高中一元一次不等式練習

高中數(shù)學·一元一次不等式練習卷李老師輔導班 第3頁 DATE\@"yyyy-M-d"2023-12-13一元二次不等式解法練習基礎(chǔ)練習1

解下列關(guān)于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;2

解不等式≥2.3

若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)對任意的實數(shù)t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是(

)A.f(1)＜f(2)＜f(4)

B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)4

已知不等式ax2+bx+2＞0的解為-＜x＜，求a，b值.【難解巧解練習】1

若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求實數(shù)p、q的值.2

設(shè)A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，試求a,b的值.3

已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果對一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(2)如果對x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍.【課本難題解答】課本第22頁

習題1.5第8題【典型熱點考題】1

不等式＞1解集是

.2

設(shè)全集為R，A=｛x｜x2-5x-6＞0｝，B=｛x｜｜x-5｜＜a｝(a是常數(shù))，且11∈B，則(

)A.CRA∪B=R

B.A∪CRB=R

C.CRA∪CRB=R

D.A∪B=R一元二次不等式解法【基礎(chǔ)知識精講】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式經(jīng)過變形，可以化成如下標準形式：①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).2.一元二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集對比表

二次函數(shù)△情況一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)圖像與解△＞0x1=x2=不等式解集為｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集為｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集為△＜0方程無解不等式解集為R(一切實數(shù))解集為a＜0的情況自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-an)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-an)＜0，其中a1＜a2＜…＜an.把a1,a2,…an按大小順序標在數(shù)軸上，則不等式的解的區(qū)間如圖所示：4.分式不等式

(,bj互不相等)把a1,a2,…an和b1,b2，…，bm按照從小到大的順序標在數(shù)軸上，該分式不等式的解的區(qū)間的情況與(3)中所述類似，分n+m為奇數(shù)或偶數(shù)在數(shù)軸上表示.綜合可知，一元二次不等式的解法充分運用了“函數(shù)與方程”，“數(shù)形結(jié)合”及“化歸”的數(shù)學思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為零時對應的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零時x的取值范圍，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要畫與之對應的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像.【重點難點解析】本小節(jié)重點是一元二次不等式的解法，難點是一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系及運用一元二次不等式解決某些應用問題。例1

解下列關(guān)于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;分析

解一元二次不等式一般步驟是：①化為標準形式；②確定判別式△=b2-4ac的符號；③若△≥0，則求出該不等式對應的二次方程的根；若△＜0，則對應二次方程無根；④聯(lián)系二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集(在兩根之內(nèi)或兩根之外).解：(1)原不等式可化為x2-2x-3＜0,(x-3)(x+1)＜0.∴

不等式的解集為｛x｜-1＜x＜3｝.(2)原不等式可化為2x2-x-2≥0,(2x+1)(x-1)≥0.∴

不等式的解集為｛x｜x≤-，或x≥1｝.(3)原不等式可化為(x-)2＞0.∴

不等式的解集為｛x｜x∈R且x≠｝.(4)原不等式可化為x2+6x+15＞0.∵

△＜0，方程x2+6x+15=0無實根，∴

不等式的解集為R.評析

熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之間的關(guān)系，再加上熟練地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心應手.例2

解不等式≥2.解：原不等式可化為-2≥0,即為≥0，分子、分母必須同號，即可化為由于-2x2-x-1恒為負值，不等式除以(-2x2-x-1)得即x2+2x-3＜0，即(x+3)(x-1)＜0.解之得-3＜x＜1.原不等式的解集為｛x｜-3＜x＜1｝.遇到分式不等式，一般應化為右邊為零的形式，即化為≥0，然后轉(zhuǎn)化為(當分式不等式的分母恒為正(或為負)時，可以去分母，如＞0x-1＞0且)例3

若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)對任意的實數(shù)t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是(

)A.f(1)＜f(2)＜f(4)

B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析

由條件知x=2為對稱軸，f(2)最小，f(1)=f(3)，函數(shù)在(2，+∞)上為增函數(shù)，故選B.評析

熟記結(jié)論：對f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.例4

已知不等式ax2+bx+2＞0的解為-＜x＜，求a，b值.解：方法一：顯然a＜0，由(x+)(x-)＜0，得6x2+x-1＜0，變形得-12x2-2x+2＞0，故a=-12,b=-2.方法二：x=-與x=是ax2+bx+2=0的兩根，故有解得評析

這里應注意韋達定理的應用.【難解巧解點撥】例1

若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求實數(shù)p、q的值.分析

在本題中，已知不等式的解集，要求確定其系數(shù)，這和解不等式的問題(已知系數(shù)求其解集)正好是互為逆向的兩類問題.這類問題可以用下面的方法來解.①先作出一個解集符合要求的不等式；②根據(jù)不等式同解的要求，確定其系數(shù)的數(shù)值.解：不等式(x-2)(x-4)＜0

①的解集為｛x｜2＜x＜4｝.①即為x2-6x+8＜0.

