廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）分層分類匯編-06解答題（提升題）

廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯

編-06解答題（提升題）

一.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

1.（2022?東莞市校級一模）某學(xué)校準(zhǔn)備購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每

個籃球的價格相同），若購買2個足球和3個籃球共需340元，購買5個足球和2個籃球

共需410元.

（1）購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校的實際情況，需購買足球和籃球共96個，并且總費用不超過5720元.問

最多可以購買多少個籃球？

二.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2022?東莞市校級一模）如圖，拋物線頂點坐標(biāo)為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,

交y軸于點B.

（1）求拋物線和直線AB的解析式；

（2）設(shè)點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P,使弘出B面積

最大，若存在，求出P點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

（3）設(shè)點Q（異于C點）是拋物線上的一個動點，是否存在一點。，使S4QAB=SACAB.若

存在，直接寫出。點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.（2022?東莞市校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=9乂2+云+。與x軸的

6

正半軸交于點。，與y軸交于點C,點A在拋物線上，A3_Ly軸于點&ZVIBC繞點2

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE,連接OE.當(dāng)8欠2+取+c<0時，x的取值范圍是-3<x<

65

2.

（1）求該拋物線的解析式;

(2)求證：四邊形O8EO是矩形；

(3)在線段。。上找一點N,過點N作直線機垂直x軸，交0E于點F,連接。F,當(dāng)

△ONF的面積取得最大值時，求點N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線機上找一點尸，連接

OP、DP.使得NOPO+/OOE=90°,求點尸的坐標(biāo).

4.(2022?東莞市校級一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-/+2匕+2必+1與x

軸的左交點為A,右交點為8,與)，軸的交點為C,對稱軸為直線/,對于拋物線上的兩

點(xi,yi),(%2,”)(xi<k<x2),當(dāng)XI+X2=2時，yi-y2=0恒成立.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點"是第二象限內(nèi)直線AC上方的拋物線上的一點，過點“作MNLAC于點N,

求線段MN的最大值，并求出此時點M的坐標(biāo)；

(3)點尸是直線/右側(cè)拋物線上的一點，PQ，/于點。，AP交直線/于點凡是否存在

這樣的點P,使△PQ尸與△ACO相似？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明

理由.

5.(2022?東莞市一模)二次函數(shù)丫=/+-+3的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩

點，與y軸交于點C,頂點為E.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式：

(2)如圖①，。是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)8。的垂直平分線恰好經(jīng)過

點C時，求點。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，尸是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接0P,取0P中點Q,連接QC,

QE,CE,當(dāng)△CEQ的面積為12時，求點P的坐標(biāo).

6.(2022?東莞市一模)如圖，拋物線y=o?+當(dāng)+c與x軸交于點4,B,與y軸交于點C,

2

已知A,C兩點坐標(biāo)分別是A(1,0),C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達式和4c所在直線的表達式；

(2)將△A8C沿BC所在直線折疊，得到△C8C,點A的對應(yīng)點。是否落在拋物線的對

稱軸上，若點O在對稱軸上，請求出點。的坐標(biāo)；若點。不在對稱軸上，請說明理由；

(3)點P是拋物線圖象上的一動點，當(dāng)/PCB=NA8C時，直接寫出點P的坐標(biāo).

備用圖

7.(2022?東莞市一模)如圖，已知直線AB：y=fcc+6與拋物線、=工+/一2比一相交于

-33

點A⑶?)、點B,點B在x軸上，且對于任意實數(shù)x,不等式方

恒成立.

(1)求該拋物線及直線AB的解析式；

(2)點M為該拋物線上的一點，過點M作MN_Lx軸于點M過點A作AHLx軸于點

H,當(dāng)以點M、N、8為頂點的三角形與aAHB相似，直接寫出滿足條件的全部點股的

橫坐標(biāo)，并選取其中兩種情況寫出解答過程；

(3)試問，在拋物線>=工七乂2-2a一上是否存在點。，使得^。48的面積等于4402

33

的面積的2倍？如果存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

8.(2022?東莞市一模)如圖甲，在aABC中.N4cB=90°.AC=4.BC=3.如果點P

由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動.同時點。由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運

動.它們的速度均為每秒鐘1個單位長度.連接PQ，設(shè)運動時間為f秒鐘(0<r<4).

