機械工程-信號及其描述課件

機械工程信號及其描述第一章信號及其描述一、信號的分類與描述二、周期信號與離散頻譜三、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜四、隨機信號為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：1)從信號描述上分--確定性信號與非確定性信號；2)從信號的幅值和能量上--能量信號與功率信號；3)從分析域上--時域與頻域；第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類4)從連續(xù)性--連續(xù)時間信號與離散時間信號；5)從可實現(xiàn)性

--物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。1、確定性信號與非確定性信號可以用明確數(shù)學關(guān)系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學關(guān)系式描述的信號稱為非確定性信號。周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號

x(t)

=

x(t+nT)簡單周期信號復(fù)雜周期信號b)非周期信號：再不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。①準周期信號:由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數(shù)。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)②瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號。如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)c)非確定性信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。噪聲信號(平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異噪聲信號(非平穩(wěn))2能量信號與功率信號a)能量信號在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。b)功率信號

在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量不是有限值。此時，研究信號的平均功率更為合適。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號:a)時域有限信號在時間段(t1，t2)內(nèi)有定義，其外恒等于零。

b)頻域有限信號在頻率區(qū)間(f1，f2)內(nèi)有定義，其外恒等于零。三角脈沖信號正弦波幅值譜3時限與頻限信號

4連續(xù)時間信號與離散時間信號a)連續(xù)時間信號:在所有時間點上有定義

b)離散時間信號:在若干時間點上有定義采樣信號5物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號：又稱為單邊信號，滿足條件：

t＜0時，x(t)=0，即在時刻小于零的一側(cè)全為零。b)物理不可實現(xiàn)信號：在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號。時域描述：反映信號隨時間變化

頻域描述：反映信號的組成成分

幅值域描述：反映信號幅值大小的分布

時延域描述：反映信號間的相互關(guān)系

同一信號無論選用哪種描述方法都含有同樣的信息量

二、信號的時域和頻域描述信號的描述方法：信號“域”的不同，是指信號的獨立變量不同，或描述信號的橫坐標物理量不同。

信號的時域描述：以時間為獨立變量，其強調(diào)信號的幅值隨時間變化的特征。

信號的頻域描述：以角頻率或頻率為獨立變量，其強調(diào)信號的幅值和相位隨頻率變化的特征。

時域和頻域信號

信號的時域和頻域描述用坐標圖描述信號時，若橫坐標為時間t，縱坐標為幅值的描述方式為時域描述。若橫坐標為頻率f(或ω)，則稱為頻域描述。頻譜：幅頻譜：橫坐標－頻率；縱坐標—幅值相頻譜：橫坐標－頻率；縱坐標—相位信號的時域波形分析是最常用的信號分析手段，用示波器、萬用表等普通儀器直接顯示信號波形，讀取特征參數(shù)。信號的時域分析

周期信號波形圖

1、周期T，頻率f=1/T2、峰值PAtT

PPp-p3、雙峰值Pp-p4、均值

均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學期望值。均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為直流分量。5、均方值信號的均方值E[x2(t)]，表達了信號的強度（平均功率）；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)，也是信號平均能量的一種表達。6、方差方差：反映了信號繞均值的波動程度。信號x(t)的方差定義為：大方差

小方差

7、波形分析的應(yīng)用超門限報警

信號類型識別

基本參數(shù)識別

Pp-p案例：汽車速度測量:1）峰值：峰值Xp是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值2）峰-峰值：Xp-p是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差4）絕對均值：5）有效值是信號的均方根值：3）均值：6）均方值：有效值的平方就是信號的平均功率二、周期信號的強度表述（小結(jié)P31）什么是信號的頻域分析為什么要對信號進行頻域分析對信號進行頻域分析的技術(shù)手段－－掌握周期信號的傅立葉三角級數(shù)和復(fù)指數(shù)展開形式信號的頻域分析

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換X(t)=

sin(2πnft)0t0f信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。信號的頻域分析

時間幅值頻率時域分析頻域分析時域分析與頻域分析的關(guān)系信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

