專題4.10 實數(shù)（分層練習）（提升練）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題4.10實數(shù)（分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)，則實數(shù)的倒數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·福建漳州·八年級校考期中）下列各組數(shù)中，全部都是有理數(shù)的是（

）A．，，B．，，C．，， D．，，3．（2022秋·浙江·七年級期中）下列四個實數(shù)中，為負實數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·四川巴中·九年級?？茧A段練習）已知等腰三角形的兩條邊長為1和，則這個三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．5．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考階段練習）下列計算正確的是（）A． B．C． D．6．（2023春·江西宜春·八年級江西省宜豐中學?？计谥校⒌恼麛?shù)部分記為[]，的小數(shù)部分記為{}，易知（）．若，那么[]等于（

）A． B． C．0 D．17．（2022春·安徽亳州·七年級校考階段練習）已知m是整數(shù)，且，解不等式的解集是，那么的值是（

）．A．7 B．11 C．12 D．138．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學?？家荒＃┤鐖D所示的正五角星的中間是一個正五邊形，與的比值為，與最接近的整數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．39．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期末）下列命題是真命題的是（）A．的值是 B．沒有立方根C．是有理數(shù) D．實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)10．（2023春·浙江·八年級專題練習）已知按照一定規(guī)律排成的一列實數(shù)：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…則按此規(guī)律可推得這一列數(shù)中的第2021個數(shù)應是（

）A． B．﹣ C． D．2021填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023秋·全國·八年級專題練習）若，則

．12．（2023春·湖南長沙·七年級校考期中）如果，其中m，n為有理數(shù)，那么．13．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，將長方形分成四個區(qū)域，其中，兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6，則剩余區(qū)域的面積是．14．（2023春·安徽滁州·七年級?？茧A段練習）有理數(shù)與無理數(shù)之間的運算有著某種規(guī)律性，例如：若a和b是有理數(shù)，，則，，已知m和n是有理數(shù)：（1）若，則的平方根為；（2）若，其中m，n是x的平方根，則x的值為．15．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預測）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，這個數(shù)我們把它叫做黃金分割數(shù)，若介于整數(shù)和之間，則的值是．16．（2023秋·全國·八年級專題練習）小言做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)；；；…；按此規(guī)律，若（，為正整數(shù)），則.17．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學?？寄M預測）定義向下取整記號，其表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)．已知，且，求得的值為．18．（2022春·北京·九年級人大附中?？奸_學考試）對正整數(shù)x依次進行如下計算后得到y(tǒng)，稱為對x進行了1次H運算，若將得到的值y作為x代入后再次進行H運算，稱為對x進行了2次H運算，以此類推．例如，對14進行了1次H運算后，得到的值為3，對14進行了2次H運算后，得到的值為1．（1）若對正整數(shù)x進行了1次H運算后，得到，則x的值為；（2）若對正整數(shù)x進行了3次H運算后，得到，所有滿足條件的x的個數(shù)為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021春·湖北武漢·七年級武漢一初慧泉中學?？茧A段練習）計算．（1）． （2）．20．（8分）（2023秋·陜西寶雞·八年級寶雞市新建路中學校考階段練習）我們知道是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答下列問題：（1）的小數(shù)部分為______；的小數(shù)部分是______．（2）若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根；（3）若，其中x是整數(shù)，且，求的值．21．（10分）（2023春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習）（1）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別為和．①求的值，并求這個正數(shù)；②求的立方根．（2）定義：對于實數(shù)，符號表示不大于的最大整數(shù)．例如：，，．①如果，那么的取值范圍是多少．②如果，求滿足條件的所有正整數(shù)．22．（10分）（2023秋·全國·八年級專題練習）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個邊長為的正方形．23．（10分）（2023秋·山東菏澤·八年級校考開學考試）閱讀材料一般地，若，則叫做以為底的對數(shù)，記作：．比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：；理由如下：設，，則，，∴，由對數(shù)的定義得．又∵，∴．解決問題（1）將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)式__________；（2）證明；拓展運用（3）計算：．24．（12分）（2022秋·八年級課時練習）如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，點P從A點開始沿射線AB方向運動，點Q從點C開始沿射線BC方向運動，P、Q兩點運動速度均為1厘米/秒，兩點同時運動．（1）在P、Q兩點運動過程中，請問∠PDQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；（2）當點P在線段AB上運動時（如圖1），請求出四邊形PDQB的而積；（3）如圖2，P點運動到AB延長線上，設DP與線段BC的交點為E．①當P、Q運動了多少秒時，S△CDE=S△BPE．②當P、Q運動了多少秒時，第①小問中兩個三角形的面積差為（3﹣）平方厘米．參考答案1．B【分析】先將絕對值化簡，再求倒數(shù)即可．解：，2024的倒數(shù)為，故選：B．【點撥】本題考查求有理數(shù)的絕對值，倒數(shù)，解題關鍵是掌握乘積等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．2．C【分析】把每個選項中的數(shù)字進行逐一判斷是不是有理數(shù)，根據(jù)判斷結果，得出正確答案．解：A．∵，都是整數(shù)，屬于有理數(shù)，是無理數(shù)，此選項不符合題意；B．∵是無理數(shù)，，是有理數(shù)，此選項不符合題意；C．∵，，都是有理數(shù)，此選項符合題意；D．∵，是無理數(shù)，是有理數(shù)，此選項不符合題意；故選：C．【點撥】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根，實數(shù)的分類，有理數(shù)，解題的關鍵是了解實數(shù)的分類．3．B【分析】將各數(shù)分別化簡即可判斷．解：，∴為負實數(shù)的是，故選：B．【點撥】此題考查了實數(shù)的化簡：計算相反數(shù)，求絕對值，求一個數(shù)的算術平方根，正確掌握各計算化簡法則是解題的關鍵．4．B【分析】分1是腰長和底邊長兩種情況討論求解．解：1是腰時，三角形的三邊分別為1、1、，∵，∴此時不能組成三角形；1是底邊時，三角形的三邊分別為1、、，能夠組成三角形，周長為，綜上所述，這個三角形的周長為．故選：B．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，等腰三角形的定義，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關系判定是否能夠組成三角形．5．B【分析】根據(jù)立方根、算術平方根的定義，完全平方公式，實數(shù)的運算進行計算即可求解．解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項正確，符合題意；