(1)設(shè)4人尸。的面積為S,當(dāng)實數(shù)f為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

(2)在(1)的前提下.當(dāng)S取得最大值時.把此時的△AP。沿射線AC以每秒鐘1個

單位長度的速度平移，當(dāng)點A平移至與點C重合時停止，寫出平移過程中，△APQVA

ABC的重疊部分面積y與平移時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍；

(3)如圖乙，連接尸C,將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,當(dāng)四邊形PQP'

C為菱形時，求實數(shù)f的值.

9.(2022?東莞市一模)在矩形ABCD中，AB=\2,P是邊A8上一點，把△P8C沿直線PC

折疊，頂點8的對應(yīng)點是點G,過點8作8ELCG,垂足為E且在A。上，BE交PC于

點尸.

(1)如圖1,若點E是4。的中點，求證：AAEB注ADEC；

(2)如圖2,當(dāng)A￡>=25,且時，求空的值；

PC

(3)如圖3,當(dāng)尸=108時，求BP的值.

圖1圖2圖3

四.圓的綜合題(共5小題)

10.(2022?東莞市校級一模)如圖，AB是圓。的直徑，弦CD與AB交于點H,NBDC=

NCBE.

(1)求證：8E是圓。的切線；

(2)CDA.AB,AC=2,BH=3,求劣弧BC的長；

(3)如圖，若C力〃BE,作O尸〃8C,滿足BC=2OF,連接FH、BF,求證：FH=BF.

11.(2022?東莞市校級一模)如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,NB=90°,E是8c

的中點，連接AC,AE,DE,DE交AC于點、F,且此時/AEO=90°.

(1)求證：AABEsAECD；

(2)求證：以BC為直徑的OE與AQ相切；

(3)對角線AC交OE于點G,AB=6,BC=8,求AF的長.

12.(2022?東莞市一模)如圖1,將矩形紙片ABC。沿直線折疊，頂點8恰好與C。邊

上的動點P重合(點P不與點C,。重合)，折痕為MN,點M,N分別在邊A。，BC上,

連接MB,MP,BP,BP與MN相交于點F.

(1)求證：ABENsABCP；

(2)①在圖2中，作出經(jīng)過M,D,尸三點的。。(要求保留作圖痕跡，不寫作法)；

②隨著點P在C￡＞上運動，當(dāng)①中的OO恰好與2M,8c同時相切，如圖3,若AB=4,

求。尸的長.

(3)在②的條件下，點Q是。。上的動點，則A0的最小值為.

13.(2022?東莞市校級一模)如圖，在等邊△ABC中，M是邊5c延長線上一點，連接AM

交△A8C的外接圓于點。，延長8。至N,使得BN=AM,連接CMMN,

(1)猜想△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)請你證明CN是。。的切線；

(3)若40：48=3：4,BN=8,求等邊△ABC的面積.

14.(2022?東莞市一模)如圖，己知點。是△4BC的外接圓的圓心，AB=4C,點。是弧

AB上一點，連接并延長BD交過點A且平行于BC的射線于點E.

(1)求證：D4平分NCQE；

(2)判斷直線AE與00的位置關(guān)系，并證明；

(3)若DE=3,BD=6,AD=5,求AC的長.

EA

五.相似三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)

15.(2022?東莞市一模)如圖，在正方形ABC。中，E是對角線8。上任意一點(BE>DE),

CE的延長線交A。于點尸，連接AE.

(1)求證：△ABEs/\FDE；

(2)當(dāng)BE=3DE時,求tan/1的值.

廣東省東莞市2022年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯

編一06解答題（提升題）

參考答案與試題解析

一.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

1.（2022?東莞市校級一模）某學(xué)校準(zhǔn)備購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每

個籃球的價格相同），若購買2個足球和3個籃球共需340元，購買5個足球和2個籃球

共需410元.

