提優(yōu)專題31 中考熱點新定義問題專項訓練（原卷版）

專題31中考熱點新定義問題專項訓練（原卷版）專題詮釋：新定義題型是近幾年來中考的熱點問題。它常集合數形結合思想，類比思想，轉化思想，分類討論思想，方程思想，函數思想于一體。常以壓軸題身份出現。一．選擇題1．（2021?河北模擬）對于實數x，y，我們定義符號max{x，y}的意義：當x≥y時，max{x，y}＝x，當x＜y時，max{x，y}＝y(tǒng)．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，則關于x的函數y＝max{3x，x+2}的圖象為（）A．B． C．D．二．填空題2．（2021?深圳模擬）用“●”“□”定義新運算：對于數a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，則（2020□2021）●（2021□2020）＝．3．（2021?碑林區(qū)校級模擬）（正多邊形的每個內角都相等）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，對角線BF的延長線與邊DE的延長線交于點M，則∠M的大小為．

4．（2019?福田區(qū)三模）對于m，n（n≥m）我們定義運算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，請你計算A42＝．5．（2022春?塔城地區(qū)期末）在實數范圍內定義一種新運算“⊕”，其運算規(guī)則為：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．則不等式x⊕4＞0的解集為．6．（2022秋?魏縣期中）若x是不等于1的實數，我們把11-x稱為x的差倒數，如2的差倒數是11-2=-1，﹣1的差倒數為11-(-1)=12，現已知x1=13，x2是x1的差倒數，x3是x2的差倒數，x4是三．解答題7．（2021秋?漢陽區(qū)期中）對任意一個四位數n，如果千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱n為“極數”．（1）請任意寫出兩個“極數”，；（2）猜想任意一個“極數”是否是99的倍數，請說明理由；（3）如果一個正整數a是另一個正整數b的平方，則稱正整數a是完全平方數．若四位數m為“極數”，記D（m）=m33，則滿足D（m）是完全平方數的所有m的值是8．（2022秋?膠州市期末）《道德經》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數的特征．在數的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數進行研究，如學習自然數時，我們研究了奇數、偶數、質數、合數等．現在我們來研究另一種特殊的自然數——“純數”．定義：對于自然數n，在計算n+（n+1）+（n+2）時，各數位都不產生進位，則稱這個自然數n為“純數”．例如：32是“純數”，因為計算32+33+34時，各數位都不產生進位；23不是“純數”，因為計算23+24+25時，個位產生了進位．（1）判斷2022是否是“純數”？請說明理由；（2）請直接寫出2023到2050之間的“純數”；（3）不大于100的“純數”的個數為．9．（2021?任城區(qū)二模）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．如圖1，對于△ABC，BC邊上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此時，稱△ABC是“BC邊半高三角形”，AD是“BC邊半高”；如圖2，對于△EFG，EF邊上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此時，稱△EFG是EF邊半高三角形，GH是“EF邊半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC邊半高三角形”，則AC＝cm；（2）若一個三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長為2cm，則該等腰三角形底邊長的所有可能值為．（3）如圖3，平面直角坐標系內，直線y＝x+2與拋物線y＝x2交于R，S兩點，點P是拋物線y＝x2上的一個動點，點Q是坐標系內一點，且使得△RSQ為“RS邊半高三角形”．當點P介于點R與點S之間，且PQ取得最小值時，求點P的坐標．10．（2022春?梁平區(qū)期末）在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x=a+c3，y=b+d3那么稱點T是點例如：A＝（﹣1，8），B＝（4，﹣2），當點T（x，y）滿足x=-1+43=1，y=8+(-2)3=2時，則點T（1，（1）已知點A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），請說明其中一個點是另外兩個點的融合點．（2）如圖，點D（3，0），點E（t，2t+3）是直線l：y＝2x+3上任意一點，點T（x，y）是點D，E的融合點．①試確定y與x的關系式．②若直線ET交x軸于點H，當∠TDH為直角時，求直線ET的解析式．11．（2019?浙江）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為好點．點P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點．（1）當m＝0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數．（2）當m＝3時，求該拋物線上的好點坐標．（3）若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．12．（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F在格點上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點M，連接DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC于點N．若N為AC的中點，DE＝4BE，QB＝6，求鄰余線AB的長．13．