彈性波動力學(xué)

彈性波動力學(xué)

主要內(nèi)容：

O緒論

第一章：應(yīng)力與應(yīng)變

第二章：波動方程

第三章：波動方程的解

第四章：克?；舴蚍e分解

第五章：波動理論的實際應(yīng)用

1、波動方程模型正演

2、波動方程偏移

第六章：復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播概述

緒論

1、地球物理學(xué)的基本思想，學(xué)術(shù)地位，應(yīng)用領(lǐng)域，

起源：第一次世界大戰(zhàn)

發(fā)展：20年代：折射波

30年代：反射波

60年代：反摺積，濾波，數(shù)字地震儀，數(shù)字處理理論。

70年代：偏移感念，3D地震，VSP出現(xiàn)

90年代：高分辨率地震勘探，3D,4D,可視化技術(shù)，多波，地震CT

2、震勘探的發(fā)展及基本狀態(tài)

3、地震學(xué)分類：兒何地震學(xué)，地震波動力學(xué)

4、地震波動力學(xué)的發(fā)展及應(yīng)用

5、地震勘探中的若干概念：

波；波前（波面）；波后；入射波；反射波；折射波；透射波；波的振幅，頻率,

周期；振動圖與波剖面；非馬原理；惠更斯原理。

第一章：應(yīng)變與應(yīng)力

1-1基本概念及其數(shù)學(xué)描述（有關(guān)數(shù)學(xué)問題）

一向量及其運算

1向量的摸及方向余正玄

向量：A=al+aJ+azk

/、

見，

A=%,

記春彳=（%，%，生）或者

向量的模：1由=也;+」,2+42

N與三個坐標(biāo)軸的夾角為：以民力

a

cosa--4=■,cosBn--==v■,cosr=-=a=,?

IAIIAIIAI

且有：cos2a+cos2（3+cos2/=1

2向量的內(nèi)積（點積，標(biāo)量積）

記著：不下

彳方=面1歷cos。，。為兩個向量之間的夾角。

若彳=（%,%,%）/=（%%也）

則N/=。也+。也+。也

3向量的外積（叉積，向量積）

記著："是一向量

長度：IAx/1=IAII,Isin。

方向：垂直于兩個向量組成的的平面。由右手規(guī)則確定

mxIl=rXll]lsin6

（T二7A

iJk

=axayaz

I、%外）

物理含義：l/x?為兩向量構(gòu)成平行四邊形的面積

4三向量的混合積

三垂向積定義為一個向量記為：（'、'卜乙，這一向量在A,B兩向量組成的平

面內(nèi)，有如下關(guān)系：

（Ax8）xC=（CA）8-（CB）A

二向量的微分與積分

1向量的微分

假設(shè)一個向量函數(shù)而）=（%（）%?），%?））

其導(dǎo)數(shù)也是一個向量，表示為：

dA_（dafdayda一、

dt（力，力，力,

d2A

二階導(dǎo)數(shù)記為：H

運算法則：.⑺，瓦。為向量，①⑺為標(biāo)量函數(shù)。

[4（f）+8（f）I=A+B

[①⑺=①4+①A

?（r）B[t}]=AB+^A

=AxB+^xA

2向量函數(shù)的積分

若向量函數(shù)力（'）的三個分量見⑴，%⑺，%⑴均為連續(xù)函數(shù)，則向量彳（,）的積分

可表示為：

0?）,〃=Q?>〃+jj?v⑺力+k[生0w

運算法則：a為常數(shù)，c為向量

JfA（r）+B（t）]dt=^Adt+^Bdt

j[CA（t）]dt=C\Adt

j[CxA（r）lc/r=Cx^Adt

三積分中值定理

假設(shè)函數(shù)/（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點C使得:

b

]7（犬加=/?（/?-a）

?,這就是積分中值定理，

][|7（x,y,z>/s=/（x*,y*,z*）s（*1

體積分：平S面上存在一點U，》，名）

則…辦V內(nèi)存在一點（2，力

四張量的概念

標(biāo)量：〃=N°=1

向量：N=N'=3

張量：〃=叱=9

N上面的指數(shù)稱為向量的“秩”，〃為向量分量的個數(shù)。在三D坐標(biāo)中（N）

如：向量，（》，"%）=（見“,7）,%?%力巴",力）是在（x,y,z）處的變化率.，

即：分別是對x,y,z求偏導(dǎo)數(shù)，得到％心―，％—①/按照矩陣排列

即：

/、

冊，品

ayxayyayz

、1%aJ這個方陣即為張量

1-2應(yīng)變應(yīng)力分析

一位移梯度

op=r=[x,y,z)