頻域參數(shù)對應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參數(shù)，物理意義更明確。大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷元音字母eee發(fā)音的頻譜分析與合成任何一個周期函數(shù)都可以進行傅里葉級數(shù)分解，傅里葉級數(shù)有兩種形式:1.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式2.傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式任何周期函數(shù)，都可以展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)。周期信號只要滿足：①.有限區(qū)間；②.周期性；③.狄里赫利(dilichlet)條件，都可以展開成傅立葉級數(shù)。

1.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式式中：，2，3…常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、周期信號的分解它表明周期函數(shù)由一個直流分量和無限個諧波分量組成，ω0稱為基波角頻率。

若將上式同頻項合并，可改寫成：其中：a)周期函數(shù)的奇偶性由：進一步討論，可得：相位頻譜圖三角頻譜圖（n=1,2,3，…）b)三角頻譜以角頻率ω(或頻率f)為橫坐標，幅值A(chǔ)n或θn為縱坐標所做的圖形稱為三角頻譜圖幅值頻譜圖+||+||相鄰頻率的間隔：基頻成分：對應(yīng)的頻率成分N次諧波成分：對應(yīng)的頻率成分單邊譜：頻率或從，譜線在橫坐標的一邊例：求如圖示周期性矩形波的傅里葉級數(shù)表示，并畫出頻譜圖。解：該波形在一個周期內(nèi)的數(shù)學表達式為根據(jù)公式得（n=1，3，5…..）幅頻圖

相頻圖時域分析頻域分析上例揭示出周期方波可以分解為無窮多個諧波。A=4;w0=pi/0.1;t=-0.5:.001:0.5;Y=sin(w0*t)+(1/3)*sin(3*w0*t)+(1/5)*sin(5*w0*t)+(1/7)*sin(7*w0*t)+(1/9)*sin(9*w0*t)+(1/11)*sin(11*w0*t)+(1/13)*sin(13*w0*t)+(1/15)*sin(15*w0*t)+(1/17)*sin(17*w0*t)+(1/19)*sin(19*w0*t)plot(t,Y)MATLAB程序：用諧波合成周期方波由收斂性可知，信號的中高次諧波分量很小，所以其對信號波形的影響很小，有時可以忽略。在一定的誤差范圍內(nèi)，只考慮有限的頻率分量：從0頻率到所必須考慮的最高次諧波分量之間的頻段稱為信號的頻帶寬度。信號的頻帶寬度是一個重要的概念，這在信號處理中，在設(shè)計和選用測試裝置時要充分注意。信號的頻帶指信號包含頻率成份的范圍。工程應(yīng)用：離散性:周期信號的頻譜圖上的譜線是離散的。諧波性:周期信號的頻譜圖上的譜線只發(fā)生在基頻ω0的整數(shù)倍頻率上。收斂性:從總體上看，周期信號高次諧波的幅值具有隨n的增加而呈衰減的趨勢。周期信號頻譜的特點：傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式：

歐拉公式:

傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的推導(dǎo)：歐拉公式則那么令即由所以即2.傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：歐拉公式:

n=0，±1，±2，±3….表示周期信號的復(fù)振幅，稱為傅立葉系數(shù)

一般情況下是復(fù)數(shù)，可以寫成式中：——復(fù)數(shù)的模；——復(fù)數(shù)的幅角。幾個重要關(guān)系：把周期函數(shù)x(t)展開為傅立葉級數(shù)以后，作關(guān)系圖:

CnR—ω0稱為實頻圖CnI—ω0稱為虛頻圖|Cn|—ω0稱為雙邊幅頻圖，

n=-∞～+∞，nω=-∞～+∞，φn—ω0稱為雙邊相頻圖例:畫出正弦函數(shù)sinω0t的頻譜圖。

一般周期函數(shù)實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

思考:畫出余弦函數(shù)cosω0t的頻譜圖（參閱P30）。

例:求圖示的周期性三角波的幅頻譜。解：x(t)在一個周期中可表達為因x(-t)=x(t)，故x(t)是偶函數(shù)，其幅頻譜（單邊頻譜）如圖a）。若用復(fù)數(shù)形式表示，則根據(jù)周期三角波幅頻譜的兩種形式

