廣西壯族自治區(qū)“貴百河”2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

2022級“貴百河”12月高二年級新高考月考測試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.23.雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.4.已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，則（）A. B. C. D.5.在棱長為的正方體中，向量與向量所成的角為（）A.60° B.150°C.90° D.120°6.已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.7.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系（為最初污染物數(shù)量）．如果前3個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還要（）A小時(shí) B.3小時(shí) C.6小時(shí) D.4小時(shí)8.若曲線上存在點(diǎn)，使到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對值為8，則稱曲線為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是（）A. B. C. D.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對于拋物線，下列描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為4C.開口向上，焦點(diǎn)為 D.準(zhǔn)線方程為10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)f（x）的最小正周期為B.將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于y軸對稱C.函數(shù)f（x）的一個(gè)對稱中心為D.函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減11.為了考查某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級，把每個(gè)班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為()A.9 B.10C.11 D.1212.已知，，則（）A. B.C D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若兩條直線與互相垂直，則a的值為______.14.圓心為，且過點(diǎn)的圓的方程是______．15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作軸的垂線，交橢圓于點(diǎn)，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為__________．16.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，對任意的，?dāng)時(shí)，有（e是自然對數(shù)的底）.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐的體積．18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC面積．19.已知直線．（1）求證：直線與圓恒有公共點(diǎn)；（2）若直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為直角三角形，求的值．20.甲、乙兩人玩一個(gè)摸球猜猜的游戲，規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，甲采取不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，然后讓乙猜．若乙猜出的結(jié)果與摸出的2個(gè)球特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝，一輪游戲結(jié)束，然后進(jìn)行下一輪（每輪游戲都由甲摸球）．乙所要猜的方案從以下兩種猜法中選擇一種；猜法一：猜“第二次取出的球是紅球”；猜法二：猜“兩次取出球顏色不同”．請回答：（1）如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜法，并說明理由；（2）假定每輪游戲結(jié)果相互獨(dú)立，規(guī)定有人首先獲勝兩次則為游戲獲勝方，且整個(gè)游戲停止．若乙按照（1）中的選擇猜法進(jìn)行游戲，求乙獲得游戲勝利的概率．21.如圖，已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，求直線的方程及的面積.22.如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，D是AB的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若二面角為，求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．

s2022級“貴百河”12月高二年級新高考月考測試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}【答案】B【解析】【分析】先求集合的補(bǔ)集，再與集合求交集即可.【詳解】，或，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法求得復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z的虛部【詳解】由，可得則復(fù)數(shù)z的虛部為2故選：D3.雙曲線的漸近線方程是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)漸近線的方程求解即可【詳解】由題意，的漸近線方程為故選：C4.已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC中點(diǎn)，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.5.在棱長為的正方體中，向量與向量所成的角為（）A.60° B.150°C.90° D.120°【答案】D【解析】【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則即故選：D6.已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得即可得的范圍，再選取該范圍的一個(gè)真子集即可求解.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.7.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系（為最初污染物數(shù)量）．如果前3個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還要（）A.小時(shí) B.3小時(shí) C.6小時(shí) D.4小時(shí)【答案】B【解析】【分析】先通過前3個(gè)小時(shí)消除了20%污染物求得的值，再由求得，進(jìn)而得到污染物消除至最初的64%還要3小時(shí).【詳解】由題意得，前3個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，則，則則由，可得，解之得則污染物消除至最初的64%還要小時(shí)故選：B8.若曲線上存在點(diǎn)，使到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對值為8，則稱曲線為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程為，“好曲線”一定與有公共點(diǎn)，聯(lián)立后求出交點(diǎn)坐標(biāo)或由判斷出有無公共點(diǎn)，判斷出結(jié)論.【詳解】由題意知：平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對值為8，由雙曲線定義知：的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線且，，故，即軌跡方程為：，“好曲線”一定與有公共點(diǎn)，聯(lián)立與得：，，故與有公共點(diǎn)，A為“好曲線”，聯(lián)立與得：，無解，B不是“好曲線”，聯(lián)立與得：，，有解，C為“好曲線”，聯(lián)立與得：，，有解，故D為“好曲線”.故不是“好曲線”的是B．故選：B．二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對于拋物線，下列描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4C.開口向上，焦點(diǎn)為 D.準(zhǔn)線方程為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程，求出的值，得出開口方向，即可得出答案.【詳解】對于A、C項(xiàng)，由已知可得，，，且拋物線開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確、C錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義可知，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故B正確；對于D項(xiàng)，根據(jù)拋物線的方程可知，準(zhǔn)線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)f（x）的最小正周期為B.