專題5.5 二次函數(shù)與線段最值面積最值綜合應用（四大題型）（原卷版）

專題5.5二次函數(shù)與線段最值/面積最值綜合應用（四大題型）重難點題型歸納【題型1線段差最大問題】【題型2線段和最小】【題型3周長最值問題】【題型4求面積最值】【題型1線段差最大問題】【典例1】（2023?汝南縣一模）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），其對稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．①當△OAB的面積為15時，求點B的坐標；②在①的條件下，P是拋物線上的動點，當PA﹣PB取得最大值時，求點P的坐標．【變式1-1】（秋?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點T為對稱軸直線x＝2上一點，則TC﹣TB的最大值為多少？【變式1-2】（連云港）在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點為D，交x軸于點A、B（點A在點B左側），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點（2，﹣12），求L2對應的函數(shù)表達式；（2）當BP﹣CP的值最大時，求點P的坐標；【題型2線段和最小】【典例2】（2023秋?金灣區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B（﹣3，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為A．（1）直接寫出拋物線的解析式（2）若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點，則m＝；n＝；（3）在拋物線對稱軸上找一點E，使得AE+CE的值最小，并求出最小值和此時點E的坐標；【變式2-1】（2023秋?天津月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A（0，2），與x軸交于B（﹣3，0）、C兩點（點B在點C的左側），拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）點P是線段OB上的動點．①過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，若PE＝PC，求點E的坐標；②若點Q是射線OA上的動點，且始終滿足OQ＝OP，連接AP，DQ，請求出AP+DQ的最小值．【變式2-2】（2023?潮陽區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，點D為BC的中點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點G是該拋物線對稱軸上的動點，若GA+GC有最小值，求此時點G的坐標；【題型3周長最值問題】【典例3】（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，6）．點D為線段BC上的一動點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，求△AOD周長的最小值；【變式3-1】（2023?恩陽區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點D，交直線AB于點F，交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線l上的動點，求△PBC周長的最小值；【變式3-2】（2023?盤錦三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，B，AB＝2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；?【變式3-3】（2023?佛山二模）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖1，在對稱軸上是否存在一點E，使△AEC的周長最?。舸嬖冢埱蟪鳇cE的坐標和△AEC周長的最小值；若不存在，請說明理由；【變式3-4】（2023?賈汪區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△ACP的周長最小？若存在，求出點P的坐標和△ACP的周長的最小值，若不存在，請說明理由；【題型4求面積最值】【典例4】（2023秋?撫遠市期中）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）如圖①，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC交于點D，若E是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△ECD面積的最大值；【變式4-1】（2023秋?和平區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設點P的橫坐標為t．當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值及點P的坐標；【變式4-2】（2023?牡丹區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A右側），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），是否存在點P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請說明理由．【