第16講：高頻考點(diǎn)分析之函數(shù)探討

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】

第16講：高頻考點(diǎn)分析之函數(shù)探討

江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯

1-2講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3?8講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9?12講對(duì)數(shù)

學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。

函數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有比較重要的地位。

結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)，高考中函數(shù)問題主要有以下幾種：

1.函數(shù)定義域問題：

2.函數(shù)值和大小比較問題；

3.函數(shù)的值域和最值問題；

4.函數(shù)的單調(diào)性。周期性、奇偶性問題；

5.函數(shù)的零點(diǎn)問題；

6.函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

7.反函數(shù)問題：

8.函數(shù)的圖形問題；

9.函數(shù)的綜合問題

結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以上九方面探討函數(shù)問題的求解。

一、函數(shù)定義域問題：

典型例題：

例1.(2012年山東省文5分)函數(shù)f(x)=—!—+J4-X?的定義域?yàn)椤尽?/p>

ln(x+1)

A[-2,0)U(0,2]B(-1,0)U(0,2]C[-2,2]D(-1,2]

【答案】B,

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域。分式、對(duì)數(shù)、二次根式有意義的條件。

ln(x+l)w0[XNO

【解析】根據(jù)分式、對(duì)數(shù)、二次根式有意義的條件，得<+1>0,解得<x>-l

4-x2>0[-2<x<2

函數(shù)f(x)=^；~~!一+J4-X?的定義域?yàn)?-1,0)U(0,2]。故選Bo

ln(x+1)

-2-102

例2.（2012年江西省理5分）下列函數(shù)中，與函數(shù)歹=子定義域相同的函數(shù)為【

1Inxsinx

A.y=------B.y=——C.y-xexD.y=-----

sinxxx

【答案】Do

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域。

【解析】求函數(shù)的定義域的依據(jù)就是要使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍。其求解根據(jù)一般有：（1）

分式中，分母不為零;（2）偶次根式中，被開方數(shù)非負(fù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0：（4）實(shí)際問題還需要考慮使題

目本身有意義。由函數(shù)夕=」的意義可求得其定義域?yàn)閧x|xeR,XH0},于是對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得

\JX

答案：

對(duì)于A,y=」一的其定義域?yàn)樽笞?，keZ}f故A不滿足；

sinx

InY

對(duì)于B,y=---的定義域?yàn)閤>0},故B不滿足；

x

對(duì)于C,y=xe*的定義域?yàn)?故C不滿足；

cinx

對(duì)于D,y=——的定義域?yàn)閤wO},故D滿足。

x

Icin

綜上所述，與函數(shù)》=/定義域相同的函數(shù)為：Xo故選D。

yJXX

例3.（2012年四川省文4分）函數(shù)/Yx）=/I的定義域是▲。（用區(qū)間表示）

yj1—2%

【答案】（-00,-!-）

2

【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件。

【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)

數(shù)和分式分母不為0的條件，要使下』=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須F-2x*°n5nxef-oo.1^。

VP27（l-2x*01I2）

x一

2

例4.（2012年江蘇省5分）函數(shù)/（x）=Jl-210g6》的定義域?yàn)椤?/p>

【答案】(0,V6］o

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域，二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對(duì)數(shù)不等式。

【解析】根據(jù)二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，得

x>0fx>0

x>0

n<]n<1=>0<x<\[6o

logx2

l-21og6x>06-2[x<6=V6

例5.(2012年廣東省文5分)函數(shù)v=在2的定義域?yàn)椤?

X

【答案】［-i,o)U(o，+8)。

【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件。

【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)

數(shù)和分式分母不為0的條件,要使正正在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須［"+12°nF2-1=11,0)U(0,+8)。

xIx0Ix0

二、函數(shù)值和大小比較問題：

典型例題：

1

例1.(2012年全國(guó)大綱卷理5分)已知x=ln;r,j；=log52,z=e,則【】

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】Do

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)、指數(shù)的比較大小的運(yùn)用。

【解析】采用中間值大小比較方法：

22

x=In>Ine=l,j/=log52<log5>/5=—,z=e=-y=>-^=—,z=e=—j=<l,

y<z<xo故選Do

例2.(2012年天津市文5分)已知。=2%b=,C=21og52,Iflija,b,c的大小關(guān)系為【】

(A)c<b<a(B)c<a<b(C)b<a<c(D)b<c<a

【答案】A。

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

【分析】?:b-0.2=20.2<21.2>X<b<a.