（1）購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校的實際情況，需購買足球和籃球共96個，并且總費用不超過5720元.問

最多可以購買多少個籃球？

【解答】解：（1）設(shè)購買一個足球需要x元，購買一個籃球需要y元，

根據(jù)題意得：［2x+3y=340,

|5x+2y=410

解得：卜=50.

|y=80

答：購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80元；

（2）設(shè)購買a個籃球，則購買（96-a）個足球，

根據(jù)題意得:80a+50（96-a）<5720,

解得：aW笙，

3

??丁是整數(shù),

...aW30,

答：最多可以購買30個籃球.

二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2022?東莞市校級一模）如圖，拋物線頂點坐標(biāo)為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,

交y軸于點B.

（1）求拋物線和直線AB的解析式；

（2）設(shè)點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P,使S△以B面積

最大，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)點。(異于C點)是拋物線上的一個動點，是否存在一點。，使SAQ4B=SACA8.若

存在，直接寫出。點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖1,設(shè)拋物線的解析式為：(X-1)2+4,

把A(3,0)代入解析式求得。=-1,

?，?y=-(x-1)2+4=-/+21+3,

當(dāng)x=0時，y=3,

：.B(0,3),

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+bf

把A(3,0),B(0,3)代入)=丘+6中，得：Jb=3，

l3k+b=0

解得：fk=T,

lb=3

直線AB的解析式為：y=-x+3；

(2)存在，

如圖2,連接OP,

設(shè)P(x,-?+2x+3)(0<x<3),

S^mB=S^OBP+S^AOP-SAAOB

=JL?3X+」?3(-/+2x+3)-AX3X3

222

-+當(dāng)

2

=-1(?-344)

3._1)2+導(dǎo)

2

2

.?.當(dāng)x=2■時，△B4B的面積最大，此時尸（3,至）；

224

（3）存在，

分兩種情況：

①當(dāng)。在AB的上方時，如圖3,過點C作CO〃A3,交拋物線于。，連接QB,QA,此

時SMCB=SAQAB,

設(shè)CD的解析式為：y=-x+m,

把C（1,4）代入得：4=-\+m,

??“1=5,

-7+2x+3=-x+5,

解得：Xl=l,xi—2,

:點。與點C不重合，

：.Q（2,3）；

②當(dāng)。在AB的下方時，

由①知：直線CD與y軸的交點為（0,5）,即直線AB向上平移2個單位，

二將直線AB向下平移2個單位得到y(tǒng)=-x+1,

-/+2x+3=-JC+1,

解得：M=3+同,一=3一國,

_22__

...0（3W17,-1-V17）或（生叵,-1而）.

2222__

綜上，點。的坐標(biāo)是（2,3）或（立叵，士叵）或（土叵，土叵）.

2222

3.（2022?東莞市校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的

6

正半軸交于點Q，與y軸交于點C,點A在拋物線上，軸于點B.△ABC繞點B

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE,連接DE.當(dāng)反乂2+灰+。<0時，》的取值范圍是-3<x<

65

2.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求證：四邊形O3E￡>是矩形；

（3）在線段。。上找一點N,過點N作直線機垂直x軸，交OE于點凡連接。尸，當(dāng)

△QNF的面積取得最大值時，求點N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線機上找一點P,連接

OP、DP.使得NOPO+NQOE=90°,求點P的坐標(biāo).

