第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第6節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知

識

梳

理1.對數(shù)的概念

一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作____________，即b＝________(a>0，且a≠1)．其中，數(shù)____叫做對數(shù)的底數(shù)，____叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”．x＝logaNx＝logaNaNNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：__________值域：________當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)___________當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是___________在(0，＋∞)上是__________(0，＋∞)R(1，0)增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)

(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對稱.y＝logaxy＝x診

斷

自

測解析

(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)錯.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)為對數(shù)函數(shù)，故(2)錯.(4)當(dāng)x＞1時(shí)，logax＞logbx，但a與b的大小不確定，故(4)錯.答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×答案D3.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是(

) A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1 C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1.又當(dāng)x＝0時(shí)，y>0，即logac>0，所以0<c<1.答案D4.(2017·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則(

) A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增 B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減 C.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 D.y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱

解析

由題意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤.

答案

C考點(diǎn)一對數(shù)的運(yùn)算(2)(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(

)A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z(2)令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.∴2x>3y.∴2x<5z，∴3y<2x<5z.答案

(1)－20

(2)D規(guī)律方法

1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，解得b＝2，a＝4.(2)因?yàn)?<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.答案

(1)4

2

(2)A考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】

(1)(2018·鄭州一模)若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(

)解析(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對稱.因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B.(2)

如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上截距.由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點(diǎn).答案(1)B

(2)(1，＋∞)規(guī)律方法

1.在識別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓(xùn)練2】(1)(2018·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是(

) A.0<a－1<b<1 B.0<b<a－1<1 C.0<b－1<a<1 D.0<a－1<b－1<1 (2)函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為(

) A.3

B.2

C.1

D.0解析

(1)由函數(shù)圖象可知，f(x)在R上單調(diào)遞增，又y＝2x＋b－1在R上單調(diào)遞增，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1<logab<0，即logaa－1<logab<loga1，所以，a－1<b<1.綜上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)＝2lnx與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的圖象，如圖所示.∵f(2)＝2ln2>g(2)＝1，∴f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為2.答案

(1)A

(2)B考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)命題角度1比較對數(shù)值的大小【例3－1】

(2016·全國Ⅰ卷)若a>b>0，0<c<1，則(

) A.logac<logbc

B.logca<logcb C.ac<bc

D.ca>cb

解析

由y＝xc與y＝cx的單調(diào)性知，C，D不正確；

∵y＝logcx是減函數(shù)，得logca<logcb，B正確；∵0＜c＜1，∴l(xiāng)gc＜0.又a＞b＞0，∴l(xiāng)ga＞lgb，但不能確定lga，lgb的正負(fù)，∴l(xiāng)ogac與logbc的大小不能確定.答案B命題角度2解對數(shù)不等式解析由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，答案C命題角度3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3－3】

已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax). (1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.

解

(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，

則t(x)＝3－ax為減函數(shù)， x∈[0，2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，

當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)恒有意義，

即x∈[0，2]時(shí)，3－ax>0恒成立.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1，x∈[1，2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.規(guī)律方法

1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯誤.3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不