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1、⑴7位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法?解:?jiǎn)栴}可以看作:7個(gè)元素的全排列A77=5040⑵7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法?解:?jiǎn)栴}可以看作:余下的6個(gè)元素的全排列A66=720⑶7位同學(xué)站成一排,其中甲不站在首位,共有多少種不同的排法?解一:甲站其余六個(gè)位置之一有A61種,其余6人全排列有A66
種,共有A61A66=4320。解二:從其他6人中先選出一人站首位,有A61,剩下6人(含甲)全排列,有A66
,共有A61A66=4320。解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。第一頁第二頁,共9頁。解題示范現(xiàn)有7位同學(xué)站成一排.⑴甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:第一步甲、乙站在兩端有A22種;第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種則共有A22A55=240種排列方法.①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲
abcde
ebdcaA55A55A22A22第二頁第三頁,共9頁。⑵甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?解:第一步從(除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法;第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有A55種方法,所以一共有A52A55
=2400種排列方法.歸結(jié)(1):對(duì)于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題,通常是先排特殊元素或特殊位置,稱為優(yōu)先處理特殊元素(位置)法(優(yōu)限法)。優(yōu)限法第三頁第四頁,共9頁。
⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種?解:先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素(同學(xué))一起進(jìn)行全排列有A66種方法;再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A22種方法.所以這樣的排法一共有A66A22
=1440種.拓展:①甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種?解:方法同上,一共有A55A33
=720種.解法一:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有A52種方法;將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有A44種方法;最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A22種方法.則這樣的排法一共有A52A44A22
=960種方法.②甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種?第四頁第五頁,共9頁。解法二:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,若丙站在排頭或排尾有2A55種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有(A66-2A55)A22=960種方法.
歸結(jié)2:對(duì)于相鄰問題,常用“捆綁法”(先捆后松).解法三:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A41種方法,再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有A55種方法,最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”,所以這樣的排法一共有A41A55A22
=960種方法.捆綁法第五頁第六頁,共9頁。⑷甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種?解法一:(排除法)A77-A66
A22=3600解法二:(插空法)先將其余五個(gè)同學(xué)排好有A55種方法,此時(shí)他們留下六個(gè)位置(就稱為“空”),再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置(空)有A62種方法.cbade則共有A55
A62=3600種方法.乙甲第六頁第七頁,共9頁。拓展:③甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種?
解:先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A44種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)“空”,再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有A53
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