專題17 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（解析版）

專題17圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、知識速覽二、考點(diǎn)速覽知識點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置判斷設(shè)直線方程為，橢圓方程為聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：知識點(diǎn)2直線與雙曲線的位置關(guān)系1、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，（1）當(dāng)，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)；（2）當(dāng)，即，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；注意：直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)時，可能相交或相切.2、直線與雙曲線弦長求法若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，則或（）．（具體同橢圓相同）知識點(diǎn)3直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況相交（有兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)）；相切（有一個公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）.2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn).（2）直線的斜率存在.設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù).①若，則當(dāng)時，直線與拋物線相交，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與拋物線相切，有個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點(diǎn).3、直線與拋物線相交弦長問題（1）一般弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為.=1\*GB3①弦長公式：（為直線的斜率，且）.=2\*GB3②,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①②，得，故，即.=3\*GB3③直線的方程為.（2）焦點(diǎn)弦長如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因為是梯形的中位線，所以，從而有下列結(jié)論；=1\*GB3①以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.=2\*GB3②(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)=3\*GB3③.=4\*GB3④若直線的傾斜角為，則.=5\*GB3⑤，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.=6\*GB3⑥為定值.一、直線與圓錐曲線位置關(guān)系1、直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．2、直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【答案】A【解析】將直線l：變形為l：，由得，于是直線l過定點(diǎn)，而，于是點(diǎn)在橢圓C：內(nèi)部，因此直線l：與橢圓C：相交．故選：A．【典例2】（2023·高三課時練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【答案】A【解析】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．【典例3】（2023·四川成都·高三模擬預(yù)測）已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由和可得，整理得到：，因為直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，故，故，故命題q成立能推出命題p成立；反之，若，取，此時僅有一個實數(shù)根，故此時直線與拋物線僅有一個不同的交點(diǎn)，故命題p成立不能推出命題q成立，故p是q的必要不充分條件，故選：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線與雙曲線，若直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】因為直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)橫坐標(biāo)皆小于，把代入得：，所以有兩個小于的零點(diǎn)，因為，所以，所以，解得，則實數(shù)的范圍為.二、直線與圓錐曲線的弦長問題設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長為．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.【典例2】（2023·四川樂山·高三統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】記，則直線的方程可表示為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，，由已知可得，則，可得，所以，.故選：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.【答案】（1）=1；（2）3【解析】（1）因為直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因為雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有，又因為離心率為2，所以有代入中，可得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對稱，所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.又因為直線斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：，設(shè)，則有，三、求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問題的兩種方法1、特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān)．2、直接推理法：①選擇一個參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點(diǎn)時與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決．【典例1】（2022·江蘇泰州·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求直線的斜率k的取值范圍；（2）若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析；定點(diǎn).【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個定點(diǎn)．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線E上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)的距離與Q到定直線的距離之比為．（1）求曲線E的軌跡方程；（2）斜率為的直線l交曲線E于B，C兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M在x軸下方，直線OM交曲線E于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)D，且滿足（O為原點(diǎn)）．求證：直線l過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)，由題意知，化簡整理得，所以曲線E的軌跡方程為；（2）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立，得，因為有兩個交點(diǎn)，所以，即，所以，，即，因為點(diǎn)M在x軸下方，所以，又，所以，所以直線OM的斜率，則直線OM的直線方程為，將其代入雙曲線E的方程，整理得，所以，將代入直線，解得，又因為，所以有．由，解得，因為，，所以，因此直線l的方程為，故直線l過定點(diǎn)．【典例3】（2022上·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在拋物線上，圓（1）若，為圓上的動點(diǎn)，求線段長度的最小值；（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）1；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，則，當(dāng)，Q為線段與圓的交點(diǎn)時，（2）題意可知，過P點(diǎn)直線與圓相切，則，即，①設(shè)直線為：，則與拋物線C的交點(diǎn)方程可化為：，令，則：，②題意有，①②方程同解，故有，即：，所以直線為：，即，由，解得，直線恒過．四、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1、求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2、求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡變形求得；3、求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡變形即可求得．【典例1】（2023上·四川·南江中學(xué)高三校聯(lián)考階段練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，則，由，得，而，于是，，同理，而，于是，則，，令，而是橢圓上的動點(diǎn)，則，得，于是，所以存在和，使得是定值，且定值為.【典例2】（2023上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上一動點(diǎn)，兩直線，，已知于點(diǎn)，位于第一象限；于點(diǎn)，位于第四象限.若四邊形的面積為2.（1）若動點(diǎn)的軌跡為，求的方程.（2）設(shè)，過點(diǎn)分別作直線，交于點(diǎn)，.若與的傾斜角互補(bǔ)，證明直線的斜率為一定值，并求出這個定值.【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.