"■―/*?*\

op=r=(x,y,z)

而一相對很小時,

Awxdu=(d",dy,dw)=〃(r+d〃)一〃(r)

,du,du.du,

au=—dx-v—dy-^—dz

dxdydz

,dv,而」dv,

dv=——axH----dvH-----az

dxdy公

,dw,.dw.

aw———dx4-----ay-\-----dz

dxdydz

寫成矩陣形式:

du-Adr

du'

瓦￥

小

小

區(qū)

不

也

也

du=dvdy

式中：a

、dzJ(dxdydz?

一般稱矩陣A為P點的位移梯度

位移梯度的兒何意義

dr*=dr+du=dr+Adr=(/+A)4r

'ioO'

O10

I是單位矩陣1°0JP*0=(/+A)P。

過P點的線元硬，變形后為"由上算式可以看出：位移梯度正好反映了小

線元變形后所發(fā)生的方向與長度的變化。

二應(yīng)變張量

r=r+“(r)dr=(/+A)<7r

過P點的小線元di的長度M萬，變形后長度?

小線元的相對變化

\dr\-\dr\

I=--------------=1

\dr\

u-空與、

假設(shè)dr的方向余玄為:dr\\dr\\dr\)

用晶表示P點在藍(lán)方向上線元的伸長度，由于晶的任意性，所以常稱而為P點

的應(yīng)變狀態(tài)(應(yīng)變狀態(tài)是指物體內(nèi)一點在各個方向上的線元伸長度的總稱)

\dr\=■yjdx2+dy2+dz2

dr*=dr+dudy,+dv,Jw)

=(dx+du,dy+dv也+dw)

IdrI=《(dx+duj+(dy++(dz+dvv)2

一2/、i[

=\dr\flH----=r(dxdu+dydv+clzdw)+—=(du2+dv2+dw2]]2

\dr\2\dr\-'

在小變形的情況下，任意向量很小，即如，外,dw都很小。省略乘積項后，按

(/1+XJ)2=.1H--1-X

近似公式展開，I72

則：

\dr^\=\dr\[\+—=(dxdu+dydv+dzdw)]

\dr\2

,,*一]

\lm1=-=-(dxdu+dydv+dzdw)

因此：M/

1/du,du,du,]dv.dv.dv.\.

[——dx-\----dy-\-----dzdxf+——ax-\----dy-i-----azdy

IJH7(dxdydz)dxdydzJ

dw,dw,dw,Y

+——ax+——ay+——az]

、dxdydz

y

dul2dv2dw2(duYdvdw(du.

—/+—m+—n+—+—bn+—H------mn+—+—nl

dxdydz[②bx,dy)\dzdx)

引入符號:

dvdw

p——p=—

方獷'北女'

1(du加]

1(dv0〃'21Szdx)

e=-------1------

沖dy)

a=el2+em2+e?n2+2el+2emn+2enl

nxvyyzzxymntyc

m=nErT

n)

上式揭示了彈性體積變形中的一個規(guī)律：對于任意一點P，在任意給定方向

上〃，線元伸長度（P點的應(yīng)變狀態(tài)）由矩正E確定。因此矩正E描述了物體內(nèi)

各點的應(yīng)變狀態(tài)，并稱E為應(yīng)變張量；應(yīng)變張量有6個獨立的元素。

當(dāng)〃取X的正方向時，〃=（1，。，。）=，

]=(I,O,O)E|01=

同理:

