與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)相關(guān)的應(yīng)用技巧（解析版）

與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)相關(guān)的應(yīng)用技巧對數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，在高考命題中經(jīng)常涉及到，因為這部分和初中的學(xué)生知識不銜接，初中完全沒有涉及到這部分內(nèi)容，而后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容和這部分關(guān)系不大，因而容易被遺忘，所以一些規(guī)律性知識，需要要求學(xué)生積累和背誦，同時需要加強重點題型、常規(guī)題型、熱點題型的強化訓(xùn)練，本部分從對數(shù)式的運算、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與運用這幾個方面進行探討。題型一對數(shù)式的運算例1（1）（2023上·天津薊州第一中學(xué)?？迹?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得.【解析】，故選C。（2）（2023四川宜賓統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．8 B．9 C．22 D．26【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)分別計算出，即可求解.【解析】,因為，所以,所以.故選.（3）（2023上云南大理下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校儆嬎悖?；②已知，求的值．【解析】①．②因為，所以，所以，所以．【規(guī)律總結(jié)】解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．【跟蹤訓(xùn)練】1.（2023上·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【解析】由題意得，故選C。2.（多選題）（2023上·遼寧大連·高三育明高中?？计谥校┮阎?，則、滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化可得出，，利用換底公式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷A選項；利用基本不等式可判斷BCD選項.【解析】因為，則，，對于A選項，，A對；對于B選項，由A選項可知，，則，即，B對；對于C選項，，，所以，，C對；對于D選項，，D錯；故選ABC.3.（2023上·安徽合肥第十中學(xué)校聯(lián)考期中）計算.【答案】50【解析】.4.計算.【解析】原式題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2（1）（2023上山東濰坊統(tǒng)考）已知函數(shù)圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象頂點的橫坐標的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則，則得到頂點橫坐標范圍.【解析】令，其中，則，由圖知，則的頂點橫坐標為，故選B.（2）（2024山東濟南高一開學(xué)考試）當時，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由可知，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的單調(diào)性即可判斷得結(jié)果.【解析】依題意可將指數(shù)函數(shù)化為，由可知；由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞減，且過定點，即可排除BC，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，且過定點，排除D，故選A。（3）（2023下·山東煙臺統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除CD選項；進而取特殊值和排除B選項，求解.【解析】由，得，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD選項；當時，函數(shù)，當時，函數(shù)，故排除B選項.故選A.【規(guī)律總結(jié)】對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【跟蹤訓(xùn)練】5.（2024陜西安康校聯(lián)考）函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一：因為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；當時，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；又，所以排除A.故選D.6．（2024四川成都石室中學(xué)?？迹┖瘮?shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，再利用特殊值，即可利用排除法判斷.【解析】函數(shù)定義域為，，所以是非奇非偶函數(shù)，排除A、B，函數(shù)的零點是，當時，，排除D．故選C．7.（多選題）（2023·河南信陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【分析】易得函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，且過定點，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項.故選BCD.8．（多選題）（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，函數(shù)與的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【分析】首先由得出，再分類討論和的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像得答案．【解析】因為，即，所以，當時，則，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過點；對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增且過點，將的圖像關(guān)于軸對稱得到的圖像，則在上單調(diào)遞減且過點，故A符合題意；當時，，同理可得，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且過點，在上單調(diào)遞增且過點，故B符合題意；故選AB．題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點1比較對數(shù)式的大小例3（1）（2023上·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)利用1比較，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)比較與0比較.【解析】因為，，而，故，所以，故選C（2）（2023上北京順義?？迹┮阎?，，，比較a，b，c的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)和的單調(diào)性，分別比較a、b與c的大小關(guān)系即可.【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以；又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上.故選C（3）（2023上·陜西西安·高三長安一中?？计谥校┮阎婧瘮?shù)在R上是增函數(shù)，．若，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得在上單調(diào)遞增，判斷的大小關(guān)系得的大小關(guān)系.【解析】由為奇函數(shù)知在上單調(diào)遞增且，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，且.又，，，因為，所以，因為，所以，所以，所以【跟蹤訓(xùn)練】9.（2023上·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考期中）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【解析】因為，所以，因為，所以，因，且，所以，所以，故選C.10.（2023上·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？迹┮阎?，，．則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)判斷即可.【解析】∵，∴，又，∴，∴．故選B．11．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的單調(diào)性即可與中間值比較作答.【解析】由可得，得，故，故選D12.（2023上·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學(xué)?？迹┤?