（2021?南豐縣模擬）如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形，一個是等邊三角形，另一個是該對角線所對的角為60°的三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線，這個四邊形稱為理想四邊形．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E為BC中點，連接DE．求證：四邊形ADEC為理想四邊形；（2）如圖2，△ABD是等邊三角形，若BD為理想對角線，為使四邊形ABCD為理想四邊形，小明同學給出了他的設計圖（見設計后的圖），其中圓心角∠BOD＝120°；請你解釋他這樣設計的合理性．（3）在（2）的條件下，①若△BCD為直角三角形，BC＝3，求AC的長度；②如圖3，若CD＝x，BC＝y(tǒng)，AC＝z，請直接寫出x，y，z之間的數量關系．14．（2020?朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射線OC上存在點P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點P為線段AB關于射線OC的等腰點．（1）如圖，t＝0，①若n＝0，則線段AB關于射線OC的等腰點的坐標是；②若n＜0，且線段AB關于射線OC的等腰點的縱坐標小于1，求n的取值范圍；（2）若n=33，且射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，則t的取值范圍是15．（2022?房山區(qū)模擬）對于平面直角坐標系xOy中的圖形W1和圖形W2，給出如下定義：在圖形W1上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點M，N（點M，N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關系．（1）如圖1，點C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），點P在線段CE上運動（點P可以與點C，E重合），連接OP，DP．①線段OP的最小值為，最大值為；線段DP的取值范圍是；②在點O，點D中，點與線段DE滿足限距關系；（2）在（1）的條件下，如圖2，⊙O的半徑為1，線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點F，G，且FG∥EC，若線段FG與⊙O滿足限距關系，求點F橫坐標的取值范圍；（3）⊙O的半徑為r（r＞0），點H，K是⊙O上的兩個點，分別以H，K為圓心，2為半徑作圓得到⊙H和⊙K，若對于任意點H，K，⊙H和⊙K都滿足限距關系，直接寫出r的取值范圍．16．（2022?西城區(qū)校級模擬）點P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標系中不同的兩個點，且x1≠x2．若存在一個正數k，使點P，Q的坐標滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對“限斜點”，k叫做點P，Q的“限斜系數”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，12），有|0-12|=14|1﹣3|，所以點P已知點A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12（1）在點A，B，C，D中，找出一對“限斜點”：，它們的“限斜系數”為；（2）若存在點E，使得點E，A是一對“限斜點”，點E，B也是一對“限斜點”，且它們的“限斜系數”均為1．求點E的坐標；（3）⊙O半徑為3，點M為⊙O上一點，滿足MT＝1的所有點T，都與點C是一對“限斜點”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍．17．（2020?密云區(qū)一模）對于平面直角坐標系xOy中的任意一點P，給出如下定義：經過點P且平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫做點P的“特征線”．例如：點M（1，3）的特征線是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若點D的其中一條特征線是y＝x+1，則在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三個點中，可能是點D的點有；（2）已知點P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與x軸相交于點A，直線y＝kx+b（k≠0）經過點P，且與x軸交于點B．若使△BPA的面積不小于6，求k的取值范圍；（3）已知點C（2，0），T（t，0），且⊙T的半徑為1．當⊙T與點C的特征線存在交點時，直接寫出t的取值范圍．

18．（2022秋?西城區(qū)校級期中）已知函數y＝x2+bx+c（x≥2）的圖象過點A（2，1），B（5，4）．（1）直接寫出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如圖，請補全分段函數y=-并回答以下問題：①寫出此分段函數的一條性質：；②若此分段函數的圖象與直線y＝m有三個公共點，請結合函數圖象直接寫出實數m的取值范圍；（3）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記（2）中函數的圖象與直線y=12x-119．（2021春?豐臺區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，過⊙T（半徑為r）外一點P引它的一條切線，切點為Q，若0＜PQ≤2r，則稱點P為⊙T的伴隨點．（1）當⊙O的半徑為1時，①在點A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴隨點是；②點D在直線y＝﹣x+3上，且點D是⊙O的伴隨點，求點D的橫坐標d的取值范圍；（2）⊙M的圓心為M（m，0），半徑為3，直線y＝2x+3與x軸，y軸分別交于點E，F．若線段EF上的所有點都是⊙M的伴隨點，直接寫出m的取值范圍．

20．（2020?豐臺區(qū)校級開學）已知：點P