4.5.1 相似三角形的基本性質(zhì)和三角形的重心 浙教版數(shù)學九年級上冊素養(yǎng)提升卷(含解析)

4.5相似三角形的性質(zhì)及其應用第1課時相似三角形的基本性質(zhì)和三角形的重心基礎過關(guān)全練知識點1相似三角形的性質(zhì)1.【教材變式·P141課內(nèi)練習T1】已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應中線,若ACA'C'=23,則BDB'D'=(A.4C.22.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它們的對應角平分線,若AD=8,A'D'=12,則△ABC與△A'B'C'的相似比是()A.2∶3B.4∶9C.3∶2D.9∶43.如圖,已知△ABC∽△ACP,∠A=70°,∠APC=65°,則∠B的度數(shù)為()A.45°B.50°C.55°D.60°第3題圖第4題圖4.【新獨家原創(chuàng)】圓圓做的一個風箏支架示意圖如圖所示,已知△ABC∽△ADE,相似比為2∶5,經(jīng)測量,點A到BC的距離為2,則BC與DE之間的距離為.()

5.求證:相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.要求:①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以線段A'B'為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡;②在已有的圖形上畫出一組對應中線,并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程.知識點2三角形的重心及性質(zhì)6.如果三角形的重心在它的一條高線上,則這個三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形7.(2023浙江杭州拱墅期中)如圖,點G為△ABC的重心,連結(jié)CG、AG并延長,分別交AB、BC于點E、F,連結(jié)EF,若AB=4.4,AC=3.2,BC=3.6,則EF的長為()A.1.6B.1.8C.2.2D.2.48.如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,點P是Rt△ABC的重心,則點P到AB所在直線的距離等于()A.1B.2C.9.(2022湖北荊門中考)如圖,點G為△ABC的重心,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點,具有性質(zhì):AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面積為3,則△ABC的面積為.

能力提升全練10.【分類討論思想】如果兩個相似三角形的對應邊之比為3∶7,其中一個三角形的一邊上的中線長為2,則另一個三角形對應中線的長為()A.143B.6711.如圖,在△ABC中,BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,BD⊥CE,若BD=3,CE=5,則△ABC的面積為()()A.20B.16C.15D.1012.(2022浙江杭州拱墅期中,10,★★☆)如圖,H是△ABC的重心,延長AH交BC于D,延長BH交AC于M,E是DC上一點,且DE∶EC=5∶2,連結(jié)AE交BM于G,則BH∶HG∶GM等于()A.7∶5∶2B.13∶5∶2C.5∶3∶1D.26∶10∶313.(2023浙江杭州上城期中,8,★★☆)如圖,在三角形紙板ABC中,AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一點,沿過點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板.針對CP長的不同取值,三人的說法如下.甲:若CP=4,則有3種不同的剪法;乙:若CP=2,則有4種不同的剪法;丙:若CP=1,則有3種不同的剪法.下列判斷正確的是()A.乙錯,丙對B.甲和乙都錯C.乙對,丙錯D.甲錯,丙對14.如圖,在△ABC中,D是BC上的點,E是AD上的點,且ABAC=ADCE,∠(1)求證:AC2=BC·CD;(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.素養(yǎng)探究全練15.【推理能力】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AB=BD,BC=4(點A、D在直線BC的兩側(cè)),點G是Rt△ABD的重心,射線BG交邊AD于點E,射線BC交邊AD于點F.(1)求證:∠CAF=∠CBE;(2)當點F在邊BC上,AC=1時,求BF的長;(3)若△BGC是以BG為腰的等腰三角形,試求AC的長.