又：c=21og$2=logs2?=logs4<1,.,.c<b<a,故選A。

例3.(2012年安徽省理5分)下列函數(shù)中，丕懣是：/(2x)=2/(x)的是【】

(A)f(x)=|x|(B)/(x)=x-|x|(C)/(x)=x+l(Z>)f(x)=-x

【答案】Co

【考點(diǎn)】求函數(shù)值。

【解析】分別求出各函數(shù)的/(2x)值，與2/(x)比較，即可得出結(jié)果：

(⑷對(duì)于/(x)=:有/(2x)=|2x|=2|x|=2/(x),結(jié)論成立；

(8)對(duì)于/(x)=x-|x|有f(2x)-2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2/'(x),結(jié)論成立；

(C)對(duì)于/(x)=x+l有/(2x)=2x+l,2f(x)=2x+2,：./(2x)2f(x),結(jié)論不成立;

(。)對(duì)于/(%)=—x有f(2x)=-2x=2f(x),結(jié)論成立。

因此不滿足/因此=2f(x)的是/~(x)=x+1,故選C。

例4.（2012年安徽省文5分）log29xlog34=[]

。）7⑻1⑹2（。）4

42

【答案】D。

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的計(jì)算。

【解析】log,9xlog34=^x妊=理、堊=4。故選。。

1g21g3lg2lg3

X2+1X<1

例5.（2012年江西省文5分）設(shè)函數(shù)/（x）=12，則/（/（3））=【）

—%>1

12B

A3CD-

5-3-9

【答案】Do

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的求值。

【解析】對(duì)于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是

外層函數(shù)的自變量的值。同時(shí).，要注意自變量X的取值對(duì)應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式。

??.3""⑶咚?))=后)同+1=—o故選D。

9

X2+1V<1

例6.(2012年江西省理5分)若函數(shù)/(x)=('-，則/(7(10))=【

lgx,x>1

A.lglOlB.2C.lD.0

【答案】B。

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的求值。

【解析】對(duì)于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是

外層函數(shù)的自變量的值。同時(shí)，要注意自變量x的取值對(duì)應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式。

V1O>1,.,?/(10)=lgl0=K.\/(/(10))=/(l)=l2+l=2o故選B。

jr1

例7.(2012年江西省文5分)已知/(x)=sin2(x+-)若中爐(膜)，6=/(lg-)則1]

45

A..a+b=OB.a-b=OC.a+b=lD.a-b=\

【答案】Co

【考點(diǎn)】二倍角的余弦，誘導(dǎo)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

71

1—cos(2xH—)

【解析】應(yīng)用二倍角的余弦公式進(jìn)行降嘉.處理：/(x)=sin2(x+^)=-----------2_

冗

1一處(2愴5+萬)i+sm(21g5)

?"=/(lg5)

F—2

b=/(lg1)=sin2(lg*)=Jsm,g5)。

..a+b=\o故選Co

例8.(2012年湖南省文5分)設(shè)夕>b>l,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①-=7:②/<"；③logA(a-c)>log(,(/>-c),

ab

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是【】.

A.①B.①②C.②③D.①②③

【答案】Do

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等關(guān)系。

11_

【解析】由不等式知一<一,又。<0,??r?￡=r￡。①正確。

abab

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)知②正確。

由c<0知a—c>Z)-c>l-c〉1,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)知③正確。

因此，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③。故選D。

1,x>0,,

1,x為有理數(shù)，

例9.(2012年福建省文5分)設(shè)段)={0,x=0,蛉)=八公上.郵則德(兀))的值為【】

[0,x為無理數(shù)，

「1,x<0,

A.1B.0C.—1D.7t

【答案】B?

