專題4.2 比較線段的長(zhǎng)短【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題4.2比較線段的長(zhǎng)短【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 1【題型2線段的和差】 2【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】 3【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】 3【題型5兩點(diǎn)間的距離】 4【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 5【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 7【題型9尺規(guī)作線段】 9【題型10線段中的對(duì)折問(wèn)題】 9【知識(shí)點(diǎn)比較線段的長(zhǎng)短】（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。（2）線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例1】（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段AB=12cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC=4cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段AD的長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【變式1-1】（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，則CB的長(zhǎng)為．

【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC=12cm，CB=8cm，D、E分別是AC、(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)求DE的長(zhǎng)度；(3)若M在直線AB上，且MB=6cm，求AM【變式1-3】（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)A．10+522022 B．10+522023【題型2線段的和差】【例2】（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC-BD=2MC-DN；其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩根木條，一根長(zhǎng)10cm，另一根長(zhǎng)8cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為cm．【變式2-2】（2023秋·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，C為線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，且AD=26cm(1)圖中共有條線段？(2)求AC的長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)E在直線AD上，且EA=8cm，求BE【變式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┮阎狟、C在線段AD上．(1)如圖，圖中共有條線段，AD＝＋－；(2)如圖，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的長(zhǎng)度．【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】【例3】（2023秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且AN-BN=MN，則【變式3-1】（2023秋·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且CD=3AD-2BC，則AC與BD的關(guān)系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【變式3-2】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為CB上一點(diǎn)，下列關(guān)系表示錯(cuò)誤的是（）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【變式3-3】（2023春·浙江·七年級(jí)期中）如圖1，AB是一條拉直的細(xì)繩，C,D兩點(diǎn)在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．則（1）CD:AD=；（2）若將點(diǎn)C固定，將AC折向BC，使得AC落在BC上（如圖2），再?gòu)狞c(diǎn)D處剪斷，使細(xì)繩分成三段，分成的三段細(xì)繩的長(zhǎng)度由小到大之比為．【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】【例4】（2023春·福建龍巖·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小明從家到學(xué)校分別有①、②、③三條路可走：①為折線段ABCDEFG，②為折線段AIG，③為折線段AJHG．三條路的長(zhǎng)依次為a、b、c，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＝b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＝b＜c【變式4-1】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三角形ABC，下列比較線段AC和AB長(zhǎng)短的方法中，可行的有（

）①用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度；②用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn)B的位置；③沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，觀察點(diǎn)B的位置．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B，C在線段AD上，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，

(1)圖中以C為端點(diǎn)的線段共有______條.(2)若AB=CD，①比較線段的長(zhǎng)短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的長(zhǎng)度.【變式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB，射線AC，線段BC．(1)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD．(2)比較AB+AD與BC+AC的大小，并說(shuō)明理由．【題型5兩點(diǎn)間的距離】【例5】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在線段MN上有P、Q兩點(diǎn)，PQ長(zhǎng)度為2cm，MN長(zhǎng)為整數(shù)，則以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度和可能為（

A．19cm B．20cm C．21cm【變式5-1】（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長(zhǎng)為．【變式5-2】（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間 B．點(diǎn)B在C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間【變式5-3】（2023秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D、E是直線l上的點(diǎn)，線段AB=12cm，點(diǎn)D、E分別是線段AC(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)若BC=4cm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=5cm，求線段(3)若BC=mcm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=ncm，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OE的長(zhǎng)cm．（用含m、【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將一根繩子對(duì)折以后用線段AB表示，點(diǎn)P是AB的四等分點(diǎn)，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中的一段長(zhǎng)為30cm，則這條繩子的原長(zhǎng)為cm【變式6-1】（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖B、C兩點(diǎn)把線段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中點(diǎn)，CD=8，求MC的長(zhǎng)．【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB和線段CD的公共部分是線段BD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若BF:DE=5:2，BC-EF=3，AE=6，則AC的長(zhǎng)為．

【變式6-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=6，AC=2，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN=______．(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=______．②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的nn≥2等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【題型7與線段的長(zhǎng)短比較有關(guān)的應(yīng)用】【例7】（2023春·北京海淀·七年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，?，A7①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．其中，正確的是．

【變式7-1】（2023春·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，某公司有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．A，B之間 D．B，C之間【變式7-2】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號(hào)為1、2、3、4、5，第k號(hào)樓恰好有k（k=1、2、3、4、5）個(gè)A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米．A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓米處．【變式7-3】（2023秋·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┰谝粭l直線上有依次排列的nn>1臺(tái)機(jī)床在工作，我們需要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P如果直線上只有2臺(tái)機(jī)床A1，A2時(shí)，很明顯供應(yīng)站P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，距離之和等于如果直線上有3臺(tái)機(jī)床A1、A2、A3，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，距離之和恰好為如果在直線上4臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；如果直線上有5臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)的地方；(1)閱讀遞推：如果在直線上有7臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在（

）處．A．第3臺(tái)

B．第3臺(tái)和第4臺(tái)之間

C．第4臺(tái)

D．第4臺(tái)和第5臺(tái)之間(2)問(wèn)題解決：在同一條直線上，如果有n臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在什么位置？(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化：在數(shù)軸上找一點(diǎn)P，其表示的有理數(shù)為x．當(dāng)x=_______時(shí)，代數(shù)式x-1+x-2+【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例8】（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，AB=14厘米，點(diǎn)C在線段AB上，且BC=3厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為6厘米．【變式8-1】（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)，以1cm/s、3cm(1)若AB=10cm，當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，點(diǎn)C，D的位置如圖①所示，求(2)若點(diǎn)C，D在沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A和點(diǎn)M時(shí)，總有MD=3AC，試說(shuō)明此時(shí)有AM=1(3)如圖②，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN-BN=MN【變式8-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC+PD=_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP:PB=_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3AC，求【變式8-3】（2023秋·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0），點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)．（1）當(dāng)t=3時(shí)，求線段MB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好是MB的中點(diǎn)？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，AM=2PB？【題型9尺規(guī)作線段】【例9】（2023秋·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AB=6．

(1)尺規(guī)作圖：延長(zhǎng)線段AB，并在延長(zhǎng)線上作一點(diǎn)D，使得BD+BC=AB；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若CM=2AC，求線段AD的長(zhǎng)度．【變式9-1】（2023春·福建·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知線段a，b，利用尺規(guī)作線段AB，使得AB=2a-b．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【變式9-2】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,B,C兩點(diǎn)在射線AM上，AC>BC，用圓規(guī)在射線BM上作一點(diǎn)D,使得BD=AC-BC．(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

【變式9-3】（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段a，b，c，求作：線段m，使m=a+c-b．

【題型10線段中的對(duì)折問(wèn)題】【例10】（2023秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一段長(zhǎng)為30厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無(wú)彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'，B'(1)如圖2，若A'，B'恰好重合于點(diǎn)O處，展開(kāi)拉直后如圖3，求(2)若點(diǎn)A'落在B'的左側(cè)，且A'(3)若點(diǎn)A'落在B'的右側(cè)，且A'B【變式10-1】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共