【解答】（1）解：；當(dāng)Sj+bx+cvo時，》的取值范圍是-S<x<2,

65

.,.拋物線與x軸的兩個交點為(2,0),(-3,0),

5

-X—：—z~b+c=0

,6255

??1,

5

7-X4+2b+c=0

6

\_7

解得，b一3,

c=-l

(2)證明：由(1)可知。(2,0),C(0,-1),

/.OD=2,OC=1,

?.?A8J_y軸，

??.△ABC是直角三角形，

/XABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O8E,

AOBA.BE,AB=OB,

設(shè)A(-tn,m),

,.m=—Rtn9--7m-1,

66

解得或

m=-1m=—f

5

???4(-1,1),

:,BC=BE=2,

：.BE=OD9

NBOD=90°,

：.BE//OD,

???四邊形O8EO是矩形；

(3)9：E(2,1),

直線OE的解析式為y=工，

2

設(shè)N(〃,0),則F(mAM),

2

2

:.S=LXDNXFN=LX(2-H)xX7=-A(〃-1)+A,

22244

：N在線段。。上,

???0W〃W2,

???當(dāng)〃=1時，S有最大值,

此時N(1,0),F(1,A),

2

a：ZPNO=90°,

：.ZEOD+ZPOE=90°,

???NOPO+NQOE=90°,

???ZPOE+ZOPN=ZOPDf

TO點與。點關(guān)于/對稱，

:"OPN=4NPD,

：./OPN=/POE,

:.PF=OF,

設(shè)P(1,r),

\|r-A|=2^,,

4.(2022?東莞市校級一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-/+2履+2必+1與x

軸的左交點為A,右交點為B,與)，軸的交點為C,對稱軸為直線/,對于拋物線上的兩

點(xi,yi),(%2,y2)(xi?x2),當(dāng)犬1+%2=2時，yi-y2=0恒成立.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點M是第二象限內(nèi)直線AC上方的拋物線上的一點，過點“作MNLAC于點N,

求線段MN的最大值，并求出此時點M的坐標(biāo)；

(3)點P是直線/右側(cè)拋物線上的一點，PQ_U于點Q,AP交直線/于點F,是否存在

這樣的點P，使△PQ尸與△4C。相似？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明

理由.

【解答】解:(1)V(xi,yi),(X2,>-2)在拋物線>=-7+2履+2必+1上，

'.x\+x2—2k,xix2--2k1-1,yi=-x3+2Axi+2必+1,y2—-x22+2kx2+2k1+1,

=222

?*.yi-y2(-xi+2fcci+2A?+l)-(-%2+2te+2^+l)=(%2-xi)(XI+JQ-24),

■:當(dāng)x\+xi=2時，yi->2=0恒成立，

(x2-xi)(2-2k)=0,

X\<k<X2,

；.2-220,

，k=l,

該拋物線的解析式為y=-/+2x+3；

(2)由(1)知：y=-?+2x+3,

令y=0,得-/+2x+3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

.MA(-1,0),B(3,0),

令x=0,得y=3,

：.C(0,3),

在RtAAOC中，*={0人2歷,2={F+32=行,

設(shè)直線AC的解析式為y=，〃x+〃，則［力如二°,

ln=3

解得：，m=3,

ln=3

直線AC的解析式為y=3x+3,

如圖1,過點M作M￡)〃y軸交AC于點力，

設(shè)MC,-?+2r+3)(-l<r<0),則￡>(f,3r+3),

:.MD=-P+2f+3-(3f+3)=-F-t,

'：MNLAC,

：.ZMND=900=ZAOC,

'：MD//OC,

：.NMDN=ZACO,

:.叢MDNS/\AC0,

.MN=MD即MN=-t2-t

**0AAC)~VIo

MN=-(z+A)2+魚￡

_10240

...〈0,

10_

.?.當(dāng)r=-▲時，線段MN取得最大值返止匕時，M(-1,生)；

24024

(3)存在.

,.,y=-7+2x+3=-(x-1)2+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=1,

設(shè)P(〃?，-，*2+2〃?+3)則Q(1,-序+2加+3),過點P作P”_Lx軸于點從

則HCm,0),

；PQ_U,/"軸，

，PQ〃x軸，

：.ZFPQ=ZPAH,

"：ZPQF=ZAHP,

：./\PFQ^/\APH,

當(dāng)點P在x軸上方時，如圖2,尸4=-川+2切+3,AH=m+],又。4=1,0C=3,

若△PFQs/\CAO,則△APHs/^CAO,

9

?PH—AH即-m+2m+3=m+]

**OA-OC，1.亍，

解得：山=-1（舍去）或m=&,

3

當(dāng)機=包時，-"?2+2/?+3=-（昆）2+2x3+3=11,

3339

：.P&旦）；

39

若△尸/Qs/\ACO,則△AP〃S/\4C0,

9

?AH—PH叩m+]-m+2m+3

OAOC13

解得：機=-1（舍去）或相=0（不符合題意，舍去）；

當(dāng)點P在x軸下方時，如圖3,PH^m1-2m-3,AH=m+\,

若△PFQs/\CAO,則△APHs/^CAO,

?PH—AH即m2_2m_3=m+]

