概率論與數(shù)理統(tǒng)計區(qū)間估計課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計區(qū)間估計求置信區(qū)間的方法：１．選取統(tǒng)計量找樣本（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一個函數(shù)U（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）只含所求置信區(qū)間的未知參數(shù)θ，不含其它未知參數(shù)．且分布與θ無關(guān)，此函數(shù)一般可從θ的某個點估計經(jīng)過變換得到．２．確定分位點對于給出的置信水平1-α，確定U的分位點．注意，在確定函數(shù)U時，確保U的分布有表可查．３．變換不等式利用不等式變形得到未知參數(shù)θ的置信區(qū)間．下頁1.2.1－αx0Φ(x)若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn附：常用統(tǒng)計量及分位點的確定方法下頁U統(tǒng)計量一、單個正態(tài)總體均值μ與方差σ2的區(qū)間估計1、σ2已知μ的1-α置信區(qū)間若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn，有故對給定的置信概率1－α，有由此可得總體均值μ的1－α置信區(qū)間為：下頁2、σ2未知μ的1-α置信區(qū)間故對給定的置信概率1-α，有由此可得總體均值μ的1－α置信區(qū)間為：例1.為估計36畝大豆的產(chǎn)量，以200米2面積上的大豆作為總體的一個個體，從中任意抽得24個個體，分別測得大豆的產(chǎn)量如下（單位：千克/200米2）：σ2未知，算得：=41.125，s=6.04，n-1=23，故200米2面積平均產(chǎn)量的0.95置信區(qū)間為：50,42,32,46,35,44,45,38,35,54,42,36,41,34,39,50,43,36,34,49,35,46,38,43試估計大豆產(chǎn)量的范圍（假定大豆產(chǎn)量按正態(tài)分布），置信概率1－α=0.95查表得：

解:α=0.05下頁3.μ已知σ2的1-α置信區(qū)間4.μ未知σ2的1-α置信區(qū)間σ2的1-α置信區(qū)間為下頁σ2的1-α置信區(qū)間為

例2.從車床加工的一批零件中隨機抽取16個進行試驗，測得零件長度如下（單位：cm)2.152.102.122.102.142.112.152.132.132.112.142.132.122.132.102.14試求零件長度標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信水平為0.95置信區(qū)間(設(shè)總體為正態(tài))．σ2的0.95置信區(qū)間為查表得：α=0.05，n=16．σ的0.95置信區(qū)間為=(0.0127,0.0265)解：此題μ未知，算得=2.15，s2=0.000293，下頁單個正態(tài)總體期望與方差的1-α置信區(qū)間(小結(jié))條件統(tǒng)計量置信區(qū)間μσ2σ2已知μ已知μ未知σ2未知下頁

設(shè)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)它們相互獨立．則二、兩個正態(tài)總體均值差及方差比的1-α置信區(qū)間(1/2)記（1）（2）下頁1.σ

12、σ22已知時μ1-μ2的1-α置信區(qū)間2.σ

12=σ22=σ2,σ2未知時μ1-μ2的1-α置信區(qū)間由由得得下頁例3.在甲、乙兩地抽取同一品種小麥籽粒的樣本，測得蛋白質(zhì)含量為：查表得,該蛋白質(zhì)含量滿足正態(tài)、等方差條件，試估計μ1－μ2所在的范圍(取α=0.05)．甲：12.6,13.4,11.9,12.8,13.0;乙：13.1,13.4,12.8,13.5,13.3,12.7,12.4解：算得=12.74，s12=0.308；=13.029，s22=0.166。μ1－μ2的0.95置信區(qū)間為下頁

設(shè)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)它們相互獨立．則記[二、]兩個正態(tài)總體均值差及方差比的1-α置信區(qū)間(2/2)下頁3.μ1、μ2均已知時，方差比的1-α置信區(qū)間4.μ1、μ2均未知時，方差比的1-α置信區(qū)間由由及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α得得下頁例4.有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定.

=0.5419,=0.6065得/的0.95置信區(qū)間為求方差比/的0.95置信區(qū)間（設(shè)為正態(tài)分布）.解：已知nA=nB=10，=0.5419，=0.6065。=（0.222,3.601）查表得由α=0.05，下頁兩個正態(tài)總體均值差與方差比的1-α置信區(qū)間(小結(jié))條件統(tǒng)計量置信區(qū)間σ12,σ22已知σ12=σ22未知μ1—μ2σ12/σ22μ1，μ2已知μ1，μ2未知P{|U|＜uα/2}=1-αP{|t|＜tα/2}=1-αP{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α下頁作業(yè)：

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11,12,14結(jié)束第八章假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗:是一類重要的統(tǒng)計推斷問題，它根據(jù)樣本所提供的信息，檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確，從而作出拒絕或接收原假設(shè)的決定．它分為兩類：參數(shù)的假設(shè)檢驗：對總體中某個數(shù)字特征或分布中的參數(shù)提出假設(shè)檢驗．非參數(shù)的假設(shè)檢驗：對總體分布提出假設(shè)檢驗．本章將介紹假設(shè)檢驗的基本概念、思想方法,并討論常用的有關(guān)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗等內(nèi)容．下頁例1.設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管，其壽命Ｘ服從正態(tài)分布Ｎ(μ,40000)，原來燈管的平均壽命為μ＝1500小時．現(xiàn)在采用新工藝后，在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只，測得平均壽命為1675小時．問采用新工藝后，燈管壽命是否有顯著提高?問題：判斷μ＞1500？例2.某種農(nóng)作物的農(nóng)藥殘留量Ｘ是否服從正態(tài)分布.問題：農(nóng)藥殘留量Ｘ服從正態(tài)分布？一、假設(shè)檢驗的基本思想這些例子共同點是，根據(jù)樣本值去判斷一個“看法”是否成立.