C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了立方根、算術平方根的定義，完全平方公式，實數(shù)的運算，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．6．B【分析】首先將平方，可得；又由，可得，開平方求出x后即可求得的值．解：，，又，，，．故選：B．【點撥】此題考查了二次根式的混合運算，以及實數(shù)的大小比較與實數(shù)的平方運算，涉及到了完全平方公式和平方差公式等知識．此題難度不大，解題時要細心．7．B【分析】先利用夾逼法得到，再通過解不等式可得，從而可得答案.解：∵，m是整數(shù)，∴，∴，∵，∴，解得：，∵不等式的解集是，∴，解得：，∴；故選B【點撥】本題考查的是無理數(shù)的估算，不等式的解法，掌握無理數(shù)的估算方法、夾逼法、與解一元一次不等式的步驟是解本題的關鍵.8．B【分析】根據(jù)無理數(shù)大小的估算，結合不等式性質(zhì)直接求解即可得到答案．解：，，即，，，從而確定與最接近的整數(shù)為，故選：B．【點撥】本題考查無理數(shù)估算，熟練掌握二次根式性質(zhì)及不等式的性質(zhì)得到的范圍是解決問題的關鍵．9．C【分析】根據(jù)求一個數(shù)的立方根及算術平方根，有理數(shù)及實數(shù)的分類，即可一一判定．解：A.的值是，故該命題是假命題，不符合題意；B.的立方根是，故該命題是假命題，不符合題意；C.是有理數(shù)，故該命題是真命題，符合題意；D.實數(shù)分為正實數(shù)、零和負實數(shù)，故該命題是假命題，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了判斷命題的真假，求一個數(shù)的立方根及算術平方根，有理數(shù)及實數(shù)的分類，熟練掌握和運用各基本知識是解決本題的關鍵．10．A【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而可以得到這一列數(shù)中的第2021個數(shù)．解：∵一列實數(shù)：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，∴每三個數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點一樣，依次是這個數(shù)的負的算術平方根、算術平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴這一列數(shù)中的第2021個數(shù)應是，故選：A．【點撥】此題主要考查實數(shù)的規(guī)律探索，解題的關鍵是根據(jù)已知的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．11．2【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出、的值，代入所求代數(shù)式計算即可．解：解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關鍵．12．5【分析】根據(jù)有理數(shù)的意義列出方程組，再求解．解：由題意得：，解得：，，故答案為：5．【點撥】本題考查了實數(shù)是運算，理解有理數(shù)是意義是解題的關鍵．13．-1.【分析】由A、B兩正方形的面積得出相應邊長，再根據(jù)圖形計算出剩余部分面積.解：∵，兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6，則，兩正方形區(qū)域的邊長分別是1和，則剩余區(qū)域的面積為：（1+）×-1-6=-1.故答案為：-1.【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算的應用，解題的關鍵是讀懂圖形.14．4【分析】（1）根據(jù)題意可得，，從而可得，，然后代入式子中，進行計算即可解答；（2）根據(jù)已知易得，從而可得，進而可得：，然后利用平方根的意義，即可解答．解：（1），和是有理數(shù)，，，解得：，，，的平方根為，故答案為：；（2），，，和是有理數(shù)，，解得：，，是的平方根，，故答案為：4．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，平方根，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．15．1【分析】根據(jù)，判斷出的值即可．解：，，，．故答案為：．【點撥】本題考查估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．16．57【分析】找出一系列等式的規(guī)律為（的正整數(shù)），令求出a與b的值，即可求得的值．解：根據(jù)題中的規(guī)律得：（的正整數(shù)），，，則．故答案為：57．【點撥】此題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索，找出題中的規(guī)律：（的正整數(shù)）是解本題的關鍵．17．4【分析】根據(jù)題意可知或，再根據(jù)已知條件得到不等式組，求出，即可得到，由此即可得到答案．解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：4．