'''6K~oc'1一丁’

解得：山=-1（舍去）或m=蛇，

3

當(dāng)機=_12>時，-，〃2+2，〃+3=-（.12.）2+2X-12.+3=--1^.,

3339

：.P（改，-烏；

39

若△尸尸2s/XAC。，則△AP〃S/\4CO,

?AH_PH即m+]=m2_2m_3

*<0Aoc'~T~3

解得：加=-1（舍去）或加=6,

當(dāng)機=6時，-m2+2〃計3=-62+2X6+3=-21,

：.P（6,21）；

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（包，11）或（獨，-也）或（6,21）.

3939

V小

5.(2022?東莞市一模)二次函數(shù)y=o?+法+3的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩

點，與y軸交于點C,頂點為￡

(1)求這個二次函數(shù)的表達式：

(2)如圖①，O是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)8力的垂直平分線恰好經(jīng)過

點C時，求點。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，尸是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接OP,取OP中點Q,連接QC,

QE,CE,當(dāng)△CEQ的面積為12時，求點P的坐標(biāo).

得［4a+2b+3=0

I36a+6b+3=0

解得1，

b=-2

，二次函數(shù)的解析式為丫=工？-2r+3；

4

(2)如圖1,圖2,連接CB,CD,由點C在線段8。的垂直平分線CW上，得CB=CD.

'：C(0,3),由勾股定理可得:42+(m-3)2=62+32.

解得zn=3±V29.

滿足條件的點。的坐標(biāo)為(4,3+揚)或(4,3-V29)；

(3)如圖3,設(shè)C。交拋物線的對稱軸于點M,

y

設(shè)點An2-2n+3),則點Q(_1?〃，A?2-n+—),

4282

設(shè)直線CQ的解析式為y=fcv+3,則I?-〃+3=』成+3,

822

解得％=』"-2-3,于是CQ：y—{—n-2-—)x+3,

4n4n

當(dāng)x=4時，y—4(An-2-A)+3=5-工■,

4nn

：.M(4,〃-5-四)，ME="-4-￡

nn

S^CQE=S^CEM+SAQEM=-X-^?,A/￡=Xx—-4--1A)=⑵

2222n

.".n2-4n-60=0,

解得n=10或"=-6,

當(dāng)〃=10時，P(10,8),當(dāng)〃=-6時，PC-6,24).

綜合以上可得，滿足條件的點尸的坐標(biāo)為(10,8)或(-6,24).

6.(2022?東莞市一模)如圖，拋物線＞=4』+當(dāng)+。與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,

2

已知A,C兩點坐標(biāo)分別是A(1,0),C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式；

(2)將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△O2C,點A的對應(yīng)點。是否落在拋物線的對

稱軸上，若點。在對稱軸上，請求出點力的坐標(biāo)；若點。不在對稱軸上，請說明理由；

(3)點P是拋物線圖象上的一動點，當(dāng)/PC8=/ABC時，直接寫出點P的坐標(biāo).

yy

備用圖

【解答】解：（1）??,拋物線y=〃/+&x+c經(jīng)過A（1,0）,C（0,-2）兩點,

2

’3

?aF+c=0

??z,

c=-2

解得「a=y,

c=-2

...拋物線的表達式為）=12+當(dāng),2,

■22

設(shè)直線AC的表達式為y=kx+b,

則（k+b=o,

Ib=-2

解得：4=2,

Ib=~2

直線AC的表達式為y=2x-2；

（2）點。不在拋物線的對稱軸上，理由是：

：拋物線的表達式為-2,

.?.點B坐標(biāo)為（-4,0）.

V0/1=1,OC=2,

?0A=0C

*,0COB,

XVZAOC=ZCOB=90°,

AAOC^ACOB.

，NACO=NCBO.