【考點(diǎn)】求分段函數(shù)的值。

【解析】,兀是無理數(shù)，...gGt)=0,./(g(兀))=火0)=0。故選B。

例10.(2012年福建省文5分)已知{x)=x3-6f+9x-"c,a<b<c,且_/(。)=/(6)=/匕)=0.現(xiàn)給出如下

結(jié)論：①/(0)/(1)>0；(2M0Ml)<0:勵(lì)(0)/(3)>0；刨0求3)<0.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是【】

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】Co

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性。

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：/(x)=3？-12x+9,|y

令/(X)=O,解得X]=l,X2~3O/

當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1々<3時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)o/a\b\3XX

43時(shí)，函數(shù)y(x)單調(diào)遞增。

因?yàn)閍<b<c,且>(a)=7(6)=/(c)=0,所以函數(shù)y(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)從左到右依次為abc.

根據(jù)<6)=0得人6)=63-6b29b—abc—b[(b—3)2—ac]—0,因?yàn)楹?，所以(6—3)2—ac—0?

又因?yàn)閏>0,且方程有解，故〃>0,所以a>0,l<b<3,03。

畫出函數(shù)./(x)的圖象，如圖所示.顯然負(fù)0)<0,犬3)<0,

所以火0)負(fù)1)<0,<0)：/(3)>0。所以②③正確。故選C。

例11.(2012年重慶市文5分)已知a=log23+log2仆，6=log29-log26，c=logR,則a,b,c

的大小關(guān)系是【】

(A)a=b<c(B)a=b>c(C)a<b<c(D)a>b>c

【答案】Bo

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和大小比較。

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得4，b,C,比較它們的大小:

?3

Va=log23+log2V3=log23+-log23=-log,3,

?3

Z>=log29-log2\/3=21og23--log23=-log23,

?clog,21

c=log,2=------=--------,

log23log23

a=b>l,0<c=--------<1o；?a=b>c。故選B。

log23

例12.(2012年北京市文5分)已知函數(shù)f(x)=lgx,若f(ab)=l,則f[2)+f(b2)=▲

【答案】2。

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算。

【解析】???f(x)=lgx,f(ab)=l,

f(a2j+f^b2j=lga2+lgb2=21ga+21gb=2(lga+lgb)=21gab=2x1=2。

>0)

例13.(2012年陜西省文5分)設(shè)函數(shù)/(x)=|(iY，則/(/(-4))=▲

閆G。)

【答案】4。

【考點(diǎn)】分段函數(shù)求值。

【解析】；/(—4)=(；尸=16,??./(/(一4))=/(16)=后=4。

例14.(2012年上海市文4分)方程4*一2川-3=0的解是▲

【答案】log23?

【考點(diǎn)】解指數(shù)方程。

【解析】根據(jù)方程4'-2田—3=0,化簡(jiǎn)得(2*)2-2-2、-3=0。

令2'=/(/>0),則原方程可化為八一2f—3=0,解得/=3或/=一1(舍)。

：.2X=3,x=log23。.?.原方程的解為log??。

三、函數(shù)的值域和最值問題：

典型例題：

例1.(2012年重慶市理5分)設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)y=(l-x)/(x)的圖

像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是【】

(A)函數(shù)/(x)有極大值/(2)和極小值/(I)

(B)函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(I)

(C)函數(shù)/(X)有極大值”2)和極小值/(-2)

(D)函數(shù)/(X)有極大值/(-2)和極小值/(2)

【答案】D。

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的圖象。

【分析】由圖象知，y=(l-勸收(力與x軸有三個(gè)交點(diǎn),-2,1,2,.(—2)=0,八2)=0。

由此得到x,y,1-x,/(x)和/(x)在(-00,+8)上的情況:

X(-co,-2)-2(-2,1)1(1,2)2—

y+0一0+0——

l-x+++0一一——

——

/'(x)+0———0+

/(x)/極大值非極值極小值/

/.f(x)的極大值為/(-2),/(X)的極小值為/(2)o故選Do

例2.(2012年陜西省理5分)設(shè)函數(shù)/(x)=xe',則【】

A.x=1為/(%)的極大值點(diǎn)B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)