，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】等價變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，由此可得，再判斷選項即得.【解析】由，得，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，即，則，于是，A正確，B錯誤；由，顯然當時，，CD錯誤.故選A。命題點2解對數(shù)方程、不等式例4（1）（2019上·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學(xué)?？迹┮阎銥檎龜?shù)，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分兩種情況分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解析】當時，是減函數(shù)，，則，解得；當時，是增函數(shù)，，則，解得，又，所以；綜上取值范圍是.故選A（2）（2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的最大整數(shù)值．【分析】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，利用求的值；（2）設(shè)，依題意有，求函數(shù)最小值，可得實數(shù)的最大整數(shù)值．【解析】（1）函數(shù)定義域為R，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，即，則有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，則，設(shè)，依題意有，由基本不等式，，當且僅當，即時等號成立，令，則，有，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則有，得，所以實數(shù)的最大整數(shù)值為5.【跟蹤訓(xùn)練】13.（2023上·遼寧本溪·高一?？计谀┤舨坏仁剑?，且）在內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出時，不成立，當時，畫出，的圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)a的取值范圍.【解析】若，此時，，而，故無解；若，此時，，而，令，，畫出兩函數(shù)圖象，如下：故要想在內(nèi)恒成立，則要，解得：.故選B.14.已知函數(shù)(a>0，且a≠1)，若在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】當a＞1時，f（x）＞1等價于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；當0＜a＜1時，f（x）＞1等價于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．【解析】當a＞1時，f（x）＞1等價于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=，∴1＜a＜；當0＜a＜1時，f（x）＞1等價于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4（舍去），綜上，a的取值范圍是（1，）．15.（2023上·浙江臺州·高一臺州市書生中學(xué)?？迹┰O(shè)（1）求使的x的取值范圍；（2）若對于區(qū)間上的每一個x的值，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對數(shù)不等式；（2）由題可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，判斷其單調(diào)性求解最小值.【解析】（1），可化為，，，的x的取值范圍為；（2）不等式恒成立等價于恒成立，也即恒成立，令，即可，因為函數(shù)遞減，函數(shù)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)單調(diào)遞增，又因為函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值，.命題點3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例5（1）（2023上·陜西榆林·高三?？迹┖瘮?shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求具體函數(shù)的定義域，須使函數(shù)有意義，即使分式的分母不為零，偶次根式的被開方式為非負數(shù)，對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，再把對應(yīng)的自變量范圍求交集即得.【解析】要使函數(shù)有意義，須使，解得：,故函數(shù)的定義域為.故選B.（2）（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【解析】的定義域是，令，其在定義域上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.故選A.（3）（多選題）（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱C．函數(shù)在上是增函數(shù) D．函數(shù)的值域為【答案】ACD【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)將函數(shù)解析式化簡為，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB選項；利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，可判斷D選項.【解析】因為，對于A選項，對任意的，，則函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，A對B錯；對于C選項，任取、且，即，則，，則，所以，即，所以，，故函數(shù)在上是增函數(shù)，C對；對于D選項，因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，故函數(shù)的值域為，D對.故選ACD.【跟蹤訓(xùn)練】16.（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，設(shè)，，計算得到答案.【解析】，設(shè)，則，故函數(shù)的值域為.故選C17.（2023上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的對稱性，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合對稱性即可求解，注意最后的范圍要考慮定義域..【解析】由得的定義域為，因為，，所以，所以的圖象關(guān)于對稱.記，當時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易知單調(diào)遞增，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，綜上，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對稱，由此可知，要使，必有，兩邊平方整理得，解得，又，得或，所以的解集為.故選B.18.（2023上·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求的定義域及值域；(2)若，求的取值范圍.【分析】（1）令真數(shù)大于0解不等式即可得到的定義域，將函數(shù)表達式變形結(jié)合不等式性質(zhì)得到的值域.（2）將不等式轉(zhuǎn)換為，發(fā)現(xiàn)在單調(diào)遞減，故只需.【解析】（1）令，即，解得.故的定義域為.，因為，所以，所以，故的值域為.（2）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.，即.令函數(shù)，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)減.，則.故的取值范圍是.【規(guī)律總結(jié)】求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．【針對性訓(xùn)練】1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作商結(jié)合基本不等式可判斷，由條件，可得，取對數(shù)可判斷，得解.【解析】因為，又因為，所．因為，即，所以．綜上，．故選：A.2．（2023上湖南長沙長郡中學(xué)?？迹┮阎瑒t下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用1作為中間量，判斷b、c的大小，利用換底公式判斷a、b的大小.【解析】因為，即．故選B．3．（2023上江蘇常州高一校聯(lián)考期中）我們知道，任何一個正實數(shù)可以表示成，此時．當時，是位數(shù)．已知，則的位數(shù)是（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【分析】依題意可得即可判斷.【解析】因為，所以，所以是位數(shù)．故選C．4.（2023上·重慶永川·高三重慶市永川萱花中學(xué)校?？计谥校┸髯印秳駥W(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的3倍，大約經(jīng)過（