即-x2+6x-8＞0.這與題中要求的不等式x2+qx+p＞0是同解且同向的二次不等式.∴其對應的系數(shù)成比例，且比值為正數(shù)(即二次項系數(shù)之值同號).∴==＞0

解得p=-2,q=.說明

利用上法確定不等式系數(shù)時，必須注意：①將兩不等式化為同向不等式②同向二次不等式的二次項系數(shù)同號，否則就會產(chǎn)生錯誤.例2

設(shè)A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，試求a,b的值.分析

在本題求解時要正確利用圖形進行分析.解：如圖所示，設(shè)B=｛x｜α≤x≤β｝設(shè)想集合B所表示的范圍在數(shù)軸上移動，顯然當且僅當B“覆蓋”住集合｛x｜-1≤x≤3｝，才能使A∩B=｛x｜1＜x≤3｝∴“α≤-1且β≥1”，并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3.因此B=｛x｜-1≤x≤3｝，根據(jù)二次不等式與二次方程的關(guān)系，可知-1與3是方程x2+ax+b=0的兩根.∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.說明

類似問題一定要借助數(shù)軸上的區(qū)間來考慮.同時要認真考查端點情況.例3

已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果對一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(2)如果對x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：f(x)的圖像開口向上.(1)對一切實數(shù)x，f(x)＞0，則△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a＜4；(2)當x∈〔-3，1〕時，f(x)＞0，對稱軸2-a可在區(qū)間內(nèi)，也可在區(qū)間外，∴或或解得-＜a＜4評析

函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上f(x)＞0(或f(x)＜0)f(x)在該區(qū)間上的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值意義，才能正確處理函數(shù)的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系.【課本難題解答】課本第22頁

習題1.5第8題①解：原不等式可化為(3x-4)(2x+5)＞0

∴x＜-或x＞所以解集為｛x｜x＜-或x＞②解：原不等式可化為(2x-15)(5x+2)＜0或x=∴

-＜x＜或x=

即-＜x≤所以解集為｛x｜-＜x≤【命題趨勢分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最簡單的不等式.歷年高考中，都涉及到解不等式的題目，對解有理不等式、無理不等式，解指數(shù)和對數(shù)不等式，解絕對值不等式都進行了考查，而解這些類型的不等式最終都要轉(zhuǎn)化成一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解.平時要求學生熟練掌握一元二次不等式(組)的解，并能靈活應用.【典型熱點考題】例1

不等式＞1解集是

.分析

解不等式一般將一邊變?yōu)榱阍偬幚斫猓簩ⅲ?變形為-1＞0，通分得>0

即解：(x-4)(x+3)＞0解得x＜-3或x＞4∴應填：x＜-3或x＞4注意

本題屬＞0型不等式，解此類問題一般是運用等價轉(zhuǎn)化的思想將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來解或一元一次不等式組來解.例2

設(shè)全集為R，A=｛x｜x2-5x-6＞0｝，B=｛x｜｜x-5｜＜a｝(a是常數(shù))，且11∈B，則(

)A.CRA∪B=R

B.A∪CRB=R

C.CRA∪CRB=R

D.A∪B=R分析

本題考查二次不等式和絕對值不等式的解法，集合間的關(guān)系，先需分別解出集合A、B，再根據(jù)11∈B這一條件確定a值范圍，最后在數(shù)軸上判斷集合間并集結(jié)果。解：A=｛x｜x2-5x-6＞0｝=｛x｜(x-6)(x+1)＞0｝=｛x｜x＜-1或x＞6｝B=｛x｜x-5｜＜a｝=｛x｜-a＜x-5＜a｝=｛x｜5-a＜x＜5+a｝.∵11∈B

∴5+a＞11

∴a＞6

從而5-a＜-1.由數(shù)軸圖可看出，A∪B=R.