C.x=-1為/(x)的極大值點(diǎn)D.x=—1為f(x)的極小值點(diǎn)

【答案】Do

【考點(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。

【解析】V/,(x)=(x+l>',令/'(x)=0,得x=—l。

...當(dāng)x<-1時(shí)，f\x)<0,/(x)=xe'為減函數(shù)；當(dāng)x>-1時(shí)，/(x)>0,/(x)=xe、為增

函數(shù)，所以x=—1為.f(x)的極小值點(diǎn)。

故選D。

2

例3.(2012年陜西省文5分)設(shè)函數(shù)/(》)=1+111》則【】

A.x=；為/(x)的極大值點(diǎn)B.x=；為/(x)的極小值點(diǎn)

C.x=2為/(x)的極大值點(diǎn)D.x=2為的極小值點(diǎn)

【答案】D。

【考點(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。

21

【解析】??"'(》)=-彳+上x=-一2，令/'(x)=0,得x=2。

XXX

2

.?.當(dāng)0<x<2時(shí)，f\x)<0,/(x)=—+lnx為減函數(shù)；

2

當(dāng)x>2時(shí)，/'(x)〉0,/(x)=—+lnx為增函數(shù)。

.?.》=2為/(%)的極小值點(diǎn)。

故選D。

例4.(2012年江蘇省5分)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+&(a"eR)的值域?yàn)椋?,+8),若關(guān)于x的不等式

/(X)<C的解集為(W,777+6),則實(shí)數(shù)C的值為▲.

【答案】9。

【考點(diǎn)】函數(shù)的值域，不等式的解集。

【解析】由值域?yàn)椋?,+8)，當(dāng)/+依+6=0時(shí)有V=a2-4b=0,即6=幺，

2

f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=lx+

4

2

Jf(x)=[x+^I<C解得一五Cx+@<VZ,-\[c--<X<yfc

222

,不等式/（x）<c的解集為（w,加+6）,；.（五-9-（-五-9=2五=6,解得c=9。

例5.（2012年廣東省理14分）設(shè)a<l,集合4=卜€(wěn)火,〉0},6=[；€火|21-3（1+編工+64〉0卜

D=A[}B

（1）求集合。（用區(qū)間表示）

（2）求函數(shù)/（X）=21—3（1+。）/+6q在。內(nèi)的極值點(diǎn)。

【答案】解：⑴設(shè)g(x)=2x2—3(l+a)x+6a,

方程g(x)=O的判別式D=9(1+Q)2-484=9(4--)(〃?3)

①當(dāng);時(shí)，D<0,2》2一3（1+。）》+6。>0恒成立,

8={xeR^2x2-3(l+a)x+6a>o}=R。

：.D=A(}B=A^{x\x>Q],即集合。=(0,+)。

②當(dāng)0<。;時(shí)，D0,方程g（x）=O的兩根為

3(7+3-q9a2-30。+9八3(7+3+19az.30〃+9

-----------------------------0,X.

44

/.8={xE7?|2x2-3(1+Q)X+6Q>0

(,3Q+3-\l9a~-30。+9-3Q+3+，94~—30。+9

={x\x<----------------------如>----------------------

44

—2

“cnA(?n3<7+3A/9^—30t7+9_?x34+3+^/942-304+9、

??.Z)=4n8=/={x|0<x<---------------------------或x>---------------------------},

44

2

即集合。=（0,泡士3d9a2-30〃+9)u(3Q+3+，9〃?30〃+9

)°

③當(dāng)?！?時(shí)，D>0,方程g（x）=O的兩根為

3(7+3-《9/-30。+93(7+3+《9/-30a+9八

--------------------------------￡0,X.=--------------------------------->0

424

/.8=卜￡R^2x2-3(1+。)工+6?！?}

(,3〃+3-也。2-30。+934+3+.9/-30。+9)

