3＋am，a1＋am－1，a2＋am，a1＋am，∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a4＝a2＋a3，a1＋a5＝a2＋a4，…，a1＋am＝a2＋am－1，∴第二列中只有a2＋am的值和第一列不重復，即第二列剩余一個不重復的值，同理，以后每列剩余一個與前面不重復的值，∵后面共有m－1列，∴所有不同的值有：m－1＋m－2＝2m－3即當集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m為常數(shù))時，L(A)＝2m－317、位于該市的某大學與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設一站，在OB上設一站B，鐵路在部分為直線段，且經過大學．其中，，．(1)求大學與站的距離；(2)求鐵路段的長．【答案】(1)(2)【解析】(1)在中，，且，，由余弦定理得，，即大學與站的距離為；(2)，且為銳角，，在中，由正弦定理得，，即，，，，，，，，又，，在中，，由正弦定理得，，即，，即鐵路段的長為．18、已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，＝＋＋＋……＋．試比較與的大?。敬鸢浮?1)；(2).【解析】(1)由，由，其中于是整理得，所以數(shù)列是首項及公比均為的等比數(shù)列.(2)由(1)得于是又，問題轉化為比較與的大小，即與的大小設當時，，∴當時單調遞增，∴當時，，而，∴當時，經檢驗n＝1，2，3時，仍有因此，對任意正整數(shù)，都有即.19、已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求證：當，時，．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】(1)令，則，，，，數(shù)列，即是等比數(shù)列；(2)由(1)得，，，下面用數(shù)學歸納法證明當，時，．①當時，不等式的左邊，右邊，而，時，不等式成立；②假設當時，不等式成立，即；當時，當時，不等式也成立．由①②可得，當，時，．20、如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，點分別為的中點，且，．(Ⅰ)證明：平面；(Ⅱ)設直線與平面所成角為，當在內變化時，求二面角的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)二面角取值范圍為．【解析】(Ⅰ)證明：取中點，連接，因為點分別為的中點，所以四邊形為平行四邊形，則又平面，平面所以平面.(Ⅱ)解法1：連接，因為，點分別為的中點，則又平面，則所以即為二面角的平面角又，所以平面，則平面平面過點在平面內作于，則平面．連接，于是就是直線與平面所成的角，即＝．在中，；在中，，．，，．又，．即二面角取值范圍為．解法2：連接，因為，點分別為的中點，則又平面，則所以即為二面角的平面角，設為以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，，，．設平面的一個法向量為，則由．得可取，又，于是，，，．又，．即二面角取值范圍為．21、已知橢圓()的左、右焦點分別為、，點，過點且與垂直的直線交軸負半軸于點，且．(1)求證：△是等邊三角形；(2)若過、、三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；(3)設過(2)中橢圓的右焦點且不與坐標軸垂直的直線與交于、兩點，是點關于軸的對稱點．在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見試題解析；(2)；(3)存在點，使得、、三點共線．(3)由(2)得，因為直線過且不與坐標軸垂直，故可設直線的方程為：，．(1分)由得，(2分)設，，則有，，(3分)由題意，，故直線的方向向量為，所以直線的方程為，(4分)令，得．(5分)即直線與軸交于定點．所以，存在點，使得、、三點共線．(6分)(注：若設，由、、三點共線，得，得．)22、已知橢圓的離心率為，并且橢圓經過點，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上一點滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值；(3)是否存在定圓，使得直線繞原點轉動時，恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)詳見解析(3)存在定圓【解析】(1)由題設：解得，橢圓的方程為(2)①直線的斜率不存在或為0時，；②直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，則，直線的方程為，由得，，同理，，為定值；(3)由(2)得：①直線的斜率不存在或為0時，；②直線的斜率存在且不為0時，原點到直線的距離，直線與圓相切，即存在定圓，使得直線繞原點轉動時，恒與該定圓相切．23、設點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為．(1)求橢圓的方程;(2)設直線(直線、不重合)，若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點，使點到、的距離之積恒為1?若存在，請求出點坐標;若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)滿足題意的定點存在，其坐標為或.【解析】(1)設，則有，由最小值為得，∴橢圓的方程為4分(2)把的方程代入橢圓方程得∵直線與橢圓相切，∴，化簡得同理可得:∴，若，則重合，不合題意，∴，即8分設在軸上存在點，點到直線的距離之積為1，則，即，把代入并去絕對值整理，或者前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立則，解得;綜上所述，滿足題意的定點存在，其坐標為或12分24、某普通高中為了了解學生的視力狀況，隨機抽查了100名高二年級學生和100名高三年級學生，對這些學生配戴眼鏡的度數(shù)(簡稱：近視度數(shù))進行統(tǒng)計，得到高二學生的頻數(shù)分布表和高三學生頻率分布直方圖如下：近視度數(shù)0–100100–200200–300300–400400以上學生頻數(shù)304020100將近視程度由低到高分為4個等級：當近視度數(shù)在0－100時，稱為不近視，記作0；當近視度數(shù)在100－200時，稱為輕度近視，記作1；當近視度數(shù)在200－400時，稱為中度近視，記作2；當近視度數(shù)在400以上時，稱為高度近視，記作3.(Ⅰ)從該校任選1名高二學生，估計該生近視程度未達到中度及以上的概率；(Ⅱ)設，從該校任選1名高三學生，估計該生近視程度達到中度或中度以上的概率；(Ⅲ)把頻率近似地看成概率，用隨機變量分別表示高二、高三年級學生的近視程度，若，求.