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文檔簡介

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個無窮小的和還是無窮小.說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時,有取則當(dāng)時,就有故即是時的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.

有限個無窮小的乘積是無窮小.例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3(1).若推論:

若且則(P46定理5)利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:

令定理3(2)若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

上面的結(jié)論可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:為無窮小(詳見P44)定理3(3)若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,定理4.若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.

x=3時分母為0!例3.設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若例5.求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因例6.求解:時,分子分子分母同除以則分母原式一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則例7.求解:

令已知∴原式=例8.求解:

方法1則令∴原式方法2內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問3.求解法1原式=解

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