這三者分別表示x,y,z方向上的伸長度，稱為正應(yīng)變，位于E的主對角線上。

應(yīng)變張量中另外三個元素的含義，引入變形中剪切的概念，設(shè)過P點兩個線元,

肛,“2,變形后過P*點的兩個線元〃*，蟲，如果而，在之間夾角為90度,

r-（___口）一一

人，"弓之間的夾角為a,則稱角度2為P點在兩個方向上的剪切,

由此可以說明的物理意義。

⑼⑼，且取1旬IT%1=1

記P點在X,Y方向上的剪切為飛

..(71、dr；dr*

sinr=sin----a=cosa=—-----=r

不(2)\dr；\\dr；\

+d/)(d6+d〃2)

|癡||石

_drxdr2+dr[du2+du]dr2+du]du2

又：

\dr\\=\drt1(1+le,1)=1+ei

在小變形的情況下有：

sin%=qyq1丐1

可以不計，d*dZ=c(互相垂直)

且在=duAdu2+dv,dv2+"卬/卬2是小乘積,

■一.一???3?/—?\一?/<

)

則rvv=dr}du2+dr2du}=dr](41弓)+4弓(40

(dududu(dudiidu

dz

/j\dxdydz/Qxdxd：》rn

_dvdvdvj_|_jdvd匕在0

dxdydzdxd、，以。

loj'lojto)

dwdwdwdwdxvdw

、dxdydz)\dxd：ydz)

dudv_1

=----1----=2e”p——r

此式表明：?是P點在X,Y兩軸方向上剪切的一半；同理可以得到:

xz的含義，并且稱之為切應(yīng)變。

三應(yīng)力分析

應(yīng)力：M為物體內(nèi)一點，過M點任意做一曲面，把彈性體分成甲乙兩部分，甲

部分外法線］

在曲面上取一含［點的面元s,設(shè)乙部分通過s作用于甲部分的合力為

如果存在下列極限：

則稱巴（加）為M點，曲面法向量G的應(yīng)力向量，應(yīng)力向量既與點的位置有關(guān)，

又與曲面的法向量有關(guān)，且可以看出，應(yīng)力不是力而是單位面積上的力，一點在

各個不同的曲面法向量的全體｛不（^）｝稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。

M點在i方向上，0二=一%

在應(yīng)變分析時得到結(jié)論：

一--,

一點的應(yīng)變狀態(tài)有應(yīng)變張量決定，即由三個正應(yīng)變和三個切應(yīng)變所確定，

下面討論應(yīng)力狀態(tài)情況：

以M點為頂點做四面體MABC；MA,MB,MC分別平行X,Y,Z軸，設(shè)ABC

的單位外法向量為："（〃，，％，%）,面積為：s,則三個側(cè)面面積分別為：

nxs,〃vs.nzs

v=—hS

M到ABC的距離為H,四面體的體積為：3;四面體各個面上的應(yīng)力

可寫為:

%，"）,一；外力記為f,四面體處于平衡狀態(tài),合力為零。

JJ］7dv+JJ承s+"又以+口三刃+JJ不ds=O

abctnbcmcamab

由積分中值定理，上式可以寫成:

f—hs+cr-s+<J^us+cr-Nys+cr"%s=o

3wx

式中r，。”表示對應(yīng)某點的取值；令四面體積收縮到M點，從而得到M點的應(yīng)

力向量關(guān)系式；%*=%*%+%*%+4*2.................1

上式表明：如果已知一?點的各坐標(biāo)平面上的應(yīng)力向量，則可以確定經(jīng)過這點的任

意截面的應(yīng)力向量，由于坐標(biāo)系是任意的，因此，一點的任意三個相互垂直截面

上的應(yīng)力向量完全確定這一點的應(yīng)力狀態(tài)。將上式用坐標(biāo)分量表示如下：

了=4“；+%，+以

°；=%/+。"1+，仄

.2

by

2式代入1式得到：

<7?,=<rmnx+an+an

O"=w〃\+%〃.、+/〃：）

將上式寫成矩陣形式：丐=7"

T描述了這一點的應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力張量，有9個分量，這是一個對稱矩正,

有六個獨立分量，對角線上為主應(yīng)力，其他為切應(yīng)力。

1-3廣義胡克定律（應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系）

■若干概念

正應(yīng)力

e楊氏模量=

正應(yīng)變

切應(yīng)力

〃切變模量=

切應(yīng)變

壓縮

丫泊松比=

V—V

體應(yīng)變：6=:（體積的相對變化率）

匕一分別是在圍壓巳尸作用下的體積。P-P。=一如代稱為體變模量）

體變模量=%鬻必參數(shù)）=女一3入…起稱為拉梅系數(shù)，在五個變量中,

只有兩個是相互獨立的;如已知兒〃，其他三個可以表示為:

dx.=dXj

dy-=dyi+(dv).

dz-=dzt+（dw）.