【答案】(Ⅰ)0.7；(Ⅱ)0.46；(Ⅲ)0.001【解析】(Ⅰ)設該生近視程度未達到中度及中度以上為事件則(Ⅱ)設該生近視程度達到中度或中度以上為事件則法2：設該生近視程度未達到中度及中度以上為事件∵，∴，∴，∴(Ⅲ)∵，∴，∴.25、設為非負實數(shù)，滿足，證明：．【答案】不等式的證明一般可以考慮運用作差法或者是利用分析法來證明?！窘馕觥繛槭顾C式有意義，三數(shù)中至多有一個為0；據對稱性，不妨設，則；、當時，條件式成為，，，而，只要證，，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當．、再證，對所有滿足的非負實數(shù)，皆有．顯然，三數(shù)中至多有一個為0，據對稱性，仍設，則，令，為銳角，以為內角，構作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形．下面采用調整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調整為以為頂角的等腰，其中，且設，記，據知，．今證明，．即……①．即要證……②先證……③，即證，即，此即，也即，即，此為顯然．由于在中，，則；而在中，，因此②式成為……④，只要證，……⑤，即證，注意③式以及，只要證，即，也即…⑥由于最大角滿足：，而，則，所以，故⑥成立，因此⑤得證，由③及⑤得④成立，從而①成立，即，因此本題得證．26、已知函數(shù)，，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．函數(shù)，．(Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)將的全部零點按照從小到大的順序排成數(shù)列，求證：(1)，其中；(2)．【答案】(Ⅰ)0(Ⅱ)證明見解析【解析】(Ⅰ)，當時，；當時，；所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，綜上所述，函數(shù)的最小值是0．(Ⅱ)證明：對求導得，令可得，當時，，此時；當時，，此時．所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和．因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，又，所以．當時，因為，且函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，所以在區(qū)間內至少存在一個零點，又在區(qū)間上是單調的，故．(2)證明：由(Ⅰ)知，，則，因此，當時，記S＝則S由(1)知，S當時，；當時，S即，S，證畢．27、如圖，平面平面，，為等邊三角形，，過作平面交、分別于點、.(1)求證：；(2)設，求的值，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】(1)如圖以點為原點建立空間直角坐標系，不妨設，，，則，，，，，由，得，，，是平面的一個法向量，且，故，又∵平面，即知平面，又∵，，，四點共面，∴；(2)，，設平面的法向量，則，，可取，又∵是平面的一個法向量，由，以及可得，即，解得(負值舍去)，故.28、已知函數(shù)有且只有一個零點，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若對任意的，有恒成立，求實數(shù)k的最小值；(3)設，對任意，證明：不等式恒成立.【答案】(1)a＝1，(2)1，(3)詳見解析【解析】(1)f′(x)＝－1，則函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，則若使函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a有且只有一個零點，則0－1＋a＝0，解得，a＝1；(2)(x＋1)f(x)＋x2－2x＋k＞0可化為(x＋1)(lnx－x＋1)＋x2－2x＋k＞0，即k＞2x－xlnx－lnx－1對任意的x∈(1，＋∞)恒成立，令g(x)＝2x－xlnx－lnx－1，則g′(x)＝2－lnx－1－＝，令m(x)＝x－xlnx－1，則m′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，∵x∈(1，＋∞)，∴m′(x)＝1－lnx－1＝－lnx＜0，則m(x)＝x－xlnx－1＜1－1ln1－1＝0，則g′(x)＜0，則g(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，則k＞2x－xlnx－lnx－1對任意的x∈(1，＋∞)恒成立可化為k≥g(1)＝2－0－0－1＝1，則k的最小值為1；(3)證明：由題意，h(x)＝f(x)＋x－1＝lnx，則對任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，恒成立可化為，對任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，＞0恒成立；不妨沒x1＜x2，則lnx1－lnx2＜0，則上式可化為(x1＋x2)(lnx1－lnx2)－2(x1－x2)＜0，令n(x)＝(x1＋x)(lnx1－lnx)－2(x1－x)，則n′(x)＝(lnx1－lnx)－(x1＋x)＋2＝lnx1－lnx－＋1，n″(x)＝－＋＝，∵則當x∈(x1，＋∞)時，n″(x)＜0，則n′(x)在(x1，＋∞)上是減函數(shù)，則n′(x)＜n′(x1)＝0，則n(x)在(x1，＋∞)上是減函數(shù)，則n(x)＜n(x1)＝0，則(x1＋x2)(lnx1－lnx2)－2(x1－x2)＜0，故對任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，不等式恒成立．29、已知動點P到定點的距離和它到定直線的距離的比值為．(Ⅰ)求動點P的軌跡W的方程；(Ⅱ)若過點F的直線與點P的軌跡W相交于M，N兩點(M，N均在y軸右側)，點、，設A，B，M，N四點構成的四邊形的面積為S，求S的取值范圍．【答案】(Ⅰ)動點P的軌跡W的方程．(Ⅱ)面積S的取值范圍是．【解析】(Ⅰ)設動點，則，化簡得．4分(Ⅱ)由(Ⅰ)，軌跡W是以為焦點，離心率為的橢圓，如圖，連結OM、ON，設直線MN方程為，點，，聯(lián)立消去x，得，則，，所以，由于M，N均在y軸右側，則，，且，則，8分令，則，則方法一、，故面積函數(shù)在單調遞減，所以，所以面積S的取值范圍是．方法二、，因為，則，所以，則，即，所以面積S的取值范圍是．30、給定正奇數(shù)，數(shù)列：是1，2，…，的一個排列，定義E(，…，)為數(shù)列：，，…，的位差和.(1)當時，求數(shù)列：1，3，4，2，5的