1.2.1命題與量詞課件-高一上學期數(shù)學人教B版

第一章集合與常用邏輯用語

1.2常用邏輯用語

1.2.1命題與量詞基礎知識情境與問題“命題”這個詞在新聞報道中經常可以見到。例如：“從最直接的生態(tài)保護方式之一——植樹造林，到多種更具創(chuàng)新性的環(huán)?；顒拥拈_展，如何建立起公眾與自然溝通的橋梁，引發(fā)人們對于自然環(huán)境的關注和思考，成為時下的環(huán)?！旅}’?！?2017年12月21日《中國青年報》)我們在數(shù)學中也經常接觸到“命題”這兩個字，你知道新聞報道中的“命題”與數(shù)學中的“命題”有什么區(qū)別嗎?新聞報道中的“命題”往往是“命制的題目”的簡寫，常常指的是待研究的問題或需要完成的任務等。需要注意的是，一般來說，數(shù)學中的“命題”與新聞報道中的“命題”不一樣。

嘗試與發(fā)現(xiàn)下列命題中，____________是真命題，_________是假命題：(1)102=100；(2)所有無理數(shù)都大于零；(3)平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；(4)一次函數(shù)y=2x+1的圖象經過點(0，1)；(5)設a，b，c

是任意實數(shù)，如果a>b，則ac>bc；(6)Z?Q(1)(3)(4)(6)(2)(5)為了方便敘述，命題可以用小寫英文字母表示，如若記p：A?(A∪B)，則可知p是一個真命題.2.量詞在數(shù)學中，有很多命題都是針對特定集合而言的，例如：

不難看出，命題(1)(3)(4)(7)陳述的是指定集合中的所有元素都具有特定性質，命題(2)(5)(6)陳述的是指定集合中的某些元素具有特定性質。一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“?”表示。含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題，因此，全稱量詞命題就是形如“對集合M中的所有元素x，r(x)”的命題，可簡記為?x∈M，

r(x).例如，“任意給定實數(shù)x，x2≥0”是一個全稱量詞命題，可簡記為?x∈R，x2≥0.“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“?”表示。含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題。因此，存在量詞命題就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命題，可簡記為?x∈M，

s(x).例如，“存在有理數(shù)x，使得3x－2=0”是一個存在量詞命題，可簡記為?x∈Q，

3x－2=0如果記p(x)：x2

－1=0，q(x)：5x－1是整數(shù)，則通過指定x所在的集合和添加量詞，就可以構成命題。例如:p1：?x∈Z，p(x)；q1：?x∈Z，q(x)；p2：?x∈Z，p(x)；q2：?x∈Z，q(x).嘗試與發(fā)現(xiàn)(1)上述4個命題p1，q1，p2，q2中，真命題是___________；(2)總結出判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的方法。q1，p2，q2事實上，要判定全稱量詞命題?x∈M，r(x)是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x，驗證r(x)成立；但要判定其是假命題，卻只需舉出集合M中的一個元素x0，使得r(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)。要判定存在量詞命題?x∈M，

s(x)是真命題，只要在限定集合M中找到一個元素x0，使得s(x0)成立即可(這就是通常所說的“舉例說明”)；但要判定其是假命題，卻需要說明集合M中每一個x，都使得s(x)不成立。典例精析判斷下列命題的真假：

真假

真假值得注意的是，全稱量詞命題和存在量詞命題，都可以包含多個變量，而且這樣的情形前面我們已經接觸過。例如，以前學過的平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)因為這個公式對所有實數(shù)a，b都成立，所以可以改寫為全稱量詞命題?a，b∈R，a2－b2

，(a+b)(a－b).又如，對于函數(shù)y=x+1來說，任意給定一個x值，都有唯一的y值與它對應。因此如果把y=x+1看成含有兩個變量的方程，則這個方程有無數(shù)多個解，且任意給定一個x，都存在一個y使得等式成立，這可以改寫為?x∈R，?y∈R，y=x+1.基礎自測解析：①是真命題；②是疑問句不是命題；③是真命題；

④也是真命題；⑤不能判斷真假，不是命題。故選B。B

2．下列命題中是存在量詞命題的是(

)A．?x∈R，x2≥0B．?x∈R，x2<0C．平行四邊形的對邊不平行D．矩形的任一組對邊都不相等解析：A，C，D是全稱量詞命題，B是存在量詞命題。B

解析：A是全稱量詞命題但是假命題，B，D是存在量詞命題，

C是全稱量詞命題且是真命題。C

4．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫為全稱量詞命題為_____________________________________.解析：“x2＋y2≥2xy”是指對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為：對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立。對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立①②③⑤