代入上式并按照行列式在性質(zhì)展開:

dy、(dx(dv\

x廢。rpw),肛xe(“叫'

v*=dxdy%+(da%+dxdy(dw)2

22dy22(八)22

dzj[(du\⑷3

的dy3d%也(Mj

z

zd\

r()

(du)(dv),以、\f"e/I孫(dw\四(g(”w)J({du\(dv\{dw\

zd\

+(!

+(d“)2⑷)2dz2dy2(dw)2T

\仇/2卜dx?⑷卜（dw）2+（甸2（?。ィㄐ∵?/p>

zdX

()d%(dw\,⑹3(6/VV)J[(d")3(di)(dw)

、(八)3(小小七k\/3也

由于是小變形，位移分量的乘積項可以略去，故最后四項可以略去，第一項是V,

第二項為：

(z

包

包

/包

四

m+血+

\&yl

/z\

々

()辦Kayaz

包

\/Ir曳

血

勾

八

/\辦

l)%四

一++

辦

一

\/2及

私

八

z\力k

/)%血

加

Iv73r包

包

四+￥+

&”

Lk

dvdw

同理可以得到：第三，四項分別為：8“及“

*dudvdw

v=vd--v+—vd---v

所以&②&

八dudvdwv*-v

(7=---1---1---=e+e+e=-----

則：dxdy8z。v

2

e=〃(3%+2〃)V=2(/1+〃)

耳〃,,2

k=4+q〃

如已知：e#則%〃，々可以表示為:

ev

(1+v)(l-2w)

2(l+v)

3(l-2v)

二體應(yīng)變與應(yīng)變的關(guān)系

對于一平行六面體，應(yīng)變前后關(guān)系如下:

'dx、如dzC

v-dr?(叱xdq)=

dx2dy2dz2

/3

dy3dz3)變形前的體積

dydz*「

="■(叱*xdr*3)=

Vdx*2dy2d?*2

、dx*3dy”dz*3)

廣義胡克定律

實驗表明：應(yīng)變小時，應(yīng)變一應(yīng)力之間成線形關(guān)系，他們的關(guān)系用矩陣關(guān)系表示

(一\14cl5c16]

XX

CT

,vG]C22c23c24c25c26e”

%

。31。32。33。34。35。36%

°\vC41c42c43c44C45c46卜

%C51C52C53C54C55C56葭

[C61c62c63。64c65。66J

如下：產(chǎn),二)