單邊頻譜雙邊頻譜可求得如圖b）所示的幅頻譜（雙邊頻譜）比較兩個頻譜可發(fā)現(xiàn)不同之處在于：復(fù)指數(shù)形式是將三角形式的每條譜線取1/2到左邊軸的對稱點處，復(fù)指數(shù)形式頻譜中的負頻率完全是數(shù)學變換的結(jié)果，沒有實際的物理意義，只有把正負頻率項成對地合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)。在兩種形式的傅立葉級數(shù)中，An和Cn、和都是頻率的函數(shù)，稱An和|Cn|為函數(shù)(信號)的幅頻特性,

和為信號的相頻特性。A0/2或|C0|表示信號的直流分量，An或者|2Cn|表示n次諧波的幅值,

和表示第n次諧波的相位，An和Cn.和相當于一個序列的通項.周期信號的頻譜（三角形式和復(fù)指數(shù)形式的關(guān)系）若把An和Cn、和與頻率的相應(yīng)關(guān)系用坐標表示出來，則稱之為信號的頻譜.小結(jié)：非周期信號的頻譜分析√把非周期信號：→周期T0→∞的周期信號√周期信號x(t),周期為T0，則其頻譜是離散譜，而相鄰諧波之間的頻率間隔為Δω=ω0=2π/T0?！坍擳0→∞

，則ω0=Δω→0，→信號頻譜譜線間隔Δω=ω0→0，無限縮小，→相鄰諧波分量無限接近，→離散參數(shù)nω0可用連續(xù)變量ω來代替，→離散頻譜變成了連續(xù)頻譜，→求和運算可用積分運算來取得，√所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。第三節(jié)瞬變非周期信號及其連續(xù)頻譜一、瞬變非周期信號的譜密度與傅立葉變換其中：將代入上式式中，取整數(shù)0，±1，±3，…，因而各諧波頻率只能取離散值；相鄰諧波譜線間的頻率增量上式可寫成在數(shù)學上，，就意味著上式中，,

于是，將代入上式得傅里葉變換（FT）：

傅里葉反變換（IFT）：傅里葉變換對：一般的說，X(f)是個復(fù)數(shù)

幅值譜密度相位譜密度結(jié)論：X(ω)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(ω)稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。從另一個角度看：由得：①|(zhì)X(?)|為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；②|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即cm(振幅)，而|X(?)|的量綱相當于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即“頻譜密度函數(shù)”，cm/Hz（振幅/頻率）。周期和非周期信號幅值譜的區(qū)別

例：求圖所示的單個矩形脈沖的頻譜定義：1）以為周期并隨的增加而做衰減振蕩。函數(shù)是偶函數(shù)。(函數(shù)在傅里葉分析及線性時不變系統(tǒng)的研究中=±1,±2，±3，…)處其值為零。起著非常重要的作用。特點：2）3）二、傅里葉變換的主要性質(zhì)(P35)1)線性疊加性：線性疊加性性質(zhì)說明相加信號的頻譜等于各個單獨信號頻譜之和。2)對稱性：3)尺度變換性質(zhì)：若則時域壓縮（k>1）對應(yīng)頻域擴展，幅值降低；時域擴展(k<1)對應(yīng)頻域壓縮，幅值增高。4)時移與頻移性質(zhì)：若則有，時移性質(zhì)：頻移性質(zhì)：信號的時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。頻譜搬移時域信號乘上一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號，可以達到頻譜搬移的目的。調(diào)幅信號的頻譜就是調(diào)制信號的頻譜F(f)向左、右各搬移了載波頻率f0。頻分復(fù)用技術(shù)：在信號調(diào)制過程中，通常把若干個帶限信號分別乘以不同的、預(yù)定義的載頻信號，把頻譜搬移到不同的頻域范圍（頻道）內(nèi)，從而使用同一信道同時傳輸多個不同信號且互不影響。5)卷積定理：(傅立葉變換性質(zhì)中最重要的性質(zhì)之一)卷積的定義：設(shè)兩個函數(shù)x1(t)和x2(t),記x1(t)*x2(t)為x1(t)與x2(t)的卷積。若則1.兩個函數(shù)在時域中的卷積，對應(yīng)于頻域中的乘積2.兩個函數(shù)在時域中的乘積，對應(yīng)于頻域中的卷積