：.ZACO+ZBCO=NOBC+NBCO=90°,

：.AC±BC.

：.將AABC沿BC所在直線折疊，點。一定落在直線AC上,

延長AC至。，使。C=AC,過點。作OELy軸交y軸于點E,如圖1.

又丁ZACO=ZDCEf

：.AACO^ADCE(A4S).

DE=AO=\,則點。橫坐標(biāo)為-1,

???拋物線的對稱軸為直線》=-3.

2

故點D不在拋物線的對稱軸上.

(3)當(dāng)點尸在x軸下方時，如圖2,

■:NPCB=NABC,

J.CP//AB,

，點P的縱坐標(biāo)為-2,

令y--2,得工-2—-2,

22

解得：x=0(舍去)或x=-3,

：.P\(-3,-2)；

當(dāng)點P在x軸上方時，如圖2,設(shè)CP交x軸于點G,設(shè)G(f,0),

則OG=-t,BG=t+4,

由勾股定理得：CG2=OG2+OC2=P+4,

■:/PCB=NABC,

：.BG=CG,即(r+4)2=r+4,

解得：r=-3,

2

：.G(-3,0),

2

設(shè)直線CG的解析式為y=twc+nf

’3

則亍田0,

n=-2

'J

解得：飛；

n=-2

?,?直線CG的解析式為y=-生1-2,

3

4

y=rx-2

聯(lián)立方程組得《O

yx-2

17

xj=0x2一^~3

解得：?

y^-250

y2^T

"苧詈,

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-3,-2）或（-［！，毀）.

39

7.（2022?東莞市一模）如圖，已知直線AB：y=fcr+3與拋物線曠=工土火2-2a-/相交于

33

點A（a,-8）、點B,點B在x軸上，且對于任意實數(shù)x,不等式一生

3333

恒成立.

（1）求該拋物線及直線AB的解析式;

（2）點〃為該拋物線上的一點，過點M作MN_Lx軸于點M過點A作AHLx軸于點

H,當(dāng)以點M、N、B為頂點的三角形與△AHB相似，直接寫出滿足條件的全部點M的

橫坐標(biāo)，并選取其中兩種情況寫出解答過程;

(3)試問，在拋物線)=!七*2—乙XT上是否存在點Q，使得aQAB的面積等于△AOS

33

的面積的2倍？如果存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知，拋物線尸工tx22r(X-1)2-生,

3333

V不等式上tX22tx-t>樹恒成立，

333

:.當(dāng)x=l時,--t=-生解得t=\,

33

2

拋物線的解析為：y=lxJ-X-].

33

當(dāng)卜=-三，則J_y2_^-1=-解得x=].即〃=1,

3333

令y=0,則-1=0,解得》=-1或犬=3；

33

：.B(3,0),

將B(3,0),A(1,-―)代入y=fcc+代

3

3k+b=0

4,解得"k=3.

k+b=-—

ob=-2

直線AB的解析式為：y=2jc-2.

3

(2)?.?AH”軸,

：.H(1,0),

：.AH=^,BH=2.

3

設(shè)點M的橫坐標(biāo)為出

則M(/M,A2_2_m-1),N(m,0),

3m3

：.MN=\^^-^.m-1|,BN=\m-3\,

若△MVB與相似，則MN：BN=2：3或MN：BN=3：2,

.*.|Am2-1|：\m-3|=2：3或-^"團一"：|"z-3|=3：2,

3333

解得m—1或m--3或”?=2"或m=--UL.

22

綜上，當(dāng)以點M、N、B為頂點的三角形與相似時，點M的橫坐標(biāo)為1或-3或工

2

或一-.

2

（3）存在，理由如下：

如圖，作點B關(guān)于點0的對稱點E,

：.BE=2OB=6,

：./\ABE的面積等于AAOB的面積的2倍,

過點E作AB的平行線，與拋物線的交點即為點Q,

'JEQ//AB,

直線EQ的解析式為：y=&+2,

3

令&+2=工/__^-],解得或x=2-

333

：.Q（2+-/13-此+漢亙）或（2-也.-漢亙）.

