【高中數(shù)學】函數(shù)的單調(diào)性第1課時課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）

在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大（?。┲档刃再|(zhì)．在本章前兩節(jié)中，我們學習了導數(shù)的概念和運算，知道導數(shù)是關于瞬時變化率的數(shù)學表達，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化．能否利用導數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢？本節(jié)課我們首先來討論函數(shù)的單調(diào)性．復習引入⑴如果在區(qū)間I上，自變量增大函數(shù)值也增大，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；⑵如果函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間I上是從左到右上升的，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；⑶如果任意x1，x2∈I，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；⑷如果任意x1，x2∈I，都有

，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；問題：我們已經(jīng)學習過函數(shù)的單調(diào)性，你能從數(shù)、形、定義等不同的角度描述一下函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增嗎？

追問：如果函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間I上是從左到右上升的，且x0∈I，那么我們說函數(shù)f(x)在x=x0處是單調(diào)遞增的，這種說法對嗎？函數(shù)的單調(diào)性不是函數(shù)在某個點處的性質(zhì)，而是在一定范圍內(nèi)的性質(zhì)．

思考：如果函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間I上是從左到右上升的，并且處處有切線，那么這些切線有什么共同特征？所有切線也是從左到右上升的．

思考1:圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象.thaOb(1)thaOb(2)你能從這兩個圖形中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)的正負有什么關系嗎?觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):在(0,a)內(nèi)，h(t)單調(diào)遞增，相應地，v(t)=h'(t)>0；在(a,b)內(nèi)，h(t)單調(diào)遞減，相應地，v(t)=h‘(t)<0.學習新知思考2:我們看到，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢?追問1：對于高臺跳水問題，是否有下列結論？

當t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)在(0,a)內(nèi)單調(diào)遞增；

當t∈(a,b)時，h‘(t)<0，函數(shù)h(t)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.thaOb(1)thaOb(2)追問2：在高臺跳水問題中，我們看到可以用函數(shù)導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性，這種做法是否具有一般性呢?探究：觀察下列函數(shù)圖象，思考函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)正負的關系.xyOxyOxyOxyO追問:能否從導數(shù)的幾何意義的角度來探討導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))如圖所示，導數(shù)f

'(x0)表示函數(shù)y=f

(x)的圖象在點(x0,f

(x0))處的切線的斜率，可以發(fā)現(xiàn):在x=x0處，f'(x0)>0，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)f(x)的圖象也是上升的，函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞增；在x=x1處，f'(x1)<0，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)f(x)的圖象也是下降的，函數(shù)f(x)在x=x1附近單調(diào)遞減.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系：一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導函數(shù)f'(x)的正負之間具有如下的關系:在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.追問1:

如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).追問2:存在有限個點使得f'(x)=0,其余點都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f(x)仍為增函數(shù).例如:對于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當x=0時，y′=0，當x>0時，y′>0，

而函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增.xyO解：（1）因為f(x)=x3+3x，其定義域為R.xyO(1)xyO(2)π-π注意定義域xyO(3)11能否歸納用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟？歸納提升用解不等式法求單調(diào)區(qū)間的步驟

（1）確定函數(shù)f(x)的定義域；

（2）求導函數(shù)f′(x)；

（3）解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，并寫出解集；

（4）根據(jù)（3）的結果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．鞏固練習例2.已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.

解:

當1<x<4時,

可知f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增;

當x>4,或x<1時,

可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

綜上,函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14當x=4,或x=1時,這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”.解：xyOabcxyOabc課本P87跟蹤練習⑴利用單調(diào)性的定義可以發(fā)現(xiàn)，很難判斷f(x)

單調(diào)性.分析：⑵利用平均變化率這一方法看似自然，心里卻“沒底”．⑶利用導數(shù)求解比較這三種方法，你有什么感受？思考:請同學們回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義，并思考在區(qū)間（a,b）上單調(diào)的函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義與與

f

'(x)的正負的關系．函數(shù)

y=f(x)在給定區(qū)間

I

上，當x1、x2∈I，且x1＜x

2時（1）都有f(x1)＜f(x2)，則

f(x)在I

上是增函數(shù)；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，則f(x)在I

上是減函數(shù).還可用平均變化率來表示函數(shù)的單調(diào)性的定義（1）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增;（2）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.abxoyAB

?x1、x2∈（a,b）,經(jīng)過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線AB的斜率就是平均變化率

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上的導數(shù)f

'(x)為正,

直觀上，能找到一點T(x0，f(x0))，使函數(shù)

f(x)的圖像在點T處的切線與直線AB平行，即

T從而函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增.用此方法同樣可以說明函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞減.結論：利用導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性，與函數(shù)單調(diào)性定義是一致的。思考:請同學們回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義，并思考在區(qū)間（a,b）上單調(diào)的函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義與與

f

'(x)的正負的關系．(1)求函數(shù)的定義域；(2)