高思奧數導引小學五年級含詳解答案第08講：直線型計算二

第8講：直線形計算二

內容概述：

進一步學習直線形面積公式的運用；學會將線段倍數關系與面積倍數關系進行相互轉化；初

步學習添加輔助線的分析方法。

典型問題：

興趣篇

1.如圖8-1,四邊形AB。。是直角梯形。其中4）=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15

（厘米），且三角形4）￡、四邊形。EB尸、三角形CCF的面積相等。陰影三角形

的面積是多少平方厘米？

2.一塊長方形的土地被分割成4個小長方形，其中三塊的面積如圖8-2所示（單位：平方

米），剩下一塊的面積應該是多少平方米？

3.如圖8-3,在三角形ABC中，BC是OC的三倍，AC是EC的3倍。三角形DEC的面

積是3平方厘米。請問：三角形A8C的面積是多少平方厘米？

27

4.如圖8-4,E是8c上靠近C的三等分點，且ED是AD的2倍。三角形43c的面積為36

平方厘米。三角形5ZJE的面積是多少平方厘米？16

洌8-5

4.如圖8-5所示，已知三角形8EC的面積等于20平方厘米，E是4?邊上靠近8點的四

等分點。三角形曲的面積是多少平方厘米？平行四邊形。EC尸的面積是多少平方厘

米？

【分析】連接AC,由于三角形的面積是20平方厘米，而AE:E3=3:1,所以三角形

AOE的面積是60平方厘米，則三角形。E尸的面積是80平方厘米，則平行四邊形OEC尸的

面積是160平方厘米。

6.如圖8-6,已知平行四邊形A8c。的面積為36,三角形A。。的面積為8。三角形80c的

面積為多少？

7.如圖8-7,長方形A8CD的面積是96平方厘米，E是45邊上靠近。點的三等分點，產是

C。邊上靠近C點的四等分點。陰影部分的面積是多少平方厘米？

8.如圖8-8,將一個長為18的長方形，分成一個三角形和一個梯形，而且梯形的面積是三角

形的5倍。三角形相￡的邊的長是多少？

圖8-8

9.如圖8-9,把一個正方形的相鄰兩邊分別增加3和5厘米,結果面積增加了71平方厘米（陰

影部分）。原正方形的面積為多少平方厘米？49

圖8-9圖8-1()

