要用=====正弦定理余弦定理應用舉例(整理版)

1.2正弦定理余弦定理應用舉例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量:①距離問題、②高度問題、③角度問題、④計算面積問題、⑤航海問題、⑥物理問題等.2.實際問題中的常用角（1）仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線

叫仰角,目標視線在水平視線

叫俯角（如圖①）.

上方下方(2)方位角指從

方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）.正北（3）坡度：坡面與水平面所成的角的度數.問題1.A、B兩點在河的兩岸(B點不可到達)，要測量這兩點之間的距離。測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B兩點間的距離（精確到0.1m).分析：所求的邊AB的對角是已知的,又知三角形的一邊AC,根據三角形內角和定理可計算出邊AC的對角,根據正弦定理,可以計算出邊AB.解：根據正弦定理，得答：A、B兩點間的距離為65.7米。例2、A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。分析：用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離，再測出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計算出A、B兩點間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a,并且在C、D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在?ADC和?

BDC中，應用正弦定理得計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離ABCD30°45°30°60°分析：在△ABD中求AB在△ABC中求AB練習選定兩個可到達點C、D；

→測量C、D間的距離及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大??；→利用正弦定理求AC和BC；

→利用余弦定理求AB.測量兩個不可到達點之間的距離方案：形成規(guī)律在測量上，根據測量需要適當確定的線段叫做基線,如例1中的AC，例2中的CD.基線的選取不唯一，一般基線越長，測量的精確度越高.形成結論題型一與距離有關的問題要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距km的C、D兩點,并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之間的距離.

分析題意，作出草圖，綜合運用正、余弦定理求解.題型分類深度剖析解如圖所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得

求距離問題要注意：（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.(3)閱讀課本第11頁和第12頁的例1,例2的距離測量方法.[例2].在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°,則塔高為 （）

解析作出示意圖如圖，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，則BD=AD·tan∠BAD=A題型二與高度有關的問題

解斜三角形應用題的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫出示意圖；（3）分析與問題有關的三角形；（4）運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形,逐步求解問題的答案；（5）注意方程思想的運用；（6）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識.[例3].在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向,距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10

nmile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D

處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.題型三與角度有關的問題則有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.解:設緝私船用th在D處追上走私船，[例4]如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點C在AB的延長線上，BC=1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值.題型四正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用解設∠POB=θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得PC2=