2023-2024學(xué)年湖北省恩施州四校聯(lián)盟高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年湖北省恩施州四校聯(lián)盟高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=1?2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合A={x|x2?A.[?2,3] B.[3,+3.已知直線l1：x+ay?a=0，lA.2 B.1或?3 C.?3 D.04.“a=2”是“函數(shù)f(x)=A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知a=(13A.C>b>a B.b>c6.已知sin(x?π6A.19 B.29 C.797.已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合)，設(shè)AB=xA.1 B.1+22 C.8.平面內(nèi)有四條平行線，相鄰兩條平行線的間距均為2，在每條直線上各取一點(diǎn)圍成矩形，則該矩形面積的最小值是(

)A.93 B.16 C.7二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若{a,b,A.b+c，b，b?c B.a，a+b，a?b

C.a+b，10.已知函數(shù)f(x)=A.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞) B.不等式f(x)<1的解集是(11.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為s12，平均數(shù)為x?1；去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s22，平均數(shù)為x?2；原樣本數(shù)據(jù)的方差為sA.x?=x?1

B.15s2=14s12+s12.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A.異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為255

B.點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP/?/平面B1EF時(shí)，DP的最小值為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.平面向量a與b的夾角為135°，已知a=(?1,1)，14.點(diǎn)P(?3,?1)到直線l：(15.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)(x∈[0,3π216.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA=四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4,0)，B(6,8)，C18.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(?3,4)，B(3,2)，C(1,0)．

(1)若點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求直線19.(本小題12分)

一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球．

(1)求第二次取到綠球的概率；

(2)如果是n個(gè)紅球，6個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是綠球的概率為51220.(本小題12分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinB+3bcosA=21.(本小題12分)

如圖1，已知平面四邊形BCMN是矩形，AD//BC，BC=kAB(k>0)，將四邊形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再將△ABC沿著對(duì)角線AC翻折，得到△AB1C，設(shè)頂點(diǎn)B1在平面ABCD上的投影為O．

22.(本小題12分)

如圖，在八面體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAD/?/平面QBC，二面角P?AB?C與二面角Q?CD?A的大小都是30°，AP=CQ=3

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=1?2ii3=1?2i?i=2.【答案】B

【解析】解：由x2?x?6≥0，即(x+2)(x?3)≥0，解得x≥3或x≤?2，

所以A={x|3.【答案】D

【解析】解：由l1⊥l2，得1?a+a?[?(2a?4.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】

解：∵函數(shù)f(x)=|x?a|在區(qū)間[a,+∞)上為增函數(shù)，

∴要使函數(shù)f(x)=5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，將a、b、c分別與0、1比較，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：由題意，a=1312=33∈0,1，

，b6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閟in(x?π6)=23，

所以cos(2x?π37.【答案】A

【解析】解：∵G為△ABC的重心，

∴AG=23×12(AB+AC)=13(xAM+yAN)，

又∵G在線段MN上，

∴13x+13y=1，

∴x+y=8.【答案】B

【解析】解：如圖ABCD為矩形，設(shè)∠EAD=θ，θ∈(0,π2)，

則AD=2sinθ，AB=4cosθ，

所以矩形ABCD的面積為S=2sin9.【答案】AB【解析】【分析】

利用共面向量定理直接求解．

本題考查共面向量的判斷，考查共面向量定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．【解答】

解：{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對(duì)于A，(b+c)+(b?c)=2b，∴b+c，b，b?c共面，故A正確；

對(duì)于B，(a+b)+(a?b)=2a，∴10.【答案】CD【解析】解：對(duì)A：令x2?2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定義域?yàn)镮=(?∞,0)∪(2,+∞)，∵y=log3u在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，u=x2?2x在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；

對(duì)B11.【答案】AB【解析】解：A.剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的和為28x1?，去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)和為2x2?，原樣本數(shù)據(jù)和為30x?，所以28x1?+2x2?=30x?，因?yàn)閤?=x?2，所以x?=x?1，故A選項(xiàng)正確；

B.設(shè)x1<x2<x3<?<x29<x30，s12=128[(x2?x1?)2+(x312.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，∵DD1//BB1，如圖，