10.如圖8-10,四邊形A8CO內有一點。，。點到四條邊的垂線都是4厘米。四邊形的周長

是36厘米。四邊形的面積是多少平方厘米？

拓展篇

1.如圖8-11,有9個小長方形，其中的5個小長方形的面積分別為4、8、12、16、20平

方米。其余4個長方形的面積分別是多少平方米？

2.如圖8-12中三角形ABC的面積是180平方厘米，。是BC的中點，的）是AE的3倍。

三角形叱的面積是多少平方厘米？

圖8-11圖8-12圖8-13

3.如圖8-13,在四邊形ABC/）中，已知C/）=3DF,AE=3ED,而且三角形8FC的面積

為6平方厘米，四邊形的罰的面積為7平方厘米。大四邊形A8CO的面積是多少？

4.如圖8-14,把三角形。瓦'的各邊向外延長1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面

積為1。三角形。砂的面積是多少？

5.如圖8-15,E是AB邊上靠近A點的三等分點，梯形48C。的面積是三角形AEC面積的

5倍。請問：梯形的下底長是上底長的幾倍？

6.如圖8-16,一個長方形被分成4個不同顏色的三角形，紅色三角形的面積是9平方厘米，

黃色三角形的面積是21平方厘米，綠色三角形的面積是10平方厘米，那么藍色三角形

的面積是多少平方厘米？

7.圖8-17中，正方形488的面積為1。把每條邊都3等分，然后將這8個等分點與正方

形內部的某一點P相連接，形成4個陰影的四邊形和4個空白的三角形。陰影部分的總

面積是多少？

8.如圖8-18,在梯形ABC。中，E是43的中點。己知梯形A3C￡＞的面積為35平方厘米,

三角形曲的面積為13平方厘米。三角形BCE的面積為多少平方厘米？

圖8-18

9.在圖8-19中，正方形和正方形ECFG底邊對齊，兩個正方形邊長分別為6和4。三

角形4CG和三角形比方的面積分別是多少？

圖8-19

10.圖8-20是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構成，有一條與"邊平行的

直線所將此圖形分成面積相等的兩部分，那么8b的長度為多少厘米？

-4B

E----------------------------------------F

8

1012

圖8-20

11.(1)如8-21中左圖所示，把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結果面

積增加了50平方厘米（陰影部分）。原正方形的面積為多少平方厘米？

（2）如圖8-2中中間圖所示，把一個正方形的相鄰兩邊減少3厘米與減少5厘米，結果面

積減少了65平方厘米（陰影部分），則原正方形面積為多少平方厘米？

圖8-21圖8-22

超越篇

1.如圖8-23,三角形ABC的每邊長都是96厘米，用折線把這個三角形分割成面積相等的四

個三角形。請求出CE和C尸的長度之和。

圖8-23圖8-24

2.如圖8-24,把四邊形ABCD的各邊都延長1倍，得到一個新四邊形EFGH。如果ABC。的

面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米？

3.圖8-25中ABC。是正方形，圖中數字是各線段的長度（單位：厘米）。過/點的線段將

五邊形EFGH1分成面積相等的兩部分。線段BM的長度是多少厘米？

5.如圖8-26,在鈍角三角形ABC中，用為回邊的中點，MD、EC都垂直于8C邊。若

三角形助區(qū)的面積是3平方厘米，則三角形ABC的面積是多少？

6、在圖8-27中，大正方形面積比小正方形面積大40平方厘米。大正方形面積是多少平方

厘米？

20厘米

圖8-27圖8-28

5、如圖8-28,直角三角形A8C的三邊長分別為AC=30（分米），AB=18（分米），8c=24

（分米），區(qū)＞垂直于AC,且ED=95（厘米）。問正方形8FEG的邊長是多少厘米？

6、菜鳥和大蝦在武林大會上相遇，爭奪武林盟主的地位。三百回合大戰(zhàn)后，兩人不分勝負。

突然，菜鳥向對手發(fā)出一枚飛鏢。說時遲，那時快，飛鏢已經接近大蝦的胸口，只見大

蝦迅速抽身向左閃開，同時用手中的寶劍向飛鏢劈去，只聽見"瞠"的一聲，飛鏢被劈成

了兩半。如圖8-29,菜鳥的飛鏢是正六角星的形狀，邊長為5。被大蝦劈開的刀口如虛

線所示，那么較小的那部分殘片占到整體面積的幾分之幾？

8.如圖8-30,將三個邊長為1的正方形組合在一起，中間的正方形的兩個頂點恰好是另外

兩個正方形的中心。請問：圖中陰影部分的面積是多少？

E

D

第8講：直線形計算二

內容概述：

進一步學習直線形面積公式的運用；學會將線段倍數關系與面積倍數關系進行相互轉化；初

步學習添加輔助線的分析方法。

典型問題：

興趣篇

6.如圖8-1,四邊形A8CO是直角梯形。其中4）=12（厘米），48=8（厘米），BC=15

（厘米），且三角形45E、四邊形皿近、三角形CD尸的面積相等。陰影三角形o所的

面積是多少平方厘米？

3

【分析】令4E的長度為x厘米，則CF的長度為一x厘米，則有:

