排列與組合教材梳理素材新人教A版選修2-3(2021年整理)-圖文-百度文

1高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合教材梳理素材新人教A版選修編輯整理：尊敬的讀者朋友們：本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快業(yè)績(jī)進(jìn)步，以庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、排列、排列數(shù)公式一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。（2)“n個(gè)不同的元素”，所給的n個(gè)元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是說如果某個(gè)元素被取出，就不能再取了，即無重復(fù)的排列.深化升華判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題,就看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有序還是無序,有序就是排列，無序就不是排列.也就是說，排列問題與元素的順序有關(guān)，與順序無關(guān)的不是排列.如取出兩個(gè)數(shù)做乘法就與順序無關(guān)，就不是排列，做除法就與順序有關(guān)，就是排列.從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取排列數(shù)概念可以從集合的角度進(jìn)行解釋.例如：從a、b、c這三個(gè)不同的元素中任取兩中的元素ab與ba應(yīng)視為不同的元素.辨析比較“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法,不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù).它是一個(gè)數(shù)。在寫具體排列時(shí)，要按一定規(guī)律寫，以免造成重復(fù)或遺3.排列數(shù)公式*，且m≤n;②階乘表示式:A=n!,其中n,m∈N*，且m≤n。（2)全排列:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列.（3）階乘：n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘，用.記憶要訣排列數(shù)的連乘表示式的右邊是m個(gè)數(shù)的連乘積，其特點(diǎn)是：第一個(gè)因數(shù)是n,后面的每一個(gè)因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1;最后一個(gè)因數(shù)是n—m+1,一共有m個(gè)連續(xù)自然數(shù)的連乘積.方法歸納對(duì)于排列數(shù)的兩個(gè)形式的公式，連乘表示式常用于計(jì)算具體的含有數(shù)字的排列數(shù)的值；階乘表示式則常用于含字母的排列數(shù)的變形和證明有關(guān)等式。二、組合、組合數(shù)公式一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.組合定義中包含了兩點(diǎn)：一是“取出元素”,二是“并成一組”.即與元素的順序無關(guān).如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合.當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同,即使只有一個(gè)元素不相同，就不是相同的組合.疑點(diǎn)突破組合與排列的共同點(diǎn)是都要“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素”.不同點(diǎn)是前者是“不管順序并成一組”,而后者要“按照一定順序排成一列"。區(qū)分某一個(gè)問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果4*是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān).在寫出某個(gè)排列問題的所有排列時(shí)，采用“樹形圖"的寫法較好；在寫出某個(gè)組合問題的所有組合時(shí),設(shè)計(jì)好程序，一般采用遞進(jìn)式的寫法比較好，在書寫時(shí)，要做到不重不漏.2.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，組合是一個(gè)具體的事件，不是一個(gè)數(shù);而“組合數(shù)”是符合條件的所有組合的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).方法歸納處理排列組合應(yīng)用題常用的方法有:①相鄰元素歸并法（捆綁法）;②相離元素插空法;③定位元素優(yōu)先安排法；④有序分配依次分組法;⑤多元素不相容情況分類法;⑥交叉問題集合法；⑦混合問題先組合后排列法；⑧“至少”“至多”問題間接排除法.Am1深化升華利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算、證明時(shí)，要正確地選用公式，同時(shí)注意A,C中m≤n這個(gè)隱含條件。在利用組合數(shù)公式計(jì)算、化簡(jiǎn)時(shí),要靈活運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)，一般地，計(jì)算C時(shí),若m比較大，可利用性質(zhì)①,不計(jì)算C而改為計(jì)算C一m，在計(jì)算組合數(shù)之和時(shí)，常利用性質(zhì)②.問題·探究5元素的一個(gè)排列，其中設(shè)排在前面的隊(duì)為主場(chǎng)比賽。總共比賽的場(chǎng)次，就是從12個(gè)不同元素探究：在解排列、組合應(yīng)用問題時(shí),要注意三點(diǎn)：①仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題，或者是二者的混合；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程分步；②深入分析,嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，不重不漏，要多角度分析，分類考慮；③對(duì)于有限制條件的比較復(fù)雜的排列組合問題，要通過分析設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡(jiǎn)單問題后運(yùn)用分類加法或分步乘法計(jì)數(shù)原理來解決.地之間距離各不相同,而車票價(jià)格取決與路程的遠(yuǎn)近,并且任意兩地之間的來回票價(jià)相同，問客運(yùn)公司需要準(zhǔn)備多少種票價(jià)的車票?