={x\x<------------------------------<0或x>------------------------------}o

44

D=/n8=/={x|x〉34+3+J9a，30￡^},

4

即集合D=(3"3+J9/一30"9,十)。

4

(2)令/<x)=[2x3-3(1+a)x2+6ax]'=6x2-6(1+a)x+6Q=6(x一a)(x-1)=0得

/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax的可能極值點(diǎn)為a,1。

①當(dāng):<a<l時(shí)，由(1)知。=(0,+oo),所以/'(x),/(x)隨x的變化情況如下表:

X(0,?)a3D1(L+8)

/'（X）+0—04-

/（X）/極大值極小值/

；?/(X)=2--3(1+4)/+6ax在。內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)為4,1:極大值點(diǎn)為X=4，極小值

點(diǎn)為x=l。

②當(dāng)0<。，時(shí)，

3

4,八4n小%+3-J酎.3(h+9、1,z3a+3+3ttz+9,xz.xllz、

由(1)知0=(Q---------------------)U(---------------------,+)=(0,Xi)U(X2，+°°)。

*.*f(x)=2x(x-x,)(x-x2),/.0<tz<Xj<1<x2,

???/'(x),/G)隨X的變化情況如下表：

X（0,。）a(a,xj(々,+00)

/'（X）+0—+

/（X）/極大值/

，/*）=2/-3（1+。）》2+6ax在。內(nèi)僅有一個(gè)極值點(diǎn)：極大值點(diǎn)為x=a，沒有極小值

點(diǎn)。

③當(dāng)。￡0時(shí)，

,./3"+3+，942-30a+9.

由（1）知￡>=（----------------------,+）?

4

?ci￡0f??1-3々<1-ci°

.3a+3+y/9a2-30a+9_3a+3+J3(l-3a)(l-a)3a+3+13(1-3/

??----------------------=------------------------->--------------------

444

_3a+3+G(l-3a)_3+G+3a(l-V?)3+g

444

3a+3+，9a~-30a+9

：.a￡0<l<---------------------。

4

，/(x)=21—3(1+a)x2+6ax在。內(nèi)沒有極值點(diǎn)。

【考點(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，集合的計(jì)算，解不等式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

，11

【解析】(1)根據(jù)g(x)=2》2—3(l+a)x+6a根的判別式應(yīng)用分類思想分]<。<1、0<aa￡0

討論即可，計(jì)算比較繁。

(2)求出f\x)=[2x3-3(l+a)x2+6ax]'=6x2-6(l+a)x+6a=6(x-a)(x-l),得到/(x)的

可能極值點(diǎn)為a,l。仍然分a<1、0<a”￡0討論。

33

例6.(2012年浙江省理14分)已知a〉0,bwR,函數(shù)/(x)=4a?—2bx-a+6.

(I)證明：當(dāng)OWxWl時(shí)，

(i)函數(shù)f(x)的最大值為I2a—回+a；

(ii)/(x)+12<7-6I>0；

(II)若—1</(x)<1對(duì)xe[0,1]恒成立，求a+6的取值范圍.

【答案】(I)證明：

(i)f'(x)=12ax2-2b.