2

15--1xjx8+（8-x）xl2

x-=6x

2

解之得：x=6。

所以陰影三角形DE尸的面積是：S陰=6x12+2—2x6+2=36-6=30（平方厘米）。

7.一塊長方形的土地被分割成4個小長方形，其中三塊的面積如圖8-2所示（單位：平方

米），剩下一塊的面積應該是多少平方米？

【分析】最后剩下的那塊面積應為：40x15+30=20（平方米）

A

8.如圖8.3,在三角形48c中，8c是DC的三倍，4c是EC的3倍。三角形OEC的面

積是3平方厘米。請問：三角形48c的面積是多少平方厘米？

27

1

【分析】S：加形DEC-CEXCDJ.L

9-

S三角形ABCBCxAB33

所以三角形ABC的面積是27平方厘米。

4.如圖8-4,E是BC上靠近C的三等分點，且EQ是AD的2倍。三角形4BC的面積為36

平方厘米。三角形皿花的面積是多少平方厘米？16

【分析】由于三角形ABC的面積是36平方厘米，而BE:BC=2:3,所以三角形8DE的面

積是24平方厘米。同理，三角形8OE的面積是16平方厘米。

9.如圖8-5所示，已知三角形BEC的面積等于20平方厘米，￡是他邊上靠近8點的四

等分點。三角形曲的面積是多少平方厘米？平行四邊形OEC尸的面積是多少平方厘

米？

【分析】連接AC,由于三角形BEF的面積是20平方厘米，而AE:EB=3:1,所以三角形

AQE的面積是60平方厘米，則三角形。EF的面積是80平方厘米，則平行四邊形。ECF的

面積是160平方厘米。

6.如圖8-6,已知平行四邊形ABC。的面積為36,三角形A。。的面積為8。三角形BOC的

面積為多少？

AED

【分析、根據題意，陰影部分面積之和為平行四邊形面積的一半，由于三角形AD。的面積

是8,則三角形08c的面積為10。

7.如圖8-7,長方形A8C￡＞的面積是96平方厘米，E是4）邊上靠近。點的三等分點，尸是

CD邊上靠近C點的四等分點。陰影部分的面積是多少平方厘米？

一211

【分析】由于S三角形ME=§X]XS長方形=§S長方形=32；

1

S2

=XX---

長

S三角形BFC7ZS長方形8方形

所以陰影部分的面積是：96-32-12-12=40（平方厘米）。

8.如圖8-8,將一個長為18的長方形，分成一個三角形和一個梯形，而且梯形的面積是三角

形的5倍。三角形"E的邊BE的長是多少？

圖8-8

【分析】由于梯形的面積是三角形面積的5倍。所以長方形面積是三角形面積的6倍。

連接AC,則BE:BC=1:3。所以BE的長度是6厘米。

9.如圖8-9,把一個正方形的相鄰兩邊分別增加3和5厘米,結果面積增加了71平方厘米（陰

影部分）。原正方形的面積為多少平方厘米？49

【分析】令原來正方形的邊長為。，則新增加的面積為：5a+3（5+a）=71,解之得：a=7

所以原正方形的面積為49平方厘米。

10.如圖8-10,四邊形ABC。內有一點。，。點到四條邊的垂線都是4厘米.四邊形的周長

是36厘米。四邊形的面積是多少平方厘米？

【分析】根據題意，連接。小OB、OC、OD,則四邊形的面積為：36x4+2=72（平方

厘米）。

拓展篇

9.如圖8-11,有9個小長方形，其中的5個小長方形的面積分別為4、8、12、16、20平

方米。其余4個長方形的面積分別是多少平方米？

【分析】根據題意，。的面積為：4x16+8=8（平方厘米）；

匕的面積為：12x16+8=24（平方厘米）；

同理可證明，c=10,J=30

4a12

816b

C20d

10.如圖8-12中三角形ABC的面積是180平方厘米,。是BC的中點，AQ是AE的3倍。

三角形4俎的面積是多少平方厘米？

圖8-11圖8-12圖8-13

【分析】由于。是中點,所以三角形ABD的面積為90平方厘米。所以三角形ABE的面積

為30平方厘米。

11.如圖8-13,在四邊形ABCO中，已知C￡>=3OF,AE=3ED,而且三角形BFC的面積

為6平方厘米，四邊形班班的面積為7平方厘米。大四邊形A8C0的面積是多少？

【分析】連接BO，由于C/：Ob=2:l,則有三角形8。F的面積為3,三角形OEB的面

積為4,又由于AE:QE=3:1,所以三角形ABE的面積為12。所以大四邊形A8CC的面積為：

6+3+4+12=25（平方厘米）；

12.如圖8-14,把三角形QE尸的各邊向外延長1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面積

為1。三角形比尸的面積是多少？

S三角形DEF=EFxDF_

S三角形AFCCFxFA2

所以三角形AFC的面積為2份，同理，三角形ABC的面積為2份，三角形的面積為2

份。則三角形ABC的面積為7份，為1,。

所以S三角形0EF=~'

