常微分方程-第三章 一階微分方程的解的存在定理(3.3-3.4)

§3.3解對初值的連續(xù)性和可微性定理考察的解對初值的一些基本性質(zhì)解對初值的連續(xù)性解對初值和參數(shù)的連續(xù)性解對初值的可微性內(nèi)容:yxG圖例分析(見右)解可看成是關(guān)于的三元函數(shù)滿足

解對初值的對稱性:前提解存在唯一例:初值問題的解不單依賴于自變量,同時(shí)也依賴于初值.初值變動(dòng),相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動(dòng).…………

Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí),對應(yīng)的解是如何變化的?

當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí),方程的解變化是否也是很小呢？證明那么由解的唯一性知,即此解也可寫成:且顯然有:按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個(gè)問題:Q1:解在某有限閉區(qū)間[a,b]上有定義,討論初值的微小變化對解的影響情況,稱為解對初值的連續(xù)性.內(nèi)容包括:當(dāng)初值發(fā)生小的變化時(shí),所得到的解是否仍在[a,b]上有定義以及解在整個(gè)區(qū)間[a,b]上是否也變化很小?Q2:解在某個(gè)無限閉區(qū)間上有定義,討論初值的微小變化是否仍有解在上有定義,且解在整個(gè)區(qū)間上變化也很小?這種問題稱為解的穩(wěn)定性問題,將在第六章中討論.一解對初值的連續(xù)性定義設(shè)初值問題1.解對初值的連續(xù)依賴性初值問題引理

如果函數(shù)于某域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L），則對方程的任意兩個(gè)解及,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式.其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。證明那么于是因此兩邊取平方根即得2定理1(解對初值的連續(xù)依賴性定理)條件:

I.

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;II.是(1)滿足的解,定義區(qū)間為[a,b].結(jié)論:

對

,

使得當(dāng)時(shí),方程(1)過點(diǎn)的解在[a,b]上也有定義,且方程0思路分析：記積分曲線段S：顯然S是xy平面上的有界閉集.第一步:找區(qū)域D,使,且在D上滿足Lips.條件.yxG(見以下圖)由已知條件,對,存在以它為中心的圓,使在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為.根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng)時(shí),有

對,記則以為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點(diǎn)沿S運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí),掃過的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域Dba00第二步:證明在[a,b]上有定義.假定利用引理2及的連續(xù)性可得:第三步:證明在不等式(*)中將區(qū)間[c,d]換成[a,b]即得.

根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:3定理2(解對初值的連續(xù)性定理)條件:

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;方程結(jié)論:在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.,作為的函數(shù)證明令二解對初值的可微性1解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理2解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理3解對初值可微性定理證明因此,解對初值的連續(xù)性定理成立,即即和于是設(shè)即是初值問題的解,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理那么的解,不難求得即和于是即是初值問題的解,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理的解,不難求得初值問題例1解由公式得§3.4奇

解

一、包絡(luò)和奇解1包絡(luò)的定義定義1：對于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

曲線族(3.23)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(3.23)中,但過這曲線的每一點(diǎn)有(3.23)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.對于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

其中為參數(shù).假設(shè)存在一條曲線滿足以下條件:(1)(2)對任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.那么稱為曲線族的一條包絡(luò)線,簡稱為包絡(luò).或定義：例如單參數(shù)曲線族：〔其中R是常數(shù)，c是參數(shù)〕表示圓心為〔c,0〕而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡(luò)顯然為:注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡(luò).問題:對于給定的單參數(shù)曲線族:

如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)那么對任意的存在唯一的使得于是得到對應(yīng)關(guān)系:從而得到二元函數(shù)使得假設(shè)可用參數(shù)形式表示為:記那么于是,上任取一個(gè)固定點(diǎn)M,那么M在某一條曲線上.由于與在M點(diǎn)有相同的切線,而與在M點(diǎn)的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點(diǎn)也在不同的上,即因此現(xiàn)在因此,包絡(luò)線任意一點(diǎn)M不僅要滿足而且還要滿足把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線2包絡(luò)的求法曲線族(3.23)的包絡(luò)包含在以下兩方程注:解:記那么即例1:的包絡(luò).求曲線族因此c-判別曲線包括兩條曲線(3.32)和(3.33),xyO例2:求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解:記那么消去參數(shù)得的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證是曲線族的包絡(luò).如圖:Oxy3奇解定義2:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(假設(shè)存在)也是微分方程的包絡(luò).例如:4奇解的求法方程的奇解包含在由方程組注:例3:求微分方程的奇解.解:從消去p(實(shí)際上p=0),得到p-判別曲線即由于方程的通解為:三、克萊羅〔Clairaut〕方程1定義3:形如的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.為求它的解,令得經(jīng)化簡,得2克萊羅(Clairaut)方程的求解這是y已解出的一階微分方程.如果那么得到于是,Clairaut方程的通解為:如果它與等式聯(lián)立,那么得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:或其中c為參數(shù).消去參數(shù)p便得方程的一個(gè)解.結(jié)果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡(luò)或是Clairaut方程的奇積分曲線,所對應(yīng)的解是奇解.如果令