）天．（參考數(shù)據(jù)：）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】D【分析】根據(jù)已知列方程，然后取對數(shù)求解．【解析】設(shè)經(jīng)過天“進步”的值是“退步”的值的3倍，則，兩邊取對數(shù)得，∴，，故選：D．5．（2023上·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，且，則（

）A． B．10 C．100 D．1000【答案】C【分析】利用指數(shù)與對數(shù)運算法則可得，再由換底公式即可得，計算可得.【解析】根據(jù)題意由可得，所以，即可得，即.故選：C6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞減，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較自變量大小，可得解.【解析】由題可知，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，又，且，即；且，即，由函數(shù)的對稱性知，又，故，即，故選D.7．（2023上·甘肅天水·高三校聯(lián)考）數(shù)學(xué)中符號眾多，十六世紀中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠，現(xiàn)有實數(shù)和，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性舉出反例，可判斷各選項.【解析】A選項，當，時，滿足，此時，A選項錯誤；B選項：當，時，，，，B選項錯誤；C選項：當時，，又在上單調(diào)遞增，所以，C選項正確；D選項：當，時，滿足，此時，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，D選項錯誤；故選C.8．（2023上·新疆克孜勒蘇統(tǒng)考期中）函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】變換，確定函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定在上單調(diào)遞增，得到大小關(guān)系.【解析】，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，，，故.故選D.9．（多選題）（2023下·山東濱州校考）對數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【分析】AB選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，推出，再判斷二次函數(shù)，從開口方向和其中一根與1的比較，得到A可能，B不可能；CD選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，得到，再判斷二次函數(shù)，也是從開口方向和其中一根與1的比較，得到CD均不可能.【解析】選項A，B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項系數(shù)，其對應(yīng)方程的兩個根為0，，選項A中，由圖象得，從而，選項A可能；選項B中，由圖象得，與相矛盾，選項B不可能．選項C，D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；選項C中，由圖象與x軸的交點的位置得，與相矛盾，選項C不可能．故選BCD．10．（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期中）若，，，則的最小值為．【答案】8【分析】由對數(shù)運算法則變形，然后利用基本不等式得最小值．【解析】由已知，∴，，當且僅當時取等號，所以，從而，即的最小值是8.故答案為：8.11．（2023上·北京海淀?？迹┰O(shè)函數(shù)的定義域為，如果對任意，都存在唯一的，使得（為常數(shù)）成立，那么稱函數(shù)在上具有性質(zhì)．現(xiàn)有函數(shù)：①；②；③；④．其中，在其定義域上具有性質(zhì)的函數(shù)的是．（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗邸痉治觥扛鶕?jù)性質(zhì)的函數(shù)定義，列出方程可以解出關(guān)于表達式且情況唯一的選項是①和③，而②和④通過解方程發(fā)現(xiàn)不符合這個定義，從而可以判斷正確答案.【解析】①的定義域為R，取任意，則，解得，可以得到唯一的，所以函數(shù)在R上具有性質(zhì)；②的定義域為R，值域為，且在R上單調(diào)遞增，若，，，要使成立，則，所以不存在滿足條件的，故②錯；③的定義域為，值域為R，且在上單調(diào)遞增，對于任意，顯然必存在唯一的使得成立，所以函數(shù)在上具有性質(zhì)；④為周期函數(shù)，定義域為，值域為R，對任意，存在無窮多個使得成立，故不滿足條件，故④錯.故答案為①③.12．（2023上·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)常數(shù)且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，最小值為0，則實數(shù).【答案】2【分析】通過對與分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值與最小值，進而求解.【解析】當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，無解，故答案為2。13.（2023上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知集合，．(1)求；(2)若是奇函數(shù)，當時，求的值域．【分析】（1）解集合中的不等式，得到這兩個集合后求交集即可；（2）由函數(shù)為奇函數(shù)求出的值，利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合定義域求值域.【解析】（1）不等式解得，得，函數(shù)，當時，值域為，得，所以；（2）由在處有定義，且是奇函數(shù)，則有，解得，此時，函數(shù)定義域為R，，即，滿足.在上單調(diào)遞增，且，∴當時，的值域為．14.（2021上·山西呂梁·高一校聯(lián)考）已知函數(shù).(1)當時，解關(guān)于的不等式；(2)設(shè)，若對任意的，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域，解對數(shù)不等式求得不等式的解集.（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1列不等式，結(jié)合分離常數(shù)法來求得的取值范圍.【解析】（1）當時，不等式可化為，有，有，解得，故不等式，的解集為.（2）當，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，有，有，有有，整理為，由對任意的恒成立，必有解得，又由，可得，由上知實數(shù)的取值范圍為.15．（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）求函數(shù)的值域，即可求的取值范圍.【解析】（1）當時，，則，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故，當時，，符合上式，綜上，所以的解析式為.（2）當時，，因為，所以，所以，所以，由對稱性可知，當時，，當時，，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是．【拓展提升練】16.（2023下·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？计谀┖瘮?shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及特殊值判斷即可.【解析】由已知得函數(shù)的定義域為，因為

，所以為奇函數(shù)，令，則，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故選.17.（2017下·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函數(shù)的最大值，結(jié)合已知條件可得出，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【解析】，當時，；當時，，所以，.若對任意的，不等式恒成立，則，所以，，解得.故實數(shù)的取值范圍是.故選B.【規(guī)律總結(jié)】利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.18.（2021上·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域為，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求得，把不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解.【解析】由題意，函數(shù)的值域為，可得函數(shù)的最大值為，當時，函數(shù)顯然不存在最大值；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)有最大值，即，解得；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以