典例剖析命題真假的判斷判斷下列語句是不是命題，如果是，說明其真假。(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)實數(shù)的平方是正數(shù)；(3)當(a－1)2＋(b－1)2＝0時，a＝b＝1；(4)已知x，y為正整數(shù)，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2.思路探究：數(shù)學中要判定一個命題為真命題，需要經過嚴格的數(shù)學證明；要判定一個命題為假命題，只需舉出一個反例即可。解析：(1)(2)(3)(4)都是陳述句，且能判斷真假，因此都是命題。(1)是真命題。因為奇數(shù)是不能被2整除的整數(shù)。(2)是假命題。反例：0的平方還是0，不是正數(shù)。(3)是真命題。由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1。(4)是假命題。反例：y＝4，x＝3也滿足y＝x＋1。歸納提升：判斷一個語句是不是命題的關鍵點：(1)“是陳述句”。(2)“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可。一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題。對點訓練判斷下列命題的真假：(1)一個角的補角必大于這個角；(2)一個有理數(shù)必有兩個平方根；(3)直徑所對的圓周角是直角；(4)兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；(5)等式兩邊都加同一個數(shù)，結果仍是等式。解析：(1)是假命題，例如設這個角是90°，它的補角是90°，而90°＝90°。(2)是假命題，例如有理數(shù)－1沒有平方根。(3)是真命題，這是關于圓周角的結論。(4)是假命題，兩條平行直線被第三條直線所截，同位角才相等。(5)是真命題，這是等式的性質。全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題。(1)梯形的對角線相等；(2)存在一個四邊形有外接圓；(3)二次方程都存在實數(shù)根；(4)負數(shù)沒有對數(shù)。思路探究：首先確定量詞，然后判斷命題的類型。解析：(1)命題完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”，很顯然為全稱量詞命題。(2)命題為存在量詞命題。(3)命題完整的表述為“所有的二次方程都存在實數(shù)根”，故為全稱量詞命題。(4)命題完整的表述是“所有負數(shù)都沒有對數(shù)”，故為全稱量詞命題。歸納提升：判斷一個語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題的思路對點訓練判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)對任意的n∈Z，2n＋1是奇數(shù)；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(4)所有的正方形都是矩形。解析：(1)含有全稱量詞“任意”，故為全稱量詞命題。(2)含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題。(3)含有存在量詞“有的”，故為存在量詞命題。(4)含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題。典例剖析全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷(1)判斷下列全稱量詞命題的真假：①所有的整數(shù)都是有理數(shù)；②?x∈R，x2＋1≥1；③對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；④末位是0的整數(shù)，可以被5整除．(2)判斷下列存在量詞命題的真假：①至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；②?x∈Q，x2＝3；③?x∈Z，x3<1；④存在正實數(shù)x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：對于全稱量詞命題，判斷為真，需要證明，判斷為假，舉出反例；對于存在量詞命題，判斷為真，舉出特例，判斷為假，需要證明。歸納提升：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的方法(1)要判斷一個全稱量詞命題為真，必須給定集合中的每一個元素x，使命題p(x)為真；但要判斷一個全稱量詞命題為假時，只要在給定的集合中找到一個元素x，使命題p(x)為假。(2)要判斷一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個元素x，使命題p(x)為真；要判斷一個存在量詞命題為假，必須對給定集合中的每一個元素x，使命題p(x)為假。對點訓練B典例剖析給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個結論：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}為閉集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中正確結論的序號是_____.②

錯因探究：A1，A2為閉集，存在A1∪A2不是閉集，不滿足閉集條件。解析：①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正確；②中設n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，則A1，A2為閉集合，但A1∪A2不是閉集合，所以③不正確。誤區(qū)警示：判斷命題的真假，一定要全面分析命題中的相關條件與結論，做到心中有數(shù)，切忌主觀臆斷，丟三落四。典例剖析含有量詞命題中參數(shù)范圍的策略已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，實質上是對命題意義的考查。解決此類問題，一定要辨清參數(shù)，恰當選取主元，合理確定解題思路。解決此類問題的關鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉化為