∴應選D.注意

(1)本題主要考查一元二次不等式，含絕對值不等式的解法，以及集合關(guān)系(并集、補集).(2)作出數(shù)軸圖，將抽象的字母和數(shù)字在數(shù)軸上表示出來，進行比較，由此判定出結(jié)果，是我們解此類問題常采用的方法.例3

不等式｜x2-3x｜＞4的解集是

.解：∵｜x2-3x｜＞4∴x2-3x＜-4或x2-3x＞4即x2-3x+4＜0或①x2-3x-4＞0②由①可化為(x-)2+＜0，顯然解為.由②可化為(x+1)(x-4)＞0，得解為x＜-1或x＞4.∴應填：｛x｜x＜-1或x＞4｝.注意

(1)本題主要考查含有絕對值不等式和一元二次不等式的解法.(2)將含有絕對值不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來解，是解好本題的關(guān)鍵.例4

公園要建造一個圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如下左圖所示.為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計成水流在到OA距離為1米處達到距水平最大高度為2.25米，如果不計其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?

分析

由題意可知，本題可借助拋物線這一數(shù)學模型求解.關(guān)鍵是要根據(jù)題設(shè)條件求出所需的具體拋物線方程.為此，以O(shè)為原點，以O(shè)A所在直線為y軸，水面中垂直O(jiān)A的直線為x軸建立直角坐標系，如上右圖所示，則水流所呈現(xiàn)的拋物線方程為y=a(x-1)2+2.25.由題意，點A的坐標為(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是拋物線方程為y=-(x-1)2+2.25.令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合題意，舍去).所以水池半徑至少要2.5米，才能使水流不落到池外.說明

本例在已知解題數(shù)學模型(拋物線)的前提下，分析題設(shè)的一些數(shù)量關(guān)系，然后確定解題所需的具體的數(shù)學模型(即拋物線方程).【同步達綱練習】一、選擇題1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0，B=｛x｜｜x｜＜a，若BA，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.0＜a≤1；

B.a≤1；

C.-1＜a≤3；

D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，則A∩B的子集的個數(shù)為(

)A.16；

B.8；

C.15；

D.7.3.不等式≥0的解集是(

)A.｛x｜-1≤x≤3｝

B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝

D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若對于任何實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-x+c的值恒為負，那么a、c應滿足(

)A.a＞0且ac≤

B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞

D.a＜0且ac＜05.考察下列集合：(1)｛x｜｜x-1｜＜1；(2)｛x｜x2-3x+2≤0｝；(3)｛x｜≤0｝；(4)｛x｜≥0｝，其中是集合A=｛x｜1＜x≤2的子集的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個6.在下列各不等式(組)中，解集為空集的是(

)A.x2+x+1≤；

B.｜x-1｜+｜x-2｜≤1；C.(其中0＜a＜1；

D.x2-(a+)x+1≤0(其中a＞0).二、填空題1.使函數(shù)y=+有意義的x的取值范圍是

.2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜-＜x＜,則a+b=

.3.不等式≤1的解集是

.4.不等式-4≤x2-3x＜18的整數(shù)解為

.5.已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＜0的解集為｛x｜x＜-1或x＞2｝.則不等式ax2-bx+c＞0的解集為

.三、解答題1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.2.求m，使不等式｜｜＜3恒成立.3.關(guān)于x的不等式它的解集為｛x｜x1≤x≤x2｝,且1≤｜x1-x2｜≤3，(m-2)x2-mx-1≥0，求實數(shù)m的取值范圍.4.已知a＞1解關(guān)于x的不等式組5.解不等式【素質(zhì)優(yōu)化訓練】1.解關(guān)于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函數(shù)y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的圖像都在x軸上方，求實數(shù)k的取值范圍.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若AB，求a的取值范圍；(2)若BA，求a的取值范圍；(3)若A∩B為僅含有一個元素的集合，求a的值.【生活實際運用】1.如下圖，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點D處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3∶5.為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最少，D點應選在何處?2.要在墻上開一個上半部為半圓形，下部為矩形的窗戶(如下圖所示)，在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應設(shè)計成怎樣的尺寸?參考答案：【同步達綱練習】一、1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.C二、1.｛x｜-3＜x≤-1｝

2.a+b=-14

3.｛x｜x≤-1或x＞0｝

4.｛-2，-1，0，1，2，3，4，5｝

5.｛x｜-2＜x＜1｝三、1.當m＞1時，解集為｛x｜x＜2-m,或x＞m｝；當m=1時，解集為｛xR｜x≠1｝；當m＜1時，解集為｛x｜x＜m，或x＞2-m.

2.m｛m｜-5＜m＜1.

3.m｛m｜≤m≤｝.

4.｛x｜x＞a｝.

5.｛x｜x＜-4或-1＜x＜1或x＞4｝.【素