重要結(jié)論：三、幾種典型信號的頻譜1.矩形窗函數(shù)(單個矩形脈沖函數(shù))及頻譜1）一個在時域有限區(qū)間有值的信號，其頻譜卻延伸至無限頻率。2）在時域中，若截取信號的一段記錄長度，則相當于原信號和矩形窗函數(shù)乘積，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積特性，所得信號的頻譜將是原信號頻譜函數(shù)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的，頻率無限延伸的頻譜。3)主瓣寬度為2/τ，與時域窗寬度τ成反比。例：求被窗函數(shù)截斷的余弦函數(shù)的頻譜。解：被矩形窗函數(shù)截斷的余弦函數(shù)可表示為或者可表示為令矩形窗函數(shù)為g(t)，則而矩形窗函數(shù)的頻譜為利用傅立葉變換的頻移性質(zhì)可得結(jié)論：矩形窗函數(shù)的調(diào)幅信號的頻譜是其調(diào)制信號的頻譜之一半，并各向左、右平移ω0。2.單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))及頻譜1)δ函數(shù)的定義

脈沖

有向線段在工程上，常將δ函數(shù)用一個高度等于1的有向線段來表示。這個線段的高度表示δ函數(shù)的積分，亦稱δ函數(shù)的強度。（注意：這里并非幅度值）。－－－用這種方法表示的函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。

2）δ函數(shù)的采樣性質(zhì)在工程上，利用單位脈沖函數(shù)的概念，可將采樣過程看成是信號與單位脈沖函數(shù)的簡單乘積。

3）δ函數(shù)與其它函數(shù)的卷積結(jié)論：任意函數(shù)和δ函數(shù)的卷積，就是簡單地將該函數(shù)在自己的橫軸上平移到δ函數(shù)所對應(yīng)的位置。此結(jié)論對頻域函數(shù)同樣適用。信號的截取與頻譜搬移（從δ函數(shù)的卷積特性看）4）δ函數(shù)的頻譜重要：根據(jù)傅里葉變換的對稱性、時移性和頻移性等，可得到下列傅里葉變換對：

時域頻域4.正(余)弦函數(shù)及頻譜由于正(余)弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，因此不能直接應(yīng)用傅里葉積分變換式，而需在傅里葉變換時引入δ函數(shù)。正、余弦函數(shù)及其頻譜4.周期性單位脈沖序列及頻譜若用傅里葉級數(shù)表示，則兩端取傅里葉變換周期單位脈沖序列頻譜