將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于y軸對稱C.函數(shù)f（x）的一個(gè)對稱中心為D.函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】運(yùn)用輔助角公式化簡、圖象平移變換，再研究其周期性、奇偶性、對稱性及單調(diào)性即可.【詳解】，對于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，的圖象向右平移個(gè)單位后為，所以，所以圖象不關(guān)于y軸對稱.故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以的對稱中心為，，當(dāng)時(shí)，，所以不是的對稱中心.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，，令，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.故D項(xiàng)正確.故選：AD.11.為了考查某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級，把每個(gè)班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為()A.9 B.10C.11 D.12【答案】B【解析】【詳解】不妨設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，則由樣本方差為4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5個(gè)整數(shù)的平方和為20，則這5個(gè)整數(shù)的平方只能在0,1,4,9,16中選取(每個(gè)數(shù)最多出現(xiàn)2次)，當(dāng)這5個(gè)整數(shù)的平方中最大的數(shù)為16時(shí)，分析可知，總不滿足和為20；當(dāng)這5個(gè)整數(shù)的平方中最大的數(shù)為9時(shí)，0,1,1,9,9這組數(shù)滿足要求，此時(shí)對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)為x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；當(dāng)這5個(gè)整數(shù)的平方中最大的數(shù)不超過4時(shí)，總不滿足要求，因此不存在滿足條件的另一組數(shù)據(jù)．故選B.12.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換底公式比較的大小，計(jì)算出，利用基本不等式得，而，從而可比較大?。驹斀狻坑深}意可知，對于選項(xiàng)AB，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)CD，，且，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較對數(shù)的大小，對于不同底的對數(shù)，可利用換底公式化為同底，再由用函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)比較大小，也可結(jié)合中間值如0或1或2等比較后得出結(jié)論．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若兩條直線與互相垂直，則a的值為______.【答案】4【解析】【分析】兩直線斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于1，據(jù)此即可求解.【詳解】由題可知，.故答案為：4.14.圓心為，且過點(diǎn)的圓的方程是______．【答案】【解析】【分析】求出圓的半徑，再根據(jù)圓心和半徑即可求出圓的方程.【詳解】由題意圓的半徑，所以所求圓的方程為.故答案為：.15.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，過作軸的垂線，交橢圓于點(diǎn)，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意可得，，因?yàn)檩S，且，所以，則①，又②，①②聯(lián)立得，所以，解得或（舍去），故答案為：16.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，對任意的，?dāng)時(shí)，有（e是自然對數(shù)的底）.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】將變形為，由此設(shè)函數(shù)，說明其在上單調(diào)遞減，將化為，即，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，有，即，即，故令，則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，由于，而，即有，即，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)，變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，并說明其為單調(diào)減函數(shù)，由此可解決問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線定理證明，再由判定證明即可；（2）求出點(diǎn)到平面的距離，再由體積公式求解.【小問1詳解】證明：四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面平面，//平面．【小問2詳解】平面是的中點(diǎn)，到平面的距離，四邊形是正方形，，三棱錐的體積．18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大?。唬?）若，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將條件整理然后代入余弦定理計(jì)算即可；（2）先利用正弦定理將角化邊，然后結(jié)合條件求出，再利用三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】由整理得，，由，；【小問2詳解】，由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.19.已知直線．（1）求證：直線與圓恒有公共點(diǎn)；（2）若直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為直角三角形，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可證明；（2）由題意可知圓心到直線的距離，建立方程，解之即可.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離．又因?yàn)?，所以，即．所以直線與圓相交或相切，即恒有公共點(diǎn)．【小問2詳解】由圓得，圓心，半徑為2．因?yàn)榕c圓相交于兩點(diǎn)，且是直角三角形，所以，且，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的的值為.20.甲、乙兩人玩一個(gè)摸球猜猜的游戲，規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，甲采取不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，然后讓乙猜．若乙猜出的結(jié)果與摸出的2個(gè)球特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝，一輪游戲結(jié)束，然后進(jìn)行下一輪（每輪游戲都由甲摸球）．乙所要猜的方案從以下兩種猜法中選擇一種；猜法一：猜“第二次取出的球是紅球”；猜法二：猜“兩次取出球的顏色不同”．請回答：（1）如果你乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜法，并說明理由；（2）假定每輪游戲結(jié)果相互獨(dú)立，規(guī)定有人首先獲勝兩次則為游戲獲勝方，且整個(gè)游戲停止．若乙按照（1）中的選擇猜法進(jìn)行游戲，求乙獲得游戲勝利的概率．【答案】（1）選擇猜法二，理由見解析（2）【解析】【分析】(1)利用列舉法列出不放回取兩球的所有結(jié)果，再借助古典概率公式計(jì)算判斷作答.(2)利用(1)的結(jié)論，將乙獲勝的事件分拆成三個(gè)互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式計(jì)算得解.【小問1詳解】用a，b表示兩個(gè)紅球，用1，2表示兩個(gè)白球，甲不放回取兩球的所有結(jié)果：ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，令事件為“第二次取出的是紅球”，則事件A所含結(jié)果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6個(gè)，令事件為“兩次取出球的顏色不同”，則事件B所含結(jié)果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8個(gè)，于是得，，顯然，，為了盡可能獲勝，應(yīng)該選擇猜法二．【小問2詳解】由(1)知，乙選擇猜法二，每一輪乙獲勝的概率為，游戲結(jié)束時(shí)，乙獲勝的事件M是乙在第一、二輪勝的事件M1，第一輪負(fù)另外兩輪勝的事件M2，第二輪負(fù)另外兩輪勝的事件M3的和，它們互斥，于是得，所以乙獲得游戲勝利