13.如圖8-15,E是"邊上靠近A點的三等分點，梯形A8CO的面積是三角形4EC面積的

5倍。請問：梯形的下底長是上底長的幾倍？

【分析】根據題意，令三角形AEC的面積為1份，則三角形BEC的面積為2份。梯形ABC。

的面積為5份，所以三角形ADC的面積為2份。

3

則梯形的下底面長是上底長的：==1.5倍。

2

14.如圖8-16,一個長方形被分成4個不同顏色的三角形，紅色三角形的面積是9平方厘米，

黃色三角形的面積是21平方厘米，綠色三角形的面積是10平方厘米，那么藍色三角形

的面積是多少平方厘米？

圖8-16圖8-17

【分析】根據題意，由于黃色+綠色=紅色+藍色=長方形面積的一半。

所以藍色三角形的面積為：21+10-9=22（平方厘米）。

15.圖8-17中，正方形A8CD的面積為1。把每條邊都3等分，然后將這8個等分點與正方

形內部的某一點P相連接，形成4個陰影的四邊形和4個空白的三角形。陰影部分的總

面積是多少？

【分析】根據題意，連接以、PB、PC、PD,每一個小三角形內陰影部分的面積均為其中

22

的］。所以陰影部分的面積是§

8.如圖8-18,在梯形A8C3中，E是的中點。已知梯形ABCO的面積為35平方厘米,

三角形的面積為13平方厘米。三角形BCE的面積為多少平方厘米？

圖8-18

【分析】根據題意，由于梯形的面積為35平方厘米，而三角形A8Q的面積為13平方厘米，

所以三角形DBC的面積也為22平方厘米。所以三角形ABC的面積也為22平方理米，則三

角形BEC的面積為11平方厘米。

9.在圖8-19中，正方形43ES和正方形ECFG底邊對齊，兩個正方形邊長分別為6和4。三

角形ACG和三角形BDF的面積分別是多少？

圖8-19

【分析】（1）根據題意，連接E4,則根據蝴蝶模型，由三角形AG。的面積與三角形E。。

的面積相等，所以所要求的陰影部分面積為正方形GFCE的一半，即為：4x4+2=8；

（2）連接FE,則三角形8尸。的面積與三角形。0E的面積相等。

則圖中陰影部分發(fā)呢面積為正方形面積的一半，為6x6+2=18。

10.圖8-20是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構成，有一條與A3邊平行的

直線即將此圖形分成面積相等的兩部分，那么8尸的長度為多少厘米？

;____________________B

E----------------------二2ZZF

8

1012

圖8-20

【分析】令8尸的長度為羽則有：

20x+10（x-2）=22x（12-x）+8（8-x）,解之得：x=5.8。

所以8F的長度為5.8厘米。

11.（1）如8-21中左圖所示，把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結果面

積增加了50平方厘米（陰影部分）。原正方形的面積為多少平方厘米？

（2）如圖8-2中中間圖所示，把一個正方形的相鄰兩邊減少3厘米與減少5厘米，結果面

積減少了65平方厘米（陰影部分），則原正方形面積為多少平方厘米？

圖8-21圖8-22

【分析】（1）根據題意，令原正方形的邊長為。，則有：4“+2（a+4）=50,解之得；a=7。所以

原正方形的面積為/=49。

（2）根據題意，令原正方形的邊長為。，則有：5a+3（a—5）=65,解之得：所以原

正方形面積為100.

12.如圖8-22,直角三角形A8C套住了一個正方形CQE尸，E點恰好在AB邊上。直角邊AC

長20厘米，8c長12厘米。正方形的邊長為多少厘米？

【分析】令這正方形邊長為。，則有：

a2+(20-a)xaxg+(12-a)xaxg=16a=12x20+2

解之得：a=7.5,則正方形的邊長為7.5厘米。

超越篇

1.如圖8-23,三角形4BC的每邊長都是96厘米，用折線把這個三角形分割成面積相等的四

個三角形。請求出CE和CF的長度之和。

圖8-23圖8-24

2

【分析】由于S三角形小：S三角切卯=1:2,所以CE=§BC，則CE=64（厘米）：

3

而由于S儲.?街招Bnc=l：3,所以DC=-AC=72（厘米），所以CF=36（厘米）。

則兩者的長度和為：64+36=100（厘米）。

2.如圖8-24,把四邊形4BC。的各邊都延長1倍，得到一個新四邊形。如果ABC。的

面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米？

【分析】連接BD,有AEAH,A4BD中ZEAD+ZBAD=180P,又夾成兩角的邊EA,AH.

￡AxAH

AB.A￡）的乘積比7，---------=2,所以S—仇w=2s-缶也。

AJOx一角心-.用形E4/J

類似的，還可得

S三角形FCG=2s三角形B8，

有$三角形EAH+5三角形FCG=2（S三角形ABD+$三角形BCD）=1。

同理可證：S三角形EBF+S三角DUG=2（S三角形ABD+$三角形BCD）=1。

所以四邊形EFG”的面積是：25立方厘米。

3.圖8-25中ABC。是正方形，圖中數字是各線段的長度（單位：厘米）。過/點的線段將

五邊形EFGHI分成面積相等的兩部分。線段BM的長度是多少厘米？

【分析】S五邊形=8x8—2x5+2-3x4+2—4x2+2—1x6+2=46

所以五邊形面積的一半為23.

而連接尸/,三角形EF/的面積為：”5）x8-5x2+2—6x1+2=24-8=16

2

所以§三角形FM/=；尸加x8=7

所以用W的長度為1.75厘米，所求的長度為2.75厘米。

10.如圖8-26,在鈍角三角形ABC中，用為回邊的中點，MD、EC都垂直于BC邊。若

三角形比花的面積是3平方厘米，則三角形4BC的面積是多少？

【分析】連接MC,根據梯形蝴蝶模型，可知：三角形OEM的面積=三角形CDM的面積。

所以三角形BDE的面積與三角形CMB的面積相等,均為3厘米，又由于M為中點，所以三

角形A8C的面積為6.

7、在圖8-27中，大正方形面積比小正方形面積大40平方厘米。大正方形面積是多少平

方厘米？

v-

20厘米