這就是廣義胡克定律，系數(shù)矩陣成為彈性常數(shù)矩陣，有36個量，在均勻介質(zhì)中

是具有對稱性的，因而有21個獨立常數(shù)，在均勻各向同性介質(zhì)中有兩個獨立的

彈性常數(shù)，利用拉梅系數(shù)和廣義胡克定律表示如下：

T,="/+2點

7；為應(yīng)力張量，E是應(yīng)變張量

’100、%2%.2s、

a+2〃=

yx%7=A0010%2“e,,AO+2?evv

%J、°0bR%，、2"42uezie+2〃e一

b=+2uea=2〃e_

yyyyxqr

+4V=2〃4，

上式稱為物態(tài)方程。

1-4彈性介質(zhì)的機械能量

動能與勢能成為機械能

一彈性介質(zhì)的機械能

1、彈性勢能（應(yīng)變勢能）

彈性體在應(yīng)變過程中應(yīng)力做功，儲蓄一定的勢能，當(dāng)外力作用下消失后，彈性體

對外力做功，勢能轉(zhuǎn)化為動能，使它恢復(fù)原來的狀態(tài)，彈性體的截面積為S,長

度為L,沿X的伸長量屹“，正應(yīng)力為4,,作用在截面上的力為MM,應(yīng)變過程

中應(yīng)力應(yīng)變的變化所做的功：

dA=stdexx/,(cru.=EeJ

lcp~ryp

A=sIE\edexx=

022

這是彈性在應(yīng)變狀態(tài)下的勢能，稱為應(yīng)變勢能。

能量密度：單位體積所具有的能量稱為能量密度。

(

-psi—

動能:2ddt7

色繪，動能4/史］

2

則：單位體積內(nèi)的勢能是：2I況J

總的機械能密度為：

?1/X1㈤2

E=］（+%臼v+",+%鬼+%忌+":J+萬

考慮各項同性介質(zhì)：將X用應(yīng)變替代得：

/一、2

A1一/\1Ia?I

E=-1^.^+++o;、，4y+b、/.+^xe^）+-p—

2/W

二能流密度

設(shè)I向量是表示在單位時間內(nèi)通過與它垂直的單位截面積的機械能，稱為能流

密度。

胸

考慮體積V,其表面積為S,向量場I的通量：？是單位時間內(nèi)經(jīng)過表面S

散失的能量。

dh=nds,1是面元ds法線方向單位向量。設(shè)機械能密度為：E,則在V中總

Ev=fffEJv

機械能為：V，根據(jù)能量守恒原理：單位時間內(nèi)總機械能減少量：dt,

等于通過表面流失的能量，即：

的=.J喈源

sV

JjpzvWvV

divI+—=Q

dt

上式表明：已知能量密度，求出能流密度，近而計算出彈性波傳播的過程中能量

的傳播。

三能流密度與應(yīng)力張量，位移的關(guān)系（能流密度的計算）

機械能密度對時間的偏導(dǎo):

2+3+9]+2〃]

.2+e%+e叼

dtdtdtJJ◎dt?dtadt)

Je區(qū)+e%+e、dud2u

]+p-------

[*%-dtyz初）dtdt2r

2

3/8。yy網(wǎng)一阻y8”deQudu

CT-------FO'-------FCT?----+C-------PCT-------F(7

xxdt?dtndt*dt>zdtkarpdtdt2

dudu-：dv-dwr

—lH-----/H-------K

dt[dtdtdt

考慮運動平衡方程:

d2u?啊、啊、、2+七+外、\daSerd(j,.]

j+k

、&dydz?I&dydz)dydz>

兩式相乘得:

2

dudu(6%Saxydo■、八du(8a+注+空平+降+等+必辿

『前=h?+而+

dzJdtIdxdydz)dtfirdzJdt

則:

dEdvSyr】d.dudv加】d.dudvdw

k+b--]+—b—+b-+bz--]+k[b—+cr—+b

aTdtdtdyydt"dtV"dtdzdt"dt

6EdE-(__、

------=divJ(7_I

顯然：視是某一向量的散度，dl\J-')

-7=zdudvdw-dudvdw-/dudv仇v、:

J(cy—+cy—+o'—)i+(zcr—+cy-----Fc—)/+(<T-----Po'—+cy—)k

口dt，dtxzdtwdtdtyzdtxzdt*dt“dt

因此有：

加

/一ai/+b-+b?T

=一

X初

應(yīng)

町

夕

<o@o加

4一

=§+」+r-

K初

￥打-

byyb加

包

一T

人_++

aw及

一￥

，a

ar

此式表明：已知應(yīng)力張量和質(zhì)點運動速度可以計算彈性介質(zhì)的能流密度。

第二章波動方程

2-1有關(guān)概念及數(shù)學(xué)描述

一場

空間領(lǐng)域中每一點都有一個確定的物理量，這就是場；標(biāo)量場，向量場;

二方向?qū)?shù)

標(biāo)量場沿某方向的方向?qū)?shù)表示為：

d(pd(pd(p介的

—=—^cosa+—^cosB+—^cos/

dldxdydz

“(cosa,cos/,cosy)為在L上的單位向量。

三算符

rd_d_d_

V=心+理+%e哈密頓算子

dxdydz、dx，dy5dz,

222aU

ddddddddy2

方'+談+芯=Vv=v

dx'dy'dz>0'獷匆拉普拉斯算子

四標(biāo)量場的梯度

grad(p=—i+—j+—k=V。(反映變化率最大的方向)

oxdydz

運算性質(zhì)：

grad（夕+〃）=grad（p+gradi//

grad(年吟=(pgradi//+i//grad(p

grad(F(力))=F((p)grad(p

五向量場的散度

向量場：口=(憶",，憶)