【解析】（1）設(shè)，依題意得且，即且，設(shè)，則，因為直線的方向向量為，所以，，即，所以，所以四邊形的面積為，即動點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)直線（或），則，聯(lián)立得，整理得，所以，即，所以，同理得，，所以直線的斜率，得證.【典例3】（2023·河北衡水·高三模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).（1）當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時，求的一般方程;（2）設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.【答案】（1）或；（2）證明見解析【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，所以，所以拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為.由，得.依題意，解得且.且.因為弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，即，解得或，所以的一般方程為或.（2）直線的方程為，又，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，.所以.所以，即為定值.五、圓錐曲線中的范圍、最值問題的解題方法（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【典例1】（2022上·江蘇宿遷·如東中學(xué)高三?？计谥校┮阎獮闄E圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)又，由得，，聯(lián)立可得，即，，且，又，則，，代入得，，解得.的取值范圍是.【典例2】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點(diǎn)是，虛軸的一個端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點(diǎn)為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）設(shè)，把代入，得，則，，，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，即當(dāng)時，等號成立，此時滿足，所以面積的最小值為.【典例3】（2023·全國·高三模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，解得，所以，拋物線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、，則，由（1）可得，，又因為直線的方程為，將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，所以，，因為，則，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，故，則，由的中點(diǎn)為，可得，故、、三點(diǎn)共線，則．又由，知，故.故的取值范圍為．六、圓錐曲線中的證明問題1、圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時也會用到反證法．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓過和兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動時，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q（不同于B，A）.證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）依題意，將點(diǎn)和的坐標(biāo)代入橢圓，得，解得，所以橢圓方程為（2）由（1）知，顯然點(diǎn)不在x軸上，設(shè)，，直線斜率分別為，直線的方程為，的方程為，由，消去得，顯然，于是，解得，則，由，消去得，顯然，于是，解得，則，因此，，則，則有為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi).【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）點(diǎn)是拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)、是拋物線上異于、兩點(diǎn)的兩個不同的點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）拋物線：（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：過點(diǎn)作垂因為直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，不妨設(shè)，則，解得或（舍去），所以拋物線的方程為；（2）如圖所示：由（1）知，設(shè)，則直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，聯(lián)立得，解得，則，所以，則直線BC的方程為：，直線AD的方程為：，聯(lián)立得，解得，則，所以，則，所以E，K，G三點(diǎn)共線.七、圓錐曲線中的探索性問題“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出相應(yīng)參數(shù)的方程，倘若相應(yīng)方程有解，則探索的元素存在(或命題成立)，否則不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南開封·通許一中高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)和．（1）求C的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列．在上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在；或或或.【解析】（1）由題意可得，解得，故C的方程為；（2）由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的l方程為，設(shè)，由，得，需滿足，則，所以，故；由于直線的斜率成等比數(shù)列，即，即，故，解得，存在點(diǎn)M，使得四邊形為平行四邊形，理由如下：四邊形為平行四邊形，則,故，又點(diǎn)M在橢圓C上，故，因為，所以，即，當(dāng)，滿足，所以直線l的方程為或或或.【典例2】（2023上·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，證明：直線過定點(diǎn)．（2）已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析;（2）存在，【解析】（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即．聯(lián)立得，由，設(shè)，，則，．因為，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過定點(diǎn)．（2）聯(lián)立得，則且，即，，設(shè)，同理可得．因為直線在的右側(cè)，所以，則，即．所以，即，解得，因為，所以滿足條件的存在，.【典例3】（2023上·重慶·南開中學(xué)高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點(diǎn)在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問是否存在實數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由題可得，解得，所以雙曲線C的方程為；（2）由點(diǎn)在上可得：.聯(lián)立和整理得：，設(shè)，，則有：，，，又由直線交左右兩支各一點(diǎn)可得：，所以，即，所以，又到直線的距離，到直線的距離，所以，所以，所以（），解得，又，其中，，所以，假設(shè)存在實數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，解得，故存在滿足題意.易錯點(diǎn)2忽視直線與雙曲線相交的特殊性點(diǎn)撥：直線與雙曲線的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種。其判定方法有兩種一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，（1）若，直線與雙曲線相交，有兩個交點(diǎn)；若，直線與漸進(jìn)線平行，有一個交點(diǎn)（2）若，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點(diǎn)；（3）若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想【典例1】（2023·重慶·統(tǒng)考高三二模）已知點(diǎn)和雙曲線，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有（）A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條【答案】A【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).若直線的斜率為，則直線的方程為，此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點(diǎn)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.【典例2】（2022·吉林·東北師大附中高三?？寄M預(yù)測）過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有（）條．A．0B．2C．3D．4【答案】D【解析】由雙曲線得其漸近線方程為．①過點(diǎn)且分別與漸近線平行的兩條直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)；②設(shè)過點(diǎn)且與雙曲線相切的直線為，聯(lián)立，化為，得到，解得．則切線分別與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)．綜上可知：過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)的直線共有4條．故選:.易錯點(diǎn)2忽視特殊性誤判直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)撥：在直線與拋物線的位置關(guān)系中存在特殊情況，即直線與拋物線對稱軸平行時只有一個交點(diǎn)。在解題時要注意，不要忘記其特殊性．【典例1】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有（）A．1條B．2條