∴在Rt△BB1F中，∠BB1F即為異面直線DD1與B1F|所成的角，

∴cos∠BB1F=BB1B1F=212+22=255，

∴異面直線DD1與B1F所成的角的余弦值為255，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，

取A1D1的中點(diǎn)M，D1C1的中點(diǎn)N，取AD的中點(diǎn)S，連接MN，DM，DN，A2S，SF，

∵SF//AB//A1B1.SF=AB=A1B1，

∴四邊形A1B1FS為平行四邊形，

∴SA1//B1F.∵A1S//DM，∴MD//B1F，同理可得DN//B1E，

又DM?面B1EF，B1F?面B1EF，DN?面B1EF，B1E?面B1EF，DM/?/面B1EF，DN/?/面B1EF，

又DM∩DN=D，DM，DN?面DMN，面DMN//面B1EF，又DP/?/面B1EF，P∈面A1B1C1D1，

∴P軌跡為線段MN，

∴在△DMN中，過(guò)D作DP⊥MN，此時(shí)DP取得最小值，

在Rt△DD1M中，D1M=1,D1D=2,∴DM=5，

在RtΔDD1N中，D1N=1,D1D=2,∴DN=5，

在Rt△MD1N中，D1N=1,D1M=1,∴MN=2，

∴如圖，

在Rt△DPN中，DP=DN2?(MN2)2=5?12=322，

即DP的最小值為322，而DP的最大值為5，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1，

∵平面AA1D1D/?/平面BB1C1C則過(guò)點(diǎn)D1、E、F的平面必與AA1與CC1交于兩點(diǎn)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)D1、E、F的平面必與AA1與CC1分別交于M、N，

∵13.【答案】10【解析】解：因?yàn)閍=(?1,1)，

所以|a|=(?1)2+12=2，

又a與b的夾角為135°且|14.【答案】2【解析】解：直線l：(1+3λ)x+(1+λ)y?2?4λ=0即(3x+y?4)λ+(x+y?2)=0，

令15.【答案】4π【解析】解：設(shè)t=2x+π6，則t∈[π6,19π6]，

作出函數(shù)y=sinx(x∈[π6,19π6])的圖象及直線y=89，如圖，它們有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

由正弦函數(shù)對(duì)稱性知t1+t2=16.【答案】[4【解析】解：因?yàn)閟inA=2?2cosA，所以sin2A+cos2A=(2?2cosA)2+cos2A=1，

5cos2A?8cosA+3=0，因?yàn)锳為銳角，0<cosA<1，所以cosA=17.【答案】解：(1)由題設(shè)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6+02,8+22)=(3,5)，則中線的斜率5?03?4=?5，

則邊BC上的中線所在直線的方程為y=?5?(【解析】(1)求BC的中點(diǎn)坐標(biāo)并求直線斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式求直線方程；

(2)18.【答案】解：(1)根據(jù)題意，可得kAC=0?41+3=1，kBC=0?21?3=?1，

因?yàn)橹本€AC的傾斜角為銳角，直線BC的傾斜角為鈍角，

所以當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CD的斜率k滿足k≥1或k≤?1，即k∈(?∞,?1]∪[1,+∞)【解析】(1)求出直線AC、BC的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，得出直線CD的斜率的取值范圍；

(2)分兩種情況：①直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②直線l19.【答案】解：(1)從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)共有10×9=90

種，即n(Ω)=90，

設(shè)事件A=“兩次取出的都是紅球”，則n(A)=4×3=12，

設(shè)事件B=“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則n(B)=6×4=24，

設(shè)事件C=“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則n(C)=6×4=24，

【解析】(1)根據(jù)互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到綠球的概率；

(2)由題意有n(D)20.【答案】解：(1)因?yàn)閍sinB+3bcosA=0，

由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0，

因?yàn)閟inB>0，

所以s【解析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得sinA+3cosA=0，得到t21.【答案】解：(1)證明：∵點(diǎn)B1在平面ABCD上的射影為O，則點(diǎn)O恰好落在邊AD上，

∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，

∴CD⊥平面AB1D，

∴AB1⊥CD，

又∵AB1⊥CB1，

∴AB1⊥平面B1CD，

設(shè)AB=x，BC=AD=2x，則NB1=x2?1，

∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B【解析】(1)根據(jù)題意利用線面垂直判定定理證明，利用△ANB1∽△B1MD求AB的值；

(2)判斷O22.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，所以∠P