上海市北郊高級(jí)中學(xué)2024年高三上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

上海市北郊高級(jí)中學(xué)2024年高三上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則（）A．在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，存在EF//BC1B．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值3．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．4．記個(gè)兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間5．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，6．已知實(shí)數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．7．的展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知集合，則()A． B．C． D．9．已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，且的最小值為，則（）A． B． C． D．11．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．12．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為__________．14．已知向量，，則______.15．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.16．已知，，則與的夾角為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列中最小的項(xiàng).18．（12分）已知不等式對(duì)于任意的恒成立.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實(shí)數(shù)a，b，c滿足.求證.19．（12分）每年3月20日是國(guó)際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．20．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長(zhǎng)的取值范圍.21．（12分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯(cuò)誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時(shí)，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時(shí)，求且的概率.22．（10分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，即可得出函數(shù)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當(dāng)時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.3、D【解析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．4、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí)，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題5、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開式中某項(xiàng)系數(shù)．同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式．8、B【解析】

先由得或，再計(jì)算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9、B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：，，，，，為的中點(diǎn)，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).11、D【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析：從兩個(gè)方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結(jié)果.詳解：由題意可得，在中，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，結(jié)合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因?yàn)椋?，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，余弦的和角公式，誘導(dǎo)公式等，需要明確對(duì)應(yīng)此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題意得展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出的值，然后再計(jì)算展開式各項(xiàng)系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問題，需要運(yùn)用定義加以區(qū)分，并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果，需要掌握解題方法.14、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．15、40【解析】

先求出的展開式的通項(xiàng)，再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為：40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【解析】

根據(jù)已知條件，去括號(hào)得：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列的最小項(xiàng)的值.【詳解】（1）對(duì)任意的，由得，兩式相減得，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，則.當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，即，.所以，數(shù)列的最小項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時(shí)為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）法一：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因?yàn)閷?duì)于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數(shù)，且時(shí)為增函數(shù)，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．19、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計(jì)算其逆事件，即人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡?，則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機(jī)變量，的可能的取值為；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的期望【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題型．20、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將化簡(jiǎn)為，求出的值，結(jié)合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結(jié)合，，求出的范圍，注意.進(jìn)而求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，，又周長(zhǎng)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應(yīng)用，求三角形的周長(zhǎng)的范圍問題.屬于中檔題.21、（1）見解析，0（2）【解析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對(duì),答對(duì)2道答錯(cuò)1道,答對(duì)1道答錯(cuò)2道,3道題都答錯(cuò),進(jìn)而求解即可；（2）當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對(duì),第二題第三題至少有一道答對(duì),進(jìn)而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因?yàn)?故,,,,所以的分