專題4.1 平方根（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題4.1平方根（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】算術(shù)平方根定義一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a,即：那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號a”,表示方法：非負數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作根號a,性質(zhì)：正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，并且恒為正；0的算術(shù)平方根為0，即；負數(shù)沒有算術(shù)平方根，當式子有意義時，a一定是一個非負數(shù)。【知識點2】平方根定義一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a,即：那么數(shù)x就叫做a的平方根，記作，讀作“正負根號a”,表示方法：一個數(shù)a（a≧0）的平方根記作(a≧0)，讀作根號a,“正負根號a”,性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，是它本身，負數(shù)沒有平方根?！局R點3】開平方定義求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，a叫做被開方數(shù)；區(qū)別：取值范圍不同：中a為任意實數(shù)；中a；被開方數(shù)不同：中被開方數(shù)為；中被開方數(shù)為a；運算順序不同：先平方再開方；先開方再平方。聯(lián)系：結(jié)果為非負數(shù)；中a≧0時，=性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，是它本身，負數(shù)沒有平方根?！究键c一】算術(shù)平方根??求一個數(shù)的算術(shù)平方根【例1】求以下各數(shù)的算術(shù)平方根：，，，．【答案】，，，【分析】根據(jù)求一個數(shù)的算術(shù)平方根求解即可．平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．解【點撥】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】求以下各數(shù)的算術(shù)平方根：，，，，．【答案】，，，，【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．如果一個非負數(shù)x的平方等于a，即，那么這個非負數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．解：的算術(shù)平方根為：；的算術(shù)平方根為：；的算術(shù)平方根為：；的算術(shù)平方根為：；的算術(shù)平方根為：．【點撥】此題考查了算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根的定義．如果一個非負數(shù)x的平方等于a，即，那么這個非負數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．【考點二】算術(shù)平方根??非負性【例2】已知x，y，z是有理數(shù)，且滿足，求的值．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)的平方，數(shù)的算術(shù)平方根和絕對值的非負性，可知，，都是非負數(shù)．結(jié)合，可得，，，從而可得答案．解：根據(jù)數(shù)的平方，數(shù)的算術(shù)平方根和絕對值的非負性，可知，，都是非負數(shù)．又因為，所以，，，解得，，，所以．【點撥】本題考查的是偶次方，算術(shù)平方根，絕對值的非負性的應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解非負數(shù)的含義是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】若，求m的算術(shù)平方根．【答案】m的算術(shù)平方根為2．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性確定的值，進而求得的值，最后求得的算術(shù)平方根即可．解：由題意得且，∴且，∴，，∵，∴m的算術(shù)平方根為2．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的非負性以及求一個數(shù)的算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，求的值．【答案】2022【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性確定的范圍，進而化簡絕對值，在根據(jù)平方根的定義求得代數(shù)式的值．解：∵，∴．∴，∴原式化簡為，∴，∴，故．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，化簡絕對值，平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的非負性確定的范圍化簡絕對值是解題的關(guān)鍵．【考點三】算術(shù)平方根??整數(shù)部分與小數(shù)部分【例3】設(shè)2+的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．【答案】．分析：先找到介于哪兩個整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，然后代入求值即可．解：因為4＜6＜9，所以2＜＜3，即的整數(shù)部分是2，所以2+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是2+-4=-2，即x=4，y=-2，所以=．考點：1．估算無理數(shù)的大?。?．算術(shù)平方根．【舉一反三】【變式】已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義分別求出的值；進而得出的值，求出它的平方根即可；解：∵的算術(shù)平方根是；的平方根是，∴，，∴，．∵是的整數(shù)部分，，∴．∴．∵的平方根是．∴的平方根為．【點撥】本題考查了考查了平方根與算術(shù)平方根；熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【考點四】算術(shù)平方根??規(guī)律問題【例4】探索與應(yīng)用．先填寫下表，通過觀察后再回答問題：．．．．．．．．．．．．表格中x＝；y＝；從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：規(guī)律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①已知，則≈；②已知，若，則．【答案】(1)，10(2)規(guī)律見解析，①；②32400【分析】（1）觀察表格確定出與的值即可；（2）根據(jù)表格中的規(guī)律“算術(shù)平方根的被開方數(shù)擴大100倍，算術(shù)平方根擴大10倍”，據(jù)此分別計算①②可得答案．解：（1），；故答案為：，10；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：算術(shù)平方根的被開方數(shù)擴大100倍，算術(shù)平方根擴大10倍；①；②．故答案為：①；②32400．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的知識，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：…………分析發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)擴大倍，它的算術(shù)平方根擴大倍；若一塊長方形紙片的面積是400cm2，長與寬之比為2：1，求這塊長方形紙片的長與寬（精確到，，．【答案】(1)(2)這塊長方形紙片的長為，寬為【分析】（1）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點移動2位，對應(yīng)的結(jié)果小數(shù)移動1位，小數(shù)點的移動方向保持一致；（2）設(shè)這塊長方形的紙片的寬為，則長為，根據(jù)題意列出方程，進而根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解．解（1）被開方數(shù)擴大倍，它的算術(shù)平方根擴大倍；故答案為：．（2）設(shè)這塊長方形的紙片的寬為，則長為，∴，即，∴，∵，∴，，答：這塊長方形紙片的長為，寬為．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握小數(shù)點的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【考點五】算術(shù)平方根??實際應(yīng)用【例5】如圖有兩個大小一樣的正方形紙片，其邊長為cm．小明按如圖的方法把每個小正方形沿一條對角線裁成兩個三角形，然后再把這四個三角形拼成一個大正方形．

