高三一輪：取球問題

-2-取球問題一、基礎(chǔ)知識：在很多隨機變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：1、獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”（一次性抽取、逐一不放回抽?。?、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進行分子分母的計數(shù)。5、數(shù)字問題：在小球上標注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個類型進行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個黑球，4個白球（1）不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個球，求取到白球個數(shù)的分布列，期望和方差例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個盒內(nèi)各任取2個球（1）求取出的4個球中沒有紅球的概率（2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率（3）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為、、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．習(xí)題答案：1、解析：（1）①設(shè)顧客所獲的獎勵額為（2）可取的值為的分布列為20600.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為．（2）每個顧客平均獎勵額為元，可知期望有可能達到的只有方案或，分別分析以下兩種方案：方案一：，則的取值為方案二：，則的取值為由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.2、解析：（1）設(shè)事件為“3張卡片數(shù)字完全相同”（2）可取的值為的分布列為：1233、解析：（1）設(shè)事件為“一個2號球，一個3號球”（2）可取的值為的分布列為：34564、解析：（1）設(shè)事件為“3個小球上的