需要準(zhǔn)備多少種車票?以車票也不相同，也就是票的種數(shù)與順序有關(guān)。而無論從哪兒到哪兒，票價(jià)不變，如從2種.而車票的種數(shù)相當(dāng)于從三個(gè)元素中任取兩個(gè),然后按一定順序排列，即A=3×2=6種.事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步.解決此類的實(shí)際應(yīng)用題,通常從三個(gè)途徑考慮:一是以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素。二是以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。三是先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組典題·熱題整體排成一列，共有A種排法；第二步是把7與8插入第一步中的三個(gè)整體之間,共有A種排A.A.A種排法。所以組成這樣的八位數(shù)共有A.A.A.A.A=576個(gè)。元素與其余元素全排列,然后再松綁,將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列，而元素不相鄰問題，一般用“插空法"，先將不相鄰元素以外的元素的普通元素全排列，然后在普通元素之間及兩端插入上述方法可歸納為:元素要相鄰,看成一整體;元素不相鄰，見縫插進(jìn)去.個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)).每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排答案:5832游覽,要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市,且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，7則不同的選擇方案共有(）被選中一人但是去其他三個(gè)城市游覽;被選中2人但是去其他三個(gè)城市游覽”三類來考慮,顯然較為復(fù)雜.若間接求解，則只須將總數(shù)A中減去甲、乙中有1人去巴黎游覽的方案種數(shù)2A，即不同的選擇方案共有A-2A=240種.方法歸納對(duì)排列問題或組合問題，當(dāng)正面考慮較繁或難以下手時(shí),不妨從反面入手，即用間接法。用間接法求解的常見題型有：至少型、至多型、否定型、重復(fù)型等.例3判斷下列各事件是排列問題，還是組合問題,并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)。(2)10個(gè)人規(guī)定相互通一次電話,共通了多少次電話?解1）是排列問題.因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有區(qū)別的.排列數(shù)為A=90種.(2）是組合問題.因?yàn)榧着c乙通了一次電話,也就是乙與甲通了一次電話，沒有順序的區(qū)別。組(3）是組合問題.因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別。組合數(shù)（4)是組合問題.因?yàn)槿齻€(gè)代表之間沒有順序的區(qū)別.組合數(shù)為C=120種.（5）是排列問題。因?yàn)槿齻€(gè)人中,擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的.排列數(shù)為A=720種。8方法歸納區(qū)別排列與組合問題，先確定完成的是什么事件，然后看與順序有關(guān)的是排列，與順序無關(guān)的是組合。思路分析:該例中的每一個(gè)小題都是有限制條件的排列問題，除了應(yīng)注意題目中要求的明顯條件外，還應(yīng)注意隱含條件“0不能排在首位”。解:（1）符合條件的四位偶數(shù)可以分為三類：第一類:0在個(gè)位時(shí)有A個(gè)；有A種，于是共有A·A個(gè).第三類:4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理,也有A·A個(gè)。由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A+A·A+A·A=156個(gè)。第一類：形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A?A個(gè);第二類:形如14□□,15□□,共有A?A個(gè);第三類：形如134□,135□,共有A?A個(gè).深化升華不同數(shù)字的無重復(fù)排列是排列問題中的一類典型問題，其常見的附加條件有：奇偶數(shù)、位數(shù)關(guān)系、大小關(guān)系等,也可以有相鄰問題、插空問題，也可以與數(shù)列等知識(shí)相聯(lián)系等。解決這類問題的關(guān)鍵是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么，給出了什么樣的附加條件；然后按特殊元素（位置)的性質(zhì)分類（每一類的各種方法都能保證事件的完成)，按事件發(fā)生的連續(xù)過程合理分步來解決。（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一思路分析:本例集排列組合多種類型于一題，應(yīng)充分利用元素分析法（優(yōu)先考慮特殊元素）、位置分析法（優(yōu)先考慮特殊位置）、直接法、間接法、捆綁法、插空法、等機(jī)會(huì)法等常見的解題思路.先排甲有6種,其余有A種.故共有6×A=241920種排法.方法二：位置分析法方法三：等機(jī)會(huì)法9個(gè)人的全排列有A種,甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會(huì)都是均等的,依題意，甲不在中間及兩端的排9（4）插空法：先排4名男生有A種方法，再將5名女生插空,有A種方法，故共有A·A=5（5）方法一：9人共有A種排法，其中甲、乙、丙三人有A種排法，因而在A種排法中每A種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，故共有A=60480種排法。深化升華解決排列、組合綜合問題要遵循兩個(gè)原則:(1）按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步;(2）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，具體地說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：①以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù)。-1進(jìn)行拆項(xiàng)，使中間的很多項(xiàng)相消，以求得它們的和.…+=+++…+