提優(yōu)專題31 中考熱點(diǎn)新定義問題專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題31中考熱點(diǎn)新定義問題專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）專題詮釋：新定義題型是近幾年來中考的熱點(diǎn)問題。它常集合數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，方程思想，函數(shù)思想于一體。常以壓軸題身份出現(xiàn)。一．選擇題1．（2021?河北模擬）對于實(shí)數(shù)x，y，我們定義符號max{x，y}的意義：當(dāng)x≥y時(shí)，max{x，y}＝x，當(dāng)x＜y時(shí)，max{x，y}＝y(tǒng)．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，則關(guān)于x的函數(shù)y＝max{3x，x+2}的圖象為（）A．B． C．D．二．填空題2．（2021?深圳模擬）用“●”“□”定義新運(yùn)算：對于數(shù)a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，則（2020□2021）●（2021□2020）＝．3．（2021?碑林區(qū)校級模擬）（正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，對角線BF的延長線與邊DE的延長線交于點(diǎn)M，則∠M的大小為．

4．（2019?福田區(qū)三模）對于m，n（n≥m）我們定義運(yùn)算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，請你計(jì)算A42＝．5．（2022春?塔城地區(qū)期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“⊕”，其運(yùn)算規(guī)則為：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．則不等式x⊕4＞0的解集為．6．（2022秋?魏縣期中）若x是不等于1的實(shí)數(shù)，我們把11-x稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是11-2=-1，﹣1的差倒數(shù)為11-(-1)=12，現(xiàn)已知x1=13，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4是三．解答題7．（2021秋?漢陽區(qū)期中）對任意一個(gè)四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．（1）請任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”，；（2）猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；（3）如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D（m）=m33，則滿足D（m）是完全平方數(shù)的所有m的值是8．（2022秋?膠州市期末）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對于自然數(shù)n，在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”．例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24+25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位．（1）判斷2022是否是“純數(shù)”？請說明理由；（2）請直接寫出2023到2050之間的“純數(shù)”；（3）不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)為．9．（2021?任城區(qū)二模）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．如圖1，對于△ABC，BC邊上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此時(shí)，稱△ABC是“BC邊半高三角形”，AD是“BC邊半高”；如圖2，對于△EFG，EF邊上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此時(shí)，稱△EFG是EF邊半高三角形，GH是“EF邊半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC邊半高三角形”，則AC＝cm；（2）若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長為2cm，則該等腰三角形底邊長的所有可能值為．（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線y＝x+2與拋物線y＝x2交于R，S兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且使得△RSQ為“RS邊半高三角形”．當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間，且PQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．（2022春?梁平區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿足x=a+c3，y=b+d3那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)例如：A＝（﹣1，8），B＝（4，﹣2），當(dāng)點(diǎn)T（x，y）滿足x=-1+43=1，y=8+(-2)3=2時(shí)，則點(diǎn)T（1，（1）已知點(diǎn)A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），請說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn)．（2）如圖，點(diǎn)D（3，0），點(diǎn)E（t，2t+3）是直線l：y＝2x+3上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)．①試確定y與x的關(guān)系式．②若直線ET交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)∠TDH為直角時(shí)，求直線ET的解析式．11．（2019?浙江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）當(dāng)m＝3時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．12．（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點(diǎn)．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連接DM并延長交AB于點(diǎn)Q，延長EF交AC于點(diǎn)N．若N為AC的中點(diǎn)，DE＝4BE，QB＝6，求鄰余線AB的長．13．（2021?南豐縣模擬）如果一個(gè)四邊形的對角線把四邊形分成兩個(gè)三角形，一個(gè)是等邊三角形，另一個(gè)是該對角線所對的角為60°的三角形，我們把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的理想對角線，這個(gè)四邊形稱為理想四邊形．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E為BC中點(diǎn)，連接DE．求證：四邊形ADEC為理想四邊形；（2）如圖2，△ABD是等邊三角形，若BD為理想對角線，為使四邊形ABCD為理想四邊形，小明同學(xué)給出了他的設(shè)計(jì)圖（見設(shè)計(jì)后的圖），其中圓心角∠BOD＝120°；請你解釋他這樣設(shè)計(jì)的合理性．（3）在（2）的條件下，①若△BCD為直角三角形，BC＝3，求AC的長度；②如圖3，若CD＝x，BC＝y(tǒng)，AC＝z，請直接寫出x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系．14．（2020?朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射線OC上存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點(diǎn)P為線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)．（1）如圖，t＝0，①若n＝0，則線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是；②若n＜0，且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1，求n的取值范圍；（2）若n=33，且射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，則t的取值范圍是15．（2022?房山區(qū)模擬）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2，給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M，N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系．（1）如圖1，點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)C，E重合），連接OP，DP．①線段OP的最小值為，最大值為；線段DP的取值范圍是；②在點(diǎn)O，點(diǎn)D中，點(diǎn)與線段DE滿足限距關(guān)系；（2）在（1）的條件下，如圖2，⊙O的半徑為1，線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)F，G，且FG∥EC，若線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）⊙O的半徑為r（r＞0），點(diǎn)H，K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以H，K為圓心，2為半徑作圓得到⊙H和⊙K，若對于任意點(diǎn)H，K，⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．16．（2022?西城區(qū)校級模擬）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且x1≠x2．若存在一個(gè)正數(shù)k，使點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對“限斜點(diǎn)”，k叫做點(diǎn)P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，12），有|0-12|=14|1﹣3|，所以點(diǎn)P已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12（1）在點(diǎn)A，B，C，D中，找出一對“限斜點(diǎn)”：，它們的“限斜系數(shù)”為；（2）若存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E，A是一對“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E，B也是一對“限斜點(diǎn)”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）⊙O半徑為3，點(diǎn)M為⊙O上一點(diǎn)，滿足MT＝1的所有點(diǎn)T，都與點(diǎn)C是一對“限斜點(diǎn)”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．17．（2020?密云區(qū)一模）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)P，給出如下定義：經(jīng)過點(diǎn)P且平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫做點(diǎn)P的“特征線”．例如：點(diǎn)M（1，3）的特征線是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若點(diǎn)D的其中一條特征線是y＝x+1，則在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三個(gè)點(diǎn)中，可能是點(diǎn)D的點(diǎn)有；（2）已知點(diǎn)P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與x軸相交于點(diǎn)A，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)P，且與x軸交于點(diǎn)B．若使△BPA的面積不小于6，求k的取值范圍；（3）已知點(diǎn)C（2，0），T（t，0），且⊙T的半徑為1．當(dāng)⊙T與點(diǎn)C的特征線存在交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

18．（2022秋?西城區(qū)校級期中）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（x≥2）的圖象過點(diǎn)A（2，1），B（5，4）．（1）直接寫出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如圖，請補(bǔ)全分段函數(shù)y=-并回答以下問題：①寫出此分段函數(shù)的一條性質(zhì)：；②若此分段函數(shù)的圖象與直線y＝m有三個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記（2）中函數(shù)的圖象與直線y=12x-119．（2021春?豐臺區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙T（半徑為r）外一點(diǎn)P引它的一條切線，切點(diǎn)為Q，若0＜PQ≤2r，則稱點(diǎn)P為⊙T的伴隨點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴隨點(diǎn)是；②點(diǎn)D在直線y＝﹣x+3上，且點(diǎn)D是⊙O的伴隨點(diǎn)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)d的取值范圍；（2）⊙M的圓心為M（m，0），半徑為3，直線y＝2x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙M的伴隨點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．

20．（2020?豐臺區(qū)校級開學(xué)）已知：點(diǎn)P