當(dāng)6<0時(shí)，/'(X)=\2ax2-2b>0在0g1上恒成立，

此時(shí)/(x)的最大值為：/(l)=4a—26—a+6=3q—6—\2a-b\+a；

當(dāng)b>0時(shí)，/'(x)=12爾-26在0SE1上的正負(fù)性不能判斷，

此時(shí)/(x)的最大值為：

/、/[h—a^b>2a

/皿(x)=max{/(0),/⑴}=max{(6-“)，(3a-b)K}='=|2。一臼+a。

\3a-bfb<2a

綜上所述：函數(shù)/(x)在0人1上的最大值為|2。一6|+〃。

(ii)設(shè)g(x)=-/(x),

Vg(A)=-4ax3+2bx+a-b,.,.令g'(x)=-126+2b=0=>x=

當(dāng)后0時(shí)，g，(x)=-12ox2+2b<0在OSrWl上恒成立,

此時(shí)g(x)的最大值為：g(0)=a-b<3a-b—\la-b\+a；

當(dāng)6V0時(shí)，g'(x)=-12ar2+2b在O0E1上的正負(fù)性不能判斷,

4

+ct-b,b46a

grnax(x)=max{g(—),g⑴}=max+a-b,b-2a}=*3

6ab>6a

b—2a,

<\2a—b\+aQ

綜上所述：函數(shù)g(x)在0SW1上的最大值小于(或等于)|2〃一6|+a,

即/(x)+|2夕一b|+a>0在OSxW上恒成立。

(H)解：由(I)知：函數(shù)/(力在0SW1上的最大值為|2夕一切+a,

且函數(shù)/(x)在0夕S上的最小值比-(|2a—加+〃)耍大。

V-1</(X)<］對(duì)X￡［0,1］恒成立，|2tZ—+67<1O

取b為縱軸，。為橫軸.

a>0fa>0

b>2a和“<2o,目標(biāo)函數(shù)為z=a+/)。

)b-a￡\3a-b<,\

作圖如下:

由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過P(l,2)時(shí)，有Zg=3.

二所求的取值范圍為：(-1,3］。

【考點(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃。

【解析】(1)(i)求導(dǎo)后，分區(qū))和6>0討論即可。

(ii)利用分析法,要證/(x)-\-\la-b\+a>0,即證g(x)=-f(x)<|2a—Z>|+a,亦即證g(x)在

0<x<l上的最大值小于(或等于)|2o—臼+a。

(II)由(I)知：函數(shù)在gxWl上的最大值為［2<7-勿+<7,且函數(shù)在0W爛1上的最小值比

-(|2q—句+〃)要大.根據(jù)一W1對(duì)xG［O,1］恒成立，可得|2“一創(chuàng)+g1,從而利用線性規(guī)劃知識(shí)，

可求的取值范圍。

例7.(2012年江西省文14分)已知函數(shù)f(x)=(ax2+hx+c)/在［0,1］上單調(diào)遞減且滿足

/(0)=1,41)=0。

(1)求。的取值范圍；

(2)設(shè)g(x)=/(x)—/［x),求g(x)在［0,1］上的最大值和最小值。

【答案】解：(1)V/(0)=c=l,f(l)=(a+b+c)e=0,：.a+b=-\.

f(x)=［ar2-(a+l)x+Y\exo/./,(x)=［ax2+{^a-\)x-a］ex?

:函數(shù)/(x)=(ax2+6x+c)e*在［0,1］上單調(diào)遞減，

對(duì)于任意的xe(O,1),都有/'(x)<0。

.?.由/'(0)=—。<0得4>0；由/'(1)=［。+(。-1)—a］e<0得4<1。

/.0<(7<1o

又當(dāng)。=0時(shí)，對(duì)于任意的x?0,1),都有了'(x尸一x<0,函數(shù)符合條件；

當(dāng)。=1時(shí)，對(duì)于任意的X€(0,1),都有/口)=12-1"'<0,函數(shù)符合條件。

綜上所述，。的取值范圍是OWaWl。

(2)Vg(x)=/(》)-/［丫)=［0%2-(a+l)x+l］e*-［加-(a+l)x-a］e*=(-2or+a+De"

g,(x)=(-2tzr-6f4-l)exo

(i)當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意XE(O,1)有g(shù)<x)=e">0,

，g(x)在［0,1］上的最小值是g(0)=l,最大值是8⑴二？；

(ii)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)于任意xc(0,1)有g(shù)<x)=-2xe'<0,