3333

作直線EQ關(guān)于直線AB的對稱直線E'Q',則直線E'Q'的解析式為：y=Zr-6,

3

令2x-6=工丫2上^-],無解.

333

綜上，使得△QA8的面積等于△AOB的面積的2倍的點。的坐標(biāo)為（2+岳，改+漢亙）

33

或（2-VI3---）.

33

三.四邊形綜合題（共2小題）

8.（2022?東莞市一模）如圖甲，在△A8C中.ZACB=90°.AC=4.BC=3.如果點P

由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動.同時點。由點4出發(fā)沿AC方向向點C勻速運

動.它們的速度均為每秒鐘1個單位長度.連接PQ,設(shè)運動時間為f秒鐘（0<r<4）.

（1）設(shè)△APQ的面積為S,當(dāng)實數(shù)/為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下.當(dāng)S取得最大值時.把此時的△APQ沿射線AC以每秒鐘1個

單位長度的速度平移，當(dāng)點A平移至與點C重合時停止，寫出平移過程中，XAPQ三匕

ABC的重疊部分面積y與平移時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍；

（3）如圖乙，連接PC,將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC,當(dāng)四邊形PQP'

C為菱形時，求實數(shù)f的值.

【解答】解：（1）如答圖1,過點P作P”_LAC于H,

."ZC=90°,

'.ACLBC,

,.PH//BC,

\/\APH^/\ABC,

?里=里

"BCAB，

?,AC=4cm,BC=3cm,

?A8=

???P..H_.5..-.一t?

35

5

.?.△AQP的面積為：

S=AxAQXP//=AxrX(3-當(dāng))=-J_(LS)2+耳

2251028

...當(dāng)f為5秒時，S最大值為絲7〃2.

28

(2)①當(dāng)時，y=西；

28

②當(dāng)SWx<2時，丫=-當(dāng)+3.

24

③如答圖2,當(dāng)2WxW4時，l\NP'CS/XA'PQ,則Ai工=E_匚，即為

AyQPQ5_

2

P'C

解得P'C=A(4-X),

4

則>=上(4-%)義旦(4-%)——(4-%)2

248

oZ

-1-x+3(-1-<x<2)；

綜上所述，），一

y(4-x)2(24x<4)

o

(3)如答圖3,連接PP',PP'交QC于E,

當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時，PE垂直平分QC,BPPE±AC,QE=EC,

：.△APEs△ABC,

.AE=AP

'*ACAB'

.4F=AP>AC=(5-t)X4=一生+4

AB55

QE=AE-AQ=-Ar+4-t=-旦f+4,

55

QE=^-QC=—(4-r)=-A/+2,

222

-91+4=-Ar+2,

52

解得：l=型，

13

V0<.22<4,

13

.?.當(dāng)四邊形P0P'C為菱形時，，的值是組.

9.(2022?東莞市一模)在矩形A8C。中，A8=⑵P是邊AB上一點，把△P5C沿直線PC

折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G,過點B作BELCG,垂足為E且在上，BE交PC于

點F.

(1)如圖1,若點后是4。的中點，求證：△AEBgZ\￡)EC；

(2)如圖2,當(dāng)AO=25,且時，求里的值；

PC

(3)如圖3,當(dāng)BFEmOS時，求8P的值.

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)在矩形A8C。中，NA=NO=90°,AB=DC,

是A。中點，

：.AE=DE,

在AAEB和△QEC中，

'AB=DC

<ZA=ZD=90°，

AE=DE

.?.△AEB絲△DEC(SAS)；

(2)'：BE±CG,

：.ZBEC=90°,

AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,

：.ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,

二AABES^DEC,

?..-A-B-二DE,

AECD

設(shè)AE=Xf

：.DE=25-x,

?1225-x

x12

.\x=9或x=16,

?：AE<DE,

：.AE=9,DE=16,

：.CE=20,B￡=15,

由折疊得，BC=CG=25,

在矩形A8CQ,ZABC=90°,

???叢BPC沿PC折疊得到△GPC,

：.ZPGC=ZPBC=90°,NBPC=NGPC,

VBE1CG,

:,BE〃PG,

:?叢ECFs叢GCP,

???E—F■CE二CF,

PGCGPC

?CF=20=4

??記事耳

（3）如圖，連接FG,

■:BE//PG,

:?NGPF=NPFB,

:?/BPF=/BFP,

:?BP=BF；

?:BP=PG,

???o8PGF是菱形,

：.BP//GFf

：.ZGFE=ZABE,

:.叢GEFs叢EAB,

???E—F二A—B,

GFBE

：?BE?EF=AB?GF,

■:BE?EF=108,AB=I2f

：.GF=9f

：.BP=GF=9.

