數(shù)學選修2-3-1.2排列(優(yōu)限法、捆綁法、插空法)的運用

1、⑴7位同學站成一排,共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列A77＝5040⑵7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列A66=720⑶7位同學站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個位置之一有A61種，其余6人全排列有A66

種，共有A61A66=4320。解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列，有A66

，共有A61A66=4320。解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。第一頁第二頁，共9頁。解題示范現(xiàn)有7位同學站成一排．⑴甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A22種；第二步余下的5名同學進行全排列有A55種則共有A22A55=240種排列方法.①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲

abcde

ebdcaA55A55A22A22第二頁第三頁，共9頁。⑵甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有A52種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有A55種方法，所以一共有A52A55

＝2400種排列方法．歸結(jié)(1)：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。優(yōu)限法第三頁第四頁，共9頁。

⑶甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有A66種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A66A22

＝1440種．拓展：①甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有A55A33

＝720種．解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有A52種方法；將剩下的4個元素進行全排列有A44種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有A22種方法.則這樣的排法一共有A52A44A22

＝960種方法．②甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？第四頁第五頁，共9頁。解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2A55種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有(A66-2A55)A22=960種方法．

歸結(jié)2：對于相鄰問題,常用“捆綁法”(先捆后松).解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有A41種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有A55種方法，最后將甲、乙兩同學“松綁”，所以這樣的排法一共有A41A55A22

＝960種方法．捆綁法第五頁第六頁，共9頁。⑷甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）A77-A66

A22=3600解法二：（插空法）先將其余五個同學排好有A55種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有A62種方法.cbade則共有A55

A62=3600種方法．乙甲第六頁第七頁，共9頁。拓展：③甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個同學排好有A44種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有A53