???g(x)在［0,1］上的最小值是g⑴=0,最大值是g(O)=2；

(iii)當(dāng)0V4Vl時(shí)，山g［x)=0得x=,

①若寧21,即0<aW；時(shí)，g(x)在［0,1］上是增函數(shù)，

；.g(x)在［0,1］上最大值是g(l)=(l-a)e,最小值是g(0)=l+a；

1—/J11—fj1—zj-_—

②若----<1,即一<4<1時(shí)，g(x)^Ex=-------取得最大值g(-------)=2ae2ag,在x=0

2a3v72a2a

或x=l時(shí)取到最小值：

Vg(0)=1+a,g(D=Q-〃)e,

1P-\

???當(dāng)§vQ?時(shí)，g(x)在x=0取到最小值g(0)=1+o；

P—i

當(dāng)；時(shí)，g(x)在x=l取到最小值g⑴=(l-a)e。

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。

【解析】(1)由題意，函數(shù),/")=(加+瓜+?/在［0,1］上單調(diào)遞減且滿足/(0)=1,/")=0,可求

出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)在［0,1］上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在［0,1］上的函數(shù)值恒小于等于0,再結(jié)合/(0)=1,

./(1)=0這兩個(gè)方程即可求得?取值范圍。

(2)由題設(shè)條件,先求出g(x)=/(x)-尸(x)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)g'(x)=(-2ar-q+l)e"

由于參數(shù)“的影響，函數(shù)在[0,1]上的單調(diào)性不同，結(jié)合(1)的結(jié)論及g'(x)分a=0,a=1,0<a<1

三類對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，確定并求出函數(shù)的最值。

例8.(2012年湖南省理13分)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的4,8,。三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需

要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)/部件6件，或8部件3件，

或。部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)A部件的人數(shù)與生產(chǎn)4部

件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為4(A為正整數(shù)).

(I)設(shè)生產(chǎn)/部件的人數(shù)為x,分別寫出完成B,。三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；

(II)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)人的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間

最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

【答案】解：(I)設(shè)完成/,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位：天)分別為7；(x)Z(x),7；(x),

2x3000

由題設(shè)有工(q=理z(加理Z(吁15。。

6xx2kx3200—(l+k)x

其中x,Ax,200—(1+左)x均為1到200之間的正整數(shù)。

(II)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為/@)=加{7；(》)，(力，@)},其定義域?yàn)椴?<》<笆,工€乂

易知,7](x)Z(x)為減函數(shù),“(X)為增函數(shù)。

2

???依).稔)，于是

10001500|

(1)當(dāng)上=2時(shí)，7j(x)=[(x),此時(shí)/(x)=max{7；(x),7；(x))=max二'200—3x『

由函數(shù)7](x),/(x)的單調(diào)性知,

“，10001500*//、"，/日口I-3”由400

當(dāng)----=---------時(shí)n/(x)取得最小值，解得x=----o

x200-3X9

由于44〈等<45,何(44)E44)=*,〃45)盟(45)=等J(44)<”45),

故當(dāng)x=44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為/(44)=于250。

(2)當(dāng)人>2時(shí)，T}(X)>T2(X),由于左為正整數(shù)，故上23,

375

此時(shí)T(x)，夕(x)=max{7](x),T(x)},>

50-x

易知T(x)為增函數(shù)，則f(x)=max{7](x),7；(x)}>max{7](x),T(x)}

1000375

=*(x)=max

x?50-xJ

由函數(shù)小x),T(x)的單調(diào)性知,

上1000375時(shí)取得最小值，解得》=答

a------=-------°(x)

x50-x

由于36<手<37,而夕(36)=7；(36)=型〉型375250

,9(37)=7(37)=---->,

91113----11

250

此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于上o

11

(3)當(dāng)左＜2時(shí)，T^X)＜T2(X),由于左為正整數(shù)，故左=1,

2000750

此時(shí)/(x)=max{g(x)Z(x)}=max

x9100-x

由函數(shù)4(x),7；(x)的單調(diào)性知,

比2000750800

當(dāng)-----=------時(shí)/(x)取得最小值，解得x

x100-x11

250250

類似(2)的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為且，大于今。

911

綜上所述，當(dāng)左=2時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)4,B,C三種部件的人數(shù)

分別為44,88,68。

【考點(diǎn)】分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值，分類思想的應(yīng)用。

【解析】(I)根據(jù)題意建立函數(shù)模型。

(H)利用單調(diào)性與最值，分％=2、左＞2和左＜2三種情況討論即可得出結(jié)論。

例10.(2012年重慶市文13分)已知函數(shù)/