(1)這個大正方形的邊長為___________cm；(2)小明要在所拼成的大正方形中沿邊的方向裁出一個長寬比為且面積為的長方形，問能否成功，試說明理由．【答案】(1)；(2)不能裁出，理由見解析．【分析】（1）一直兩個正方形的面積之和就是大正方形的面積，根據(jù)面積公式即可求出大正方形的邊長；（2）先設(shè)未知數(shù)，根據(jù)面積列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方形邊長比較大小再判斷即可．（1）解：兩個正方形的面積之和為：，拼成的大正方形的面積=42，大正方形的邊長是；故答案為：．（2）解：設(shè)所裁長方形的長為cm，寬為cm，則，，解得：，∴長為cm，寬為4cm，∵，∴不能裁出．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根實際應(yīng)用，能跟據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】如圖，用兩個邊長為的小正方形紙片沿中間對角線剪開，拼成一個大正方形．(1)大正方形的邊長是______．(2)麗麗同學想用這塊大正方形紙片裁剪出一塊面積為且長和寬之比為的長方形紙片，她能裁出來嗎？請說明理由．【答案】(1)4；(2)不能裁出，理由見解析【分析】（1）已知兩個正方形的面積之和就是大正方形的面積，根據(jù)面積公式即可求出大正方形的邊長；（2）先設(shè)長方形紙片的長為，寬為：，根據(jù)面積公式列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方形邊長進行比較即可判斷．（1）解：兩個正方形的面積之和為：，∴拼成的大正方形的面積為：，∴大正方形的邊長為：，故答案為：4；（2）解：設(shè)長方形紙片的長為，寬為：，∴，解得，∴，∴不能使裁下的長方形紙片的長寬之比為：，且面積為．【點撥】本題考查算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．【考點六】平方根??概念的理解【例6】若某個正數(shù)的兩個平方根分別為和，求這個正數(shù)的值．【答案】64【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列出方程求出a的值，進而求出這個數(shù)即可．解：依題意，得：，解得：，∴，∴這個正數(shù)為：．【點撥】此題主要考查了平方根，正確把握平方根的定義是解題關(guān)鍵【舉一反三】【變式】已知．已知x的算術(shù)平方根為3，求a的值；如果x，y都是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)．【答案】(1)；(2)這個數(shù)為1或25【分析】（1）由的算術(shù)平方根為3得到，解方程即可得到答案；（2）分和兩種情況分別進行求解即可．（1）解：∵的算術(shù)平方根為3，∴，解得；（2）①當時，即，解得，∴，，∴這個數(shù)為；②當時，即，解得，∴，，∴這個數(shù)為，綜上所述，這個數(shù)為1或25．【點撥】此題考查了平方根和算術(shù)平方根，讀懂題意并正確計算是解題的關(guān)鍵．【考點七】平方根??求一個數(shù)的平方根【例7】求下列各數(shù)的平方根．(1)196；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）-（4）根據(jù)稱x是a的平方根，且計算即可．解（1）∵，（2）∵，∴．∴．（3）∵，（4）∵，∴．∴．【點撥】本題考查了平方根的計算，熟練掌握平方根的意義是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】求下列各數(shù)的平方根：121；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)?！痉治觥浚?）-（4）根據(jù)平方根的定義，進行求解即可；解（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點撥】本題考查求一個數(shù)的平方根．熟練掌握平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．【考點八】平方根??求一個代數(shù)式的平方根【例8】已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4．求a、b的值；求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；（2）根據(jù)平方根定義，求解即可．（1）解：∵的平方根是，的算術(shù)平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．（2）解：當a＝5，b＝4時，ab+5＝25，而25的平方根為，即ab+5的平方根是．【點撥】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義．【舉一反三】【變式】若的算術(shù)平方根是3，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)的算術(shù)平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根．解：∵的算術(shù)平方根是3，∴，∴，∴，∴的平方根為．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根和平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：理解算術(shù)平方根和平方根的定義，易錯點是容易把負的平方根丟掉．【考點九】平方根??已知一個的平方根，求原數(shù)【例9】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別為和．這個正數(shù)是多少？的算術(shù)平方根是多少？【答案】(1)這個正數(shù)是49；(2)的算術(shù)平方根是5【分析】（1）根據(jù)“一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)”可得，即可求解；（2）由（1）可求，即可求解．（1）解：由題意得，解得：，所以這個正數(shù)是．（2）解：由（1）得，所以，所以，所以的算術(shù)平方根是．【點撥】本題考查了平方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的求法，理解平方根的性質(zhì)和算術(shù)平方根的求法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4，（1）求，的值．（2）求的平方根．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)平方根和算術(shù)平方根得出，，解之即可；（2）將、的值代入求得其結(jié)果，再由平方根的定義求解即可．（1）解：根據(jù)題意知：，，解得，；（2）∵，，∴，則的平方根為．【點撥】本題主要考查平方根、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根和算術(shù)平方根的定義和求法．【考點十】平方根??利用平方根解方程【例10】根據(jù)平方根的意義解方程：；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的意義求解即可；（2）根據(jù)平方根的意義求解即可；解（1）（2）∴解得；∴∴解得．【點撥】此題考查了平方根的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的意義．【舉一反三】【變式】解方程：；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）先將系數(shù)化為，然后方程左右兩邊同時開方即可求解；（2）用直接開方法求出的值，再求出的值即可．解（1）解：，（2）解：，，或，，．，．【點撥】本題考查了