答案全解全析基礎過關(guān)全練1.C∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應中線,ACA'C'∴BDB'D'=ACA'C'2.A∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它們的對應角平分線,AD=8,A'D'=12,∴△ABC與△A'B'C'的相似比為AD∶A'D'=8∶12=2∶3.故選A.3.A∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∵∠A=70°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°.故選A.4.答案3解析如圖,過點A作AQ⊥DE交DE于點Q,交BC于點P,∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∴BC∥DE,∵AQ⊥DE,∴AP⊥BC,∵△ABC∽△ADE,∴APAQ由題意可知,AP=2,∴AQ=5,∴PQ=AQ-AP=5-2=3,即BC與DE之間的距離為3.5.解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求.(2)已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k,D是AB的中點,D'是A'B'證明:∵D是AB的中點,D'是A'B'的中點,∴AD=12AB,A'D'=12∴A'D'AD∵△ABC∽△A'B'C',∴A'B'AB=A'C'AC,∠A'=∠A∴△A'C'D'∽△ACD,∴C'D'CD=6.A∵三角形的重心在它的一條高線上,∴這條高線所在直線是三角形某一邊的垂直平分線,∴這個三角形一定是等腰三角形.故選A.7.A∵點G為△ABC的重心,∴AF和CE為△ABC的中線,∴E、F分別為AB、BC的中點,∴EF為△ABC的中位線,∴EF=12AC=12×3.2=1.8.A如圖,連結(jié)CP并延長,交AB于D.∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是△ABC的中線,PD=13CD∵∠ACB=90°,∴CD=12AB=3,∴PD=1∵AC=BC,CD是△ABC的中線,∴CD⊥AB,∴點P到AB所在直線的距離等于1,故選A.9.答案18解析∵CG∶GF=2∶1,△AFG的面積為3,∴△ACG的面積為6,∴△ACF的面積為3+6=9,∵點F為AB的中點,∴△ACF的面積=△BCF的面積,∴△ABC的面積為9+9=18.能力提升全練10.C∵相似三角形的對應邊之比為3∶7,∴它們的對應中線的比為3∶7,∵其中一個三角形的一條中線長為2,而這條中線可能是小三角形的,也可能是大三角形的,∴另一個三角形對應的中線長可能為143,也可能為67.故選11.D如圖,設CE與BD交于點O,∵BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,∴點O是△ABC的重心,∴OC=23CE=103,∴△BDC的面積=12·∵BD為AC邊上的中線,∴S△ABC=2S△BDC=10,故選D.12.D如圖,過C作CF∥BM,交AE的延長線于F,∵H是△ABC的重心,∴M是AC的中點,D是BC的中點,∴G是AF的中點,且GM=12CF,設CF=a,則GM=12∵CF∥BG,DE∶EC=5∶2,D是BC的中點,∴CFBG∴BG=6CF=6a,∴BM=132a∵H是△ABC的重心,∴BH=23BM∴HG=BG-BH=6a-133a∴BH∶HG∶GM=133a∶53a∶故選D.13.C如圖所示,過P作PD∥AB交AC于D,PE∥AC交AB于E,則△PCD∽△BCA,△BPE∽△BCA,此時0<PC<8;如圖所示,作∠BPF=∠A,F在邊AB上,則△BPF∽△BAC,此時0≤PC<8;如圖所示,作∠CPG=∠A,G在邊AC上,則△CPG∽△CAB,當點G與點A重合時,CA2=CP·CB,即42=CP×8,∴CP=2,∴0<CP≤2.綜上可知,當0<CP≤2時,有4種不同的剪法;當2<CP<8時,有3種不同的剪法.∴甲和乙對,丙錯,故選C.14.解析(1)證明:∵ABAC=ADCE,∠BAD∴△BAD∽△ACE,∴∠B=∠EAC,又∵∠ACB=∠DCA,∴△ABC∽△DAC,∴ACCD∴AC2=BC·CD.(2)由(1)知,△BAD∽△ACE,∴∠BDA=∠AEC,∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE,∵E是△ABC的重心,∴BD=CD,BC=2BD=2CD,AE=23AD∴BD=CE,AC2=BC·CD=2CD2,∵△BAD∽△ACE,∴ADCE∴23AD2=BD·CE∴AD2=32CD2,∴A素養(yǎng)探究全練15.解析(1)證明:∵點G是Rt△ABD的重心,∴BE是AD邊上的中線,又∵AB=BD,∴BE⊥AD,即∠AEB=90°,∵∠AFB=∠ACF+∠CAF=∠FBE+∠BEF,且∠ACF=90°,∴∠CAF=∠CBE.(2)如圖,過點D作DH⊥BC于H,∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBC=90°,∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBC,∵AB=BD,∠ACB=∠BHD=90°,∴△ABC≌△BDH(AAS),∴BH=AC=1,HD=BC=4,∴HC=3,∵∠ACB=∠DHC=90°,∠AFC=∠DFH,∴△AFC∽△DFH,∴ACDH=CFHF=14,∴∴BF=BC-CF=4-35(3)當GC=GB時,如圖,連結(jié)DG并延長交BC于H,交AB于N,連結(jié)NC,∵點G是Rt△ABD的重心,∴AN=BN,∵∠ACB=90°,∴BN=NC=AN,∴點N在BC的垂直平分線上,∵BG=GC,∴點G在BC的垂直平分線上,∵N、G、D共線,∴DN垂直平分BC,∴BH=HC=2,DH⊥BC,∵∠ABD