【點撥】本題主要考查了新定義的實數(shù)運算，解一元一次不等式組，正確理解題意得到是解題的關鍵．18．1或2或3255【分析】（1）根據(jù)題意得到不超過的最大整數(shù)為1即可求解；（2）根據(jù)題意規(guī)律找出1次H運算后輸出是1的最大整數(shù)x=3，2次H運算后輸出是1的最大整數(shù)為15，3次H運算后輸出是1的最大整數(shù)即為152-1=255．解：（1）由題意可知，正整數(shù)x的算術平方根為，∵不超過的最大整數(shù)為1，∴x=1或2或3．（2）進行1次H運算后輸出是1的最大整數(shù)x=3，進行2次H運算后輸出是1可以看成是：第1次H運算后輸出最大值為3，第2次H運算后輸出的一定是1，∴進行2次H運算后最后輸出為1的最大整數(shù)x=15，同理：進行3次H運算后輸出是1可以看成是：第1次H運算后輸出最大值為15，第2次H運算后輸出的最大值是3，最后1次H運算輸出的值就一定是1，∴此時最大整數(shù)為162-1=255，∴所有滿足條件的x的個數(shù)為255個，故答案為：255．【點撥】本題考查了實數(shù)的新定義及算術平方根的概念，讀懂題意是解題的關鍵．19．（1）；（2）1【分析】（1）先將算術平方根和立方根化簡，再進行計算即可．（2）先將絕對值化簡，再進行計算即可．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)混合運算的運算順序和運算法則，以及算術平方根、立方根、絕對值的化簡方法．20．（1），；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)算術平方根的定義，估算無理數(shù)，的大小，進而確定它們的整數(shù)部分、小數(shù)部分即可；（2）根據(jù)算術平方根的定義，估算無理數(shù)，的大小，進而確定它們的整數(shù)部分、小數(shù)部分，即確定、的值，再代入計算出的值，最后求其平方根即可；（3）估算無理數(shù)的值，確定、的值，代入計算的值即可．解：（1），的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分為，，，，的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分為，故答案為：，；（2），即，的整數(shù)部分，又，的整數(shù)部分為1，的小數(shù)部分，，的平方根為；（3），，又，其中是整數(shù)，且，，，，答：的值為．【點撥】本題考查平方根、算術平方根以及估算無理數(shù)的大小，理解算術平方根、平方根的定義是正確解答的前提，確定、、、的值是得出正確答案的關鍵．21．（1）①2，②；（2）①，②5，6【分析】（1）①利用平方根的定義另，求解即可；②將a代入，在根據(jù)立方根定義求立方根即可；（2）①根據(jù)新定義求解的取值即可；②根據(jù)新定義列出不等式，求解即可．（1）解：①一個正數(shù)的兩個平方根分別為和，，解得：；②，，，的立方根是；（2）解：①表示不大于的最大整數(shù)，且，，②，，解得：，滿足條件的所有正整數(shù)有：5，6．【點撥】本題考查了平方根和立方根的概念和新定義運算．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的立方根是正數(shù)，一個負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0是解題的關鍵．22．（1）10；（2）見分析【分析】（1）用大正方形的面積減去四個小三角形的面積即可得出陰影部分面積；（2）邊長為的正方形，則面積為，則每個三角形的面積為，據(jù)此作圖即可．解：（1），故答案為：10；（2）邊長為的正方形，則面積為，則每個三角形的面積為，則作圖如下：.【點撥】本題主要考查了作圖-應用與設計作圖，解決本題的關鍵是利用網(wǎng)格求出周圍四個小三角形的邊長．23．（1）；（2）見分析；（3）1【分析】（1）根據(jù)新定義公式計算即可．（2）仿照乘法的證明去解答即可．（3）根據(jù)公式依次計算即可．解：（1）根據(jù)題意，得，故答案為：．（2）設，，則，，∴，由對數(shù)的定義得．又∵，∴．（3）．【點撥】本題考查了新定義運算，正確理解新運算法則是解題的關鍵．24．（1）∠PDQ的大小不發(fā)生變化，總等于∠ADC；（2）四邊形PDQB的而積為12平方厘米；（3）①P、Q運動了6秒時，S△CDE=S△BPE；②當秒或秒時，S△BPE與S△CDE的差為（3﹣）平方厘米．【分析】（1）根據(jù)SAS證DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC；（2）求出四邊形PDQB的面積=四邊形ABCD的面積，求出四邊形ABCD的面積即可；（2）①S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，根據(jù)三角形面積公式得出方程，求出方程的解即可；②得出S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，根據(jù)三角形面積公式得出方程，求出方程的解即可．解：（1）∠PDQ的大小不發(fā)生變化，理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=9