(dddy\(\3k。匕3匕

力n科=V〃=—(夕v，〃J=「+k+丁

散度定義為：dydzPdx?&

若「是位移向量”=伍匕卬)

dudvdw

divuk+二r+k="+，Y+e%=0（體應(yīng)變）

dxdy&

山元=0（無體積漲縮，即無縱波）

如果把e視為質(zhì)流密度場，出y『反映源頭的分布情況,

div

運算法則：12（%+〃2）=V\+divi//2

div（i//{y/2）=i//2divi//{+i//{divy/2

向量場的旋度

（二

ddd8dd

rotcp=Vxi//x（R，9,2）

Q，Sy，&dxSydz

定義:l%化，

3%

+包

、法辦）

%，4，%）,各點的線速度為

設(shè)一剛體繞某一點轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角度為萬=

，匕/,取定點為原點，各點的徑向為：r=（x，、z），則有:

一皿平

v=G7^r=G78=（初y_y^z）i+（皿:-z%），+（鞏

V

則:

、

匕二Z匕一%

v=xw,—ddd

yv4”rotv2w

dxdydz

V.=）嗎-xw,

即線速度向量的旋度，?！睘?向量，等于剛體轉(zhuǎn)動角速度向量的2倍，反映剛體

的旋轉(zhuǎn)運動，rotv=0,表示無旋運動。

運算法則：

rot（i//{+%）=儂%+roty/2

rotWw）=一y/\di、Wz

七梯度，散度，旋度之間的幾個關(guān)系運算

div(gradcp)=N(p

div{roti//^=0

rot(gradcp)=0

grad^div(p^=0

rot^roti//^=grad(diu")一△”

八有勢場

定義:對于一個已知向量場方（2,如果它是某一個標(biāo)量場。（加）的梯度，即

可以表示成為gm"?.））,則稱為向量場方（〃?）為一個有勢場，。（"）稱為口加）

的勢函數(shù)，對于給定的有勢場，其中勢函數(shù)有許多，但是只相差一個常數(shù)，除常

數(shù)外，其勢函數(shù)是唯一的。對于一般向量場”（加），其旋度不一定為零，當(dāng)方（相）

為有勢場時，其旋度一定為零。由此得到如下結(jié)論：

①若向量場”（加）在單連通域。內(nèi)連續(xù)，則沙（“）有勢的充要條件是其旋度為零;

②若向量場口加）在所考慮的區(qū)域q上，它的「。加和力而都有意義；則這個向

量可以分解為無旋部分和無散部分；即：

具有：儂-=0和divi//2=0

又：高斯公式

設(shè)S為空間域V的邊界曲面，〃=（cosa，cosAcos7）為$上一點的外法向量，向

量。=（牝,%,程）在（v+s）上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式

^ands=^divadv

或者Sadada

cosa+acos夕+&cosy}ds=——-+—:H--------)dv

y及

SV

2.2平衡狀態(tài)下的基本方程

（1）兒何關(guān)系：（應(yīng)變與位移的關(guān)系）

?=_L?+2'

"瓦2?dy）

5V1（dwdvy

c=—e、、_=-----1---

》/北dz）

dw_1fdw\

@=蒞/層菽J

（2）物態(tài)方程（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）（本構(gòu)方程）（廣義胡克定律）

G1G2G3cl4c15cl6xr

CCe

2122°23c24C25C26yy

C31，32,33。34。35,36%

C41C42-A4C46^xy

051c52c53c54c55c56

（。61。62。63。64c65。66八￡、憶,

（3）平衡方程

設(shè)物體內(nèi)各質(zhì)點所受的外體力人（/s/v"J，在物體內(nèi)任取一體積V,S為V的

表面，S上各點的面力（外法向應(yīng)力）為％;那樣在平衡狀態(tài)下，V受到的體力

與面力之和應(yīng)等于零，即：

JJP法+JKds=。

VS

寫成分量形式：

JjfZa+“"s=o

川7辦+〕卜、泌=°

C八+0%處=0

對于第一個分量方程應(yīng)用高斯公式得:

同樣道理可以得到第二個分量和第三個分量

da6cr

vr+vv+上+。=0

dxdydz

d(yQ

——^+華+(=0

dxdydz-

這三個方程稱為平衡方程O

將物態(tài)方程代入平衡方程得：(各向同性介質(zhì)中)

基本方程：

+++<=0

(4+〃喟+,+&-=。

(九+〃)普+〃△卬+工=0

OZ

式中：

Q05(dudvd2ud2vd2w

I

dxdydz)dx2dydxdxdz

d0d2ud2vd2w

dydxdydy2dydz

d0d2ud2vd2w

—'l+i

dzdxdzdydzdz~

上式稱為彈性力學(xué)的基本方程0綜合位移和外力邊界條件可求解。

2-3彈性介質(zhì)中的波動方程

一波的描述及其相關(guān)理論

1波前，波尾，波陣面；

2惠更斯原理，非馬原理。

3振動圖與波剖面，波長，周期，波速。

二彈性介質(zhì)中波動方程

上面描述的是彈性力學(xué)基本方程是在平衡條件下的，下面討論運動狀態(tài)下的

情況

在運動狀態(tài)下，位移向量2不僅僅是點(x,y,z)的函數(shù)，而且是時間T的函數(shù)：

?=w(x,y,z,f)+("(x,y,z,f),v(x,y,z/),w(x,y,z,f))

點的位置也是時間T的函數(shù)：r(x，y，z)=(x(f),y(f),z。))

此時體積V的總力還應(yīng)該加上慣性力v次；

則在運動狀態(tài)下用位移向量表示的彈性力學(xué)基本方程為：(牛頓定律)

(?xdOArS2U

(%+〃)菽+〃”+<=：夕法

U+M甯+心+4=暗

(九+4噌+心卬+工=0*

dududxdudydudzdu

—=-----1------1------1---

所以：力bxtdytdztdt

du_du

在小變形條件下：

dv_dvdw_dwd2u_d2ud2v_d~vd2w_d2w

同樣道理：~dt~lt，~dt~~^，W~~dtr，~dtT~~dtT，~dtr~~dtr，

運動方程表示為：(分量形式)

(4+〃)詈+心+￡=「患

(幾+川卷+心v+/,=0*

/,dO人，32vv

(，+〃)x至+a+工=夕布

寫成向量形式：

+++/=p^-7-

無體力作用時：f=°

_d2u

(X+〃)grade+心〃=。前

在每個分量方程中都有三個未知數(shù)"，匕W,求解很困難；為此，利用場論中的結(jié)

果將位移分解；設(shè)】=E+E；

ro加=0,7為無旋場,只有漲縮運動。無旋轉(zhuǎn)運動；

力￡；=0,芯為無散場，只有旋轉(zhuǎn)運動，無漲縮運動

rotu{=0必有勢，則存在一個標(biāo)量位夕使得5=grad(p-,

divu2=0,的可以表示某一向量的旋度U2=roW

u=grad(p+rot(p

o2___

p—^(grad(p4-roti//)=(4+//)grad[div{grad(p+roti//)]4-//Agrad(p+roti//j

初

=(X+/J)grad[div(grad(p^+div(roti//j]+〃A(grad°)+2卜。")

上式進(jìn)一步表示為：(利用梯度，散度，旋度的關(guān)系)

/2\(

,Oa(P

gradp—+rotp5V=gra>磯(4+2〃)公0]+3(心”)

I^')(

比較等式兩邊，取:

P稟=(力+2〃)△夕

...........................................(1)

對于第二式P誓一兩二g「adG

令G=0得至U：

將(1),(2)

.■1d2<p

A。=----

%

2

d~(p1d(p1d~(p----1---d--~-(p-

2222

dv--dy----dz----vpdr

4+2〃〃

式中：

這樣借助”的分解可得到4個獨立分量的標(biāo)量方程，也稱為波動方程，因為它反

映了波在介質(zhì)中傳播。

注：1當(dāng)介質(zhì)是理想的流體時，只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力。