例１μ＞1500；例2殘留量Ｘ服從正態(tài)分布.“看法”即對總體分布狀態(tài)的一種陳述，稱為統(tǒng)計假設(shè).§８.1假設(shè)檢驗的基本思想和概念下頁（一）如何提出原假設(shè)設(shè)μ為未知參數(shù)，μ0已知.問題原假設(shè)備擇假設(shè)名稱--------------------------------------------------------------------------1）μ與μ0有顯著差異（變化）？H0：μ=μ0H1：μ

≠

μ0雙側(cè)檢驗2）μ比μ0有無顯著提高（增大）？H0：μ=μ0(μ≤μ0)H1：μ

＞

μ0右單側(cè)檢驗3）μ比μ0有無顯著降低（減少）？H0：μ=μ0(μ≥μ0)H1：μ

＜

μ0左單側(cè)檢驗要點：含等號“=”的作為原假設(shè)(這樣做就是為了數(shù)學(xué)處理的方便).下頁例3.設(shè)某次考試成績X~N(μ,202），從中任抽36人的成績，算得平均分為75，問在顯著性水平α=0.05下，是否可以認(rèn)為全體考生的平均成績?yōu)?0分？問題：某次考試(所有)成績是總體，任意抽取的36人的成績?yōu)闃颖?通過樣本的有關(guān)信息能否推斷出總體分布中的μ為70分？分析邏輯：1)假設(shè)總體分布中的μ是70，即總體X~N(70,202）；2)推導(dǎo)出樣本均值所服從的分布；3)確定樣本均值的以μ為中心點的大概率(或小概率)事件取值范圍；

（注意：樣本均值為μ的無偏估計）4)計算由樣本確定的樣本均值；5)檢驗樣本均值所取得的值是否合理(“小概率事件在一次試驗中一般不發(fā)生”)；并以此來決定是接受或拒絕對總體的假設(shè).（二）檢驗的邏輯過程下頁例3.設(shè)某次考試成績X~N(μ,202），從中任抽36人的成績，算得平均分為75，問在顯著性水平α=0.05下，是否可以認(rèn)為全體考生的平均成績?yōu)?0分？解：設(shè)原假設(shè)H0為真意味著什么？意味著總體X~N(μ0,202），即X~N(70,202）.從而可知，下頁例3.設(shè)某次考試成績X~N(μ,202），從中任抽36人的成績，算得平均分為75，問在顯著性水平α=0.05下，是否可以認(rèn)為全體考生的平均成績?yōu)?0分？解：即，的大概率事件的取值范圍如何確定？拒絕還是接受H0？接受！因為抽樣得到的樣本均值為75，在(63.47,76.53)內(nèi)，屬大概率事件.下頁在本例中當(dāng)H0為真時，選統(tǒng)計量（三）檢驗過程的標(biāo)準(zhǔn)化查表得U的接受域為|U|≤1.96計算樣本值為，顯然，樣本值U在接受域內(nèi)，接受H0?？烧J(rèn)為總平均為70分.對于給定的α=0.05

，在實際問題中，為了便于查表計算，一般不直接討論樣本均值的分布規(guī)律，而是將其轉(zhuǎn)化已知的某些常見分布來處理.注意：下頁二、假設(shè)檢驗的基本方法（1）根據(jù)問題的要求提出原假設(shè)H0和備擇H1；(以例3為例進行分析總結(jié))(1)提出假設(shè)H0：μ＝u0=70；(2)在Ｈ０為真的情況下構(gòu)造統(tǒng)計量（2）根據(jù)H0選取檢驗統(tǒng)計量U并確定其分布;(3)對于給定的顯著水平α＝0.05,確定拒絕域

P(|U|>u0.05/2)＝0.05,得u0.05/2=1.96（3）對給定(或選定)的顯著性水平α，確定拒絕域Ｃ和接收域Ｃ＊(4)計算統(tǒng)計量的值（4）計算統(tǒng)計量的值U；（5）推斷：當(dāng)U落入拒絕域Ｃ，就拒絕H0；否則就接受H0.(5)做出推斷由于|U|=1.5≤1.96.所以接受H0.下頁三、兩類錯誤第I類錯誤：“棄真”，H0為真時，H0被拒絕了.即第II類錯誤：“納偽”，H0不真時，H0被接受了，即P{H0被拒絕/H0為真}=α，稱α為顯著性水平.P{H0被接受/H0不真}=β根據(jù)假設(shè)H0選取不含未知參數(shù)的統(tǒng)計量，由統(tǒng)計量服從的分布命名為U檢驗，t檢驗，F(xiàn)檢驗，檢驗（轉(zhuǎn)下頁）.在樣本