等差數(shù)列前N項(xiàng)和

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式固原二中數(shù)學(xué)備課組復(fù)習(xí)回顧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

已知首項(xiàng)a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d

已知第m項(xiàng)am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq高斯“神述求和”問題高斯十歲時(shí)，有一次老師出了一道題目，老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050．”

你知道高斯是怎樣計(jì)算的嗎？

1+2+3+……+100=？高斯的算法是：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和:第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:

于是所求的和是：101×=5050……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101

高斯的算法實(shí)際上法解決了等差數(shù)列：1，2，3····，n，···的前n項(xiàng)和問題問題1：若第一個(gè)袋子里有一個(gè)小球，后一個(gè)袋子比前一個(gè)袋子多一個(gè)，則前51個(gè)袋子里一共有多少個(gè)小球？原式=（1+2+3+……+50）+51原式=0+1+2+3+……+50+51原式=（1+2+…25+27+…+51）+26探究等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式問題2：前n個(gè)袋子里有多少個(gè)小球?相當(dāng)于算1+2+3+……+n=? n為偶數(shù)會怎樣?那么n為奇數(shù)呢？探究等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式探究發(fā)現(xiàn)圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和的辦法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21的等差中項(xiàng)。通過前后比較得出認(rèn)識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和。有無簡單的方法？探究發(fā)現(xiàn)借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形.有什么發(fā)現(xiàn)?探究發(fā)現(xiàn)第一行1+21個(gè)第二行1+21個(gè)…獲得算法：探究發(fā)現(xiàn)

問題2現(xiàn)在會解嗎?

令1+2+3+……+n=S

則n+(n-1)+……+1=S等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)…，…，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其它形式應(yīng)用示例

例1一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為答：V形架上共放著7260支鉛筆.應(yīng)用示例例2.求自然數(shù)中前n個(gè)數(shù)的和.例3