4)，==%r=0即〃=0；

彈性波方程化為:

P~^T=九grad8=kgradO

取散度，變換微分次序得:

Q2_

p—^-divu=kdiv^gradO^

P為聲壓，V為聲速，只有P波，沒有S波

2從微分方程組來看，P波，S波在介質(zhì)中傳播是豐富的，但是在邊界上是聯(lián)系

的（下一章討論）

第三章波動方程的解

3-1基本數(shù)學(xué)問題

-、二階線形常微分方程

常系數(shù)線形方程：y"+ay+by=O

特征方程：k2+ak+b=Q

①若存在兩個不相等的實根；

x

通解為：y=c/'+c2e^

②若特征方程存在一對共扼復(fù)根，

通解為：

kx9=a±/3i

)，=，*網(wǎng)?2產(chǎn)次或

as

y=e(qcos/3x+c2sin°x)

③若特征方程有兩個相等的實根

k,x

y=(c,+c2x)e

④如果a=0,y,+by=Q

通解為：y=c1COS@X+c?sinaX

二偏微分方程的定解問題與適定性

泛定方程：給定一個方程，只能描述某種運動的一般規(guī)律，而不能具體的確定運

動狀態(tài)，這個方程稱為泛定方程，增加一些附加條件和約束條件后，就可以確定

具體的運動狀態(tài)，這樣的條件為定解條件，包括初始條件和邊界條件。

定解問題：給定一個泛定方程核定界條件的數(shù)學(xué)物理問題稱為定解問題。若函數(shù)

U滿足泛定方程和定解條件，則U為定解問題的解。

定解問題的適定性：滿足存在性，穩(wěn)定性，唯一性，就稱為定解問題是適定的，

三者有其中一個不成立，則定解問題是不適定的。

三付氏變換及性質(zhì)(略)

F(T)為非周期函數(shù)，且滿足下列條件：

4<O

f"（f）l力存在

①絕對可積：-X

②F（T）在任何一個區(qū)域內(nèi)有界，且只有有限個不連續(xù)點和有限個極值點。則

存在下列付氏積分公式：

+00

-00

[+00

尸（。=—\F[co）eiw,d（o

—co

性質(zhì)：

①線性性：力（'）一月（動，上（，）一63）a,尸為常數(shù);

尸[。力（。+4人。）]=。"（。）+￡工（0

②時移性：

fS-F⑼

則:尸"（壯.）]=6±碼歹3）

③微分性質(zhì):若8J?）T°，則:F[f'（t）]=icoF（（o）

+00[

Hj7（M1=一尸⑼

④積分性質(zhì)：-iis

⑤乘積定理：耳3）=F"（力，尸2⑷=網(wǎng)力（5；

]-K?[+<x>

,,,"("2(f)

三=yJK(仍(同d口

則：-00—co—00

+00

⑥摺積定理：J工⑺%稱為兩個函數(shù)的褶積?/；（。*力⑺

-00

3-2：無限均勻介質(zhì)的平面波

前面我們得到運動狀態(tài)下彈性力學(xué)的基本方程：

。2萬

p=（4+/Z）grand6+〃△萬

將u分解得到四個分離的波動方程:

1。2①1gy,

△①

=-V；r-初72匕2靖

先將方程寫成分量形式：

d2u,,、朋

P^v=M+A）—+MA?

dtdx

曲de?

。獲=（〃）的+心

2

duZ1、ee,

=M+A）—+

對，的三分量U、V、W作四維付氏變換得:

2rx+riy+r,z+fi}

M(r|5r2,^,/)=JjJ|w(x,y,z,t)e~'^'dxdydzdt

心，弓,弓")=川卜(x,%z/)e3E，+S>d必收小

w(6，&，6J)=JjJJw(x,y,z,t)e~i2^r'x+r2y+r3Z+fndxdydzdt

反付氏變換為：

l2rx+r2y+liZ+f)

u(x,y,z,t)=JJJ,r2,r3,f)e^'''dridr2dr3df

v(x,y,z,t)=JJJJv(rf