由性質(zhì)：工程應(yīng)用背景：用計算機進行信號分析時，首先要將連續(xù)的模擬信號x(t)變?yōu)橐贿B串離散的時間序列，以數(shù)字量的形式存入一個個內(nèi)存單元，然后進行各種計算。為了實現(xiàn)這一過程，可先用δn(t)與連續(xù)信號x(t)相乘。由δ函數(shù)的采樣性質(zhì)可知，相乘的結(jié)果便得到一離散的時間序列。周期性單位脈沖序列δn(t)在數(shù)學上具有采樣功能，因此又稱采樣函數(shù)。相應(yīng)地，Ts稱采樣間隔，也稱采樣周期，其倒數(shù)1/Ts=fs稱采樣頻率。1）時域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列；2）若時域周期為Ts，則頻域脈沖序列的周期為1/Ts；3）時域脈沖強度為1，頻域中強度為1/Ts。結(jié)論：周期信號的傅立葉變換（補充）1）周期信號經(jīng)傅立葉變換后為由脈沖信號構(gòu)成的離散譜。2）在引入脈沖函數(shù)后，對周期信號和非周期信號的研究統(tǒng)一于傅立葉變換。頻譜分析的應(yīng)用頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，是信號分析中最常用的一種手段。案例：在齒輪箱故障診斷通過齒輪箱振動信號頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據(jù)機床轉(zhuǎn)速和傳動鏈，找出故障齒輪。案例：螺旋漿設(shè)計可以通過頻譜分析確定螺旋漿的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，確定螺旋漿轉(zhuǎn)速工作范圍。第四節(jié)隨機信號一、概述1．樣本函數(shù)、樣本記錄和隨機過程隨機信號不能用確定的數(shù)學關(guān)系式來表達，如果要研究隨機信號就要大量實地測量和記錄信號波形，并對記錄的信號采用概率和數(shù)理統(tǒng)計的方法獲取隨機信號的特征參數(shù)。樣本函數(shù)：對隨機信號進行多次長時間的觀察記錄，其中每次長時間的觀察記錄所獲得的時間歷程xi(t)(i=1,2,3…)，稱為一個樣本函數(shù)。樣本記錄：在有限時間區(qū)間（t1,t2）上的樣本函數(shù)xi(t)(t1≤t≤t2)稱為樣本記錄。隨機過程：在試驗條件不變時，所有樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機過程，記做｛x(t)｝表示：｛x(t)｝=｛x1(t),x2(t),…xi(t)｝隨機過程與樣本函數(shù)2．集合平均和時間平均集合平均：在計算隨機過程的某個統(tǒng)計參數(shù)（如均值、方差、均方值、均方根值等）時，利用了隨機過程｛x(t)｝中所有樣本函數(shù)xi(t)(i=1,2,3…)在t1時刻的觀察值進行運算再取其平均的方法稱為集合平均。求某隨機過程在t1時刻的均方值：求某隨機過程在t1時刻的均值：N——觀察次數(shù)時間平均：在計算隨機過程的某個統(tǒng)計參數(shù)時，僅利用隨機過程｛x(t)｝中第i個樣本函數(shù)xi(t)（當觀察時間T→∞時）的所有觀察值進行運算再取其平均的方法稱為時間平均。如：求某隨機過程的均值：如：求某隨機過程的均方值：3．隨機過程的分類1）平穩(wěn)隨機過程和非平穩(wěn)隨機過程若某一隨機過程的集合平均統(tǒng)計參數(shù)不隨時間變化，則該隨機過程稱為平穩(wěn)隨機過程，反之稱為非平穩(wěn)隨機過程。2）各態(tài)歷經(jīng)過程和非各態(tài)歷經(jīng)過程在平穩(wěn)隨機過程中，若某隨機過程用集合平均得到的統(tǒng)計參數(shù)與任意單個樣本用時間平均得到的統(tǒng)計參數(shù)相同，則稱該平穩(wěn)隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)過程，反之稱為非各態(tài)歷經(jīng)過程。注意：各態(tài)歷經(jīng)隨機過程一定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。對于各態(tài)歷經(jīng)隨機過程來講，可以用一個樣本函數(shù)來描述整個隨機過程，用有限時間的樣本記錄來估計隨機過程，大大簡化了隨機信號的測試和處理（減少觀測次數(shù)、減少觀察時間）。各態(tài)歷經(jīng)隨機過程概念的工程意義：理解：1）在各態(tài)歷經(jīng)隨機過程中，任意樣本函數(shù)均包括了該隨機過程的全部特征。故可通過對某個單個樣本函數(shù)的分析得到該隨機過程的全部特征信息，以單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征值代替集合平均統(tǒng)計特征值，從而減少了觀測次數(shù)。2）在各態(tài)歷經(jīng)隨機過程中，也滿足了時間平均統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間變化的條件，故可在某隨機過程的單個樣本函數(shù)中取一樣本記錄，用該樣本記錄的時間平均統(tǒng)計特征來描述整個隨機過程。因此，在實際工作中減少對某隨機過程的觀察時間后，也可以獲得該隨機過程的特征信息。注：實際工作中的隨機過程絕大多數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。二、隨機信號的主要特征參數(shù)各態(tài)歷經(jīng)隨機過程主要統(tǒng)計參數(shù)：1）均值、方差和均方值2）概率密度函數(shù)3）自相關(guān)函數(shù)4）功率譜密度函數(shù)說明：隨機信號特征參數(shù)分析以有限樣本記錄獲取參數(shù)，以樣本參數(shù)作為隨機信號特征參數(shù)的估計值。顯然，這樣做，必定帶來誤差。這類誤差稱為統(tǒng)計采樣誤差，其大小和樣本記錄的長度、樣本記錄的數(shù)目有關(guān)。1.均值、方差、均方值1）均值—各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的樣本記錄；

—樣本記錄時間。均值反映了隨機信號的靜態(tài)分量(直流分量)。估計值：

2）方差方差的大小反映了隨機變量對均值的離散程度，即代表了信號的動態(tài)分量(交流分量)。其正平方根稱為標準差。方差用以描述隨機信號的動態(tài)分量估計值3）均方值它描述了隨機信號的強度或平均功率。它的正平方根稱為均方根值(或稱有效值)。估計值均值、