四.圓的綜合題（共5小題）

10.（2022?東莞市校級一模）如圖，A8是圓。的直徑，弦CO與48交于點〃，/BDC=

ZCBE.

(1)求證：8E是圓。的切線；

(2)若CQ_LAB,AC=2,BH=3,求劣弧BC的長；

(3)如圖，若CD〃BE,作DF〃BC,滿足BC=2Z)F,連接FH、BF,求證：FH=BF.

【解答】(1)證明：是直徑，

AZACB=90°,

.?.NC4B+NABC=90°,

?:NCAB=NCDB,NCDB=NCBE,

：.ZCBE=ZCAB,

：.ZCBE+ZABC=90Q,

J.ABLBE,

是直徑，

」.BE是。。的切線；

(2)解：VCD1AB,

：.ZAHC=ZACB=9Q°,

"：ZCAH=ZCAB,

.?.△C4HS/\BAC,

?CA=AH

"ABCA"

CA2=AH'AB,

設(shè)A”=x,貝?。?=x(x+3),

解得x=1或-4(-4舍去),

.\AH=AfAB=4,

：.AC=2AH,

AZACH=30°,

：.ZCAH=60°,

：.ZBOC=2ZA=nO0,

??.前的長=」2t兀.尸&；

1803

(3)證明：如圖，取8c的中點G,連接。G,GH,過點G作GM_L8。于點M,過點

H作HKLDB于點K過點F作FNLBD于點N,作FT//BD交CD的延長線于點T.

?:DF〃CB,BC=2DF,CG=BG,

:,DF=BG,

???四邊形DFBG是平行四邊形，

:.BF=DG,BF〃DG,

:./GDM=/FBN,

?：NGMD=/FNB=90°,

:./XGMDQ4FNC(AAS),

:?GM=FN,

TAB是直徑，AB1.CD,

:?DH=HC,DB=BC，

:,DB=DC,

:./BDC=/BCD,

,:CG=GM,

:.HG〃DB,

GM上DB,

:.KH=GM=FN,

■:/HKJ=/FNJ=9N,ZKJH=ZNJF,

：?4HKJW叢FNJ(AAS),

：.HJ=JF9

*：FT//JD,

:?DT=DH=CH,

：.CD=HT,

?:DF〃CB,FT//BD,

：./FDT=NBCD,/BDC=NT,

：.ZT=ZFDTf

：.FT=FD,

:?FT=CG,

???NT=NC,

:.△DCG"AHTF(S4S),

：?DG=HF,

:?HF=BF.

11.(2022?東莞市校級一模)如圖，在直角梯形A3CQ中，AB//CD,ZB=90°,E是BC

的中點，連接AC,AE,DE,OE交AC于點F,且此時/AEZ)=90°.

A

(1)求證：AABEsAECD；

(2)求證：以BC為直徑的(DE與A。相切；

(3)對角線AC交。E于點G,AB=6,BC=8,求AF的長.

【解答】(1)證明：ZB=90",

ZDCE=1800-ZB=90°,

:.NDCE=NB,

VZAED=W°,

???Z￡)CE=90°-ZAEB=NBAE,

：.AABEsAECD；

(2)證明：過E作于”，延長。E、AB交于G,如圖:

是BC的中點,

'JAB//CD,

：.ZGBE=ZDCE,ZBGE=ZCDE,

：ABGE沿ACDE(AAS),

：.GE=DE,

VZAED=90°,

：.AE是DG的垂直平分線,

：.AD=AG,

J.ZGAE^ZDAE,

V