概率的定義及其計(jì)算學(xué)習(xí)筆記

概率的定義及其計(jì)算學(xué)習(xí)筆記1定義設(shè)E

是一隨機(jī)試驗(yàn)，它具有下列特點(diǎn)：基本事件的個(gè)數(shù)有限每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性大小相同則稱

E

為等可能概型等可能概型中概率的計(jì)算：記則

等可能（古典）概型2非負(fù)性：規(guī)范性：有限可加性：其中為兩兩互斥事件。古典概型的性質(zhì)：證明：任意事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)k滿足，所以。S包含n個(gè)基本事件，據(jù)定義P(S)=13例1.從1至9這九個(gè)號(hào)碼中，隨機(jī)的取4個(gè)號(hào)碼，數(shù)碼之和為奇數(shù)的概率.A=“4個(gè)數(shù)碼之和為奇數(shù)”事件包含個(gè)事件，且由于互不相容，因此，包含個(gè)事件因此，4A包括兩個(gè)子事件:(1)只有一個(gè)奇數(shù)（2）只有三個(gè)奇數(shù),因此，例2投擲三顆骰子，其中一個(gè)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5，而另外兩個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不同且不等于5的概率.A=“一個(gè)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5，另外兩個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不同且不等于5”5例35個(gè)有區(qū)別的球隨機(jī)的放入10個(gè)盒內(nèi)，求恰有3個(gè)球放在同一盒內(nèi)的概率。A=“恰有3個(gè)球在同一盒內(nèi)”6例4

（分房問題）設(shè)有k

個(gè)不同的球，每個(gè)球等可能地落入N

個(gè)盒子中（）,設(shè)每個(gè)盒子容納的球數(shù)無限，求下列事件的概率（2）恰有k

個(gè)盒子中各有一球；解則設(shè)（1）~（5）的各事件分別為7（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球；（4）某指定的一個(gè)盒子恰有m

個(gè)球()；（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中（3）某指定的一個(gè)盒子沒有球；8幾何概型設(shè)樣本空間是一個(gè)有限區(qū)域S，若樣本點(diǎn)落入S內(nèi)任何區(qū)域A

中的概率與區(qū)域A

的測(cè)度成正比，則樣本點(diǎn)落入A內(nèi)的概率為9非負(fù)性：規(guī)范性：有限可加性：其中為兩兩互斥事件。幾何概型的性質(zhì)：可列可加性：其中為兩兩互斥事件。10例

兩船欲?？客粋€(gè)碼頭,設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的.如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為x，0<=x<24船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為y，0<=y<24設(shè)事件A

表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭11xy2424y=xy=x+1y=x-212定義設(shè)在n

次試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生了nA次，則稱為事件A

在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率統(tǒng)計(jì)定義—頻率13頻率的性質(zhì)

事件A,B互斥，則可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件非負(fù)性

規(guī)范性可加性

穩(wěn)定性14投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)Buffonn=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069Pearsonn=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例

蒲豐投幣

皮爾森投幣15例DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.000616概率的公理化定義

設(shè)

是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若能找到一個(gè)法則，使得對(duì)于E

的每一事件

A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱之為事件A的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：非負(fù)性：

規(guī)范性：

可列可加性：其中為兩兩互斥事件，概率的定義概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年建立.17概率的性質(zhì)

有限可加性:設(shè)為兩兩互斥事件，

若18加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有又由證明：

且所以，

19推廣：一般：20例

小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出第一類問題的概率為0.7,答出第二類問題的概率為0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王解設(shè)事件Ai

表示“能答出第i類問題”i

=1,2(1)(1)答出第一類而答不出第二類問題的概率(2)兩類問題中至少有一類能答出的概率(3)兩類問題都答不出的概率(2)(3)21排列、組合有關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)：加法原理：完成一件事情有n

類方法，第i

類方法中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

個(gè)步驟，第i

個(gè)步驟中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法22排列：從n個(gè)不同的元素中取出m

個(gè)（不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有全排列可重復(fù)排列：從n

個(gè)不同的元素中可重復(fù)地取出m

個(gè)排成一排,不同的排法有種23不盡相異元素的全排列：n

個(gè)元素中有m

類，第

i類中有

個(gè)相同的元素，將這n

個(gè)元素按一定的次序排成一排，種不同的排法共有24組合：從n個(gè)不同的元素中取出m

個(gè)（不放回地）組成一組，不同的分法共有種多組組合：把n

個(gè)元素分成

m

個(gè)不同的組（組編號(hào)），各組分別有

個(gè)元素，，不同的分法共有25條件概率和乘法公式全概率公式Bayes公式§1.3-1.5

26事件的獨(dú)立性§1.3條件概率

引例袋中有7只白球，3只紅球；白球中有4只木球，3只塑料球；紅球中有2只木球，1只塑料球.現(xiàn)從袋中任取1球，假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球，問它是木球的概率是多少？等可能概型設(shè)A

表示任取一球，取得白球；B

表示任取一球，取得木球條件概率與乘法公式27所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計(jì)木球426塑料球314小計(jì)7310問題：條件概率中樣本空間是什么？

28定義設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為條件概率的計(jì)算方法（1）等可能概型可用縮減樣本空間法（2）其他概型用定義與有關(guān)公式29條件概率也是概率，它符合概率的定義，具有概率的性質(zhì)：非負(fù)性規(guī)范性可列可加性

30利用條件概率求積事件的概率就是乘法公式推廣乘法公式31例已知某廠生產(chǎn)的燈泡能用到1000小時(shí)的概率為0.8,能用到1500小時(shí)的概率為0.4,求已用到1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率解

令A(yù)

燈泡能用到1000小時(shí)

B

燈泡能用到1500小時(shí)所求概率為32例某人外出旅游兩天，需要知道兩天的天氣情況，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.6,第二天下雨的概率為0.3,兩天都下雨

的概率為0.1.求第一天下雨時(shí)，第二天不下雨的概率解設(shè)A1,A2

分別表示第一天下雨與第二天下雨33一般地，條件概率與無條件概率之間的大小無確定的關(guān)系上例中若34例為了防止意外，礦井內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警設(shè)備A與B,已知設(shè)備A

單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.92,設(shè)備B

單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.93，在設(shè)備A失效的條件下，設(shè)備B有效的概率為0.85,求發(fā)生意外時(shí)至少有一個(gè)報(bào)警設(shè)備有效的概率。設(shè)事件A,B

分別表示設(shè)備A,B有效已知求35解由即故解法二36B1B2BnAB1AB2ABnA

§1.4全概率公式與Bayes公式37全概率公式Bayes公式38每100件產(chǎn)品為一批，已知每批產(chǎn)品中的次品數(shù)不超過4件，每批產(chǎn)品中有

i件次品的概率為i01234P0.10.20.40.20.1從每批產(chǎn)品中不放回地取10件進(jìn)行檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，否則就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。求（1）一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率（2）通過檢驗(yàn)的產(chǎn)品中恰有i

件次品的概率例39解設(shè)一批產(chǎn)品中有

i件次品為事件Bi,i=0,1,…,4A

為一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)則已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式與Bayes公式可計(jì)算P(A)與40結(jié)果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.2