專題31 證明切線的方法問題（解析版）-中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題31證明切線的方法問題【規(guī)律總結】法一：運用判定定理是證明切線最常用的方法,即如果直線與圓有交點,則連接交點與圓心得半徑,只要證明這條半徑與該直線垂直即可.這種方法可簡單概括為:連半徑,證垂直.法二：當不明確直線與圓的交點個數(shù)或交點的位置時,可以經(jīng)過圓心作直線的垂線,然后證明圓心到直線的距離等于圓的半徑即可.這種方法可簡單概括為:作垂線,證半徑.【典例分析】例1．（2017·河南九年級其他模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD的延長線交于點C，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為___．【答案】π﹣．【分析】結合題意，利用三角形邊長關系，得出△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等邊三角形，將陰影部分的面積轉化為三角形的面積，然后利用扇形面積，建立等式，計算結果，即可.【詳解】連接OE、OD，點D、E是半圓的三等分點，∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°∵OA＝OE＝OD＝OB∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等邊三角形，∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；∴圖中陰影部分的面積＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝=．故答案為．【點睛】考查圓綜合問題，考查等邊三角形的判定，關鍵將陰影部分面積轉化為苛求的三角形面積，難度中等．例2．（2020·云夢縣實驗外國語學校九年級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，于點B，連接OC交⊙O于點E，弦，弦于點G．（1）求證：點E是弧BD的中點；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）若，⊙O的半徑為5，求弦DF的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）連接OD，由同圓半徑相等和平行線性質證明可證E是弧BD的中點；

（2）先證明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根據(jù)切線的判定方法得到結論；

（3）連接BD，先根據(jù)垂徑定理得到DG=FG，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則可根據(jù)勾股定理計算出BD，然后利用面積法計算出DG，從而得到DF的長．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖∵，∴，又∵，∴，，∴，∴=∴點E為弧BD的中點（2）證明：∵在與中，∴，∴，∴CD為⊙О的切線．（3）∵，∴．設，則，在和中，由勾股定理得：，解得：．∴∴【點睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了圓周角定理和垂徑定理．例3．（2021·遼寧葫蘆島市·九年級期末）如圖：中，，以為直徑作交于點，交于點，點在的延長線上，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接AD，根據(jù)直角所對圓周角是直角可得∠BAD與ABD的和是90°，再根據(jù)等腰三角形的性質可得∠BAD是∠BAC的一半，結合已知條件即可得到結論；（2）連接BE，設AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的長，再證，得到AE的長，即可得到CE的長；【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．（2）設，則，在中，∵，∴，解得，∴，，連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．【點睛】本題考查圓周角定理、切線的判定，相似三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．【好題演練】一、填空題1．（2019·山東德州市·九年級二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝13，AC＝5，則tan∠ADC＝_____．【答案】【分析】結合勾股定理，計算BC的長度，利用圓周角定理，計算結果，即可．【詳解】解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝12，∴tan∠ADC＝tanB＝＝，故答案為:．【點睛】考查勾股定理，考查圓周角定理，關鍵得出，計算結果，即可，難度中等．2．（2015·山西九年級專題練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，則直線y=x+與以O點為圓心，1為半徑的圓的位置關系為__．【答案】相切【詳解】解：令y=x+=0，解得：x=﹣，令x=0，解得：y=，∴直線y=x+與x軸交于點A（﹣，0），與y軸交于點B（0，），OA=，OB=，∴AB=設圓心到直線y=x+的距離為r，則∴r==1，∵半徑為1，∴d=r，∴直線y=x+與以O點為圓心，1為半徑的圓的位置關系為相切，故答案為：相切．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系；坐標與圖形性質．二、解答題3．（2021·廣東潮州市·九年級期末）如圖，為的直徑，切于點，與的延長線交于點，交延長線于點，連接，，已知，，．（1）求證：是的切線；（2）求的半徑．（3）連接，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）圓的半徑為；（3）．【分析】（1）由已知角相等、對頂角相等，根據(jù)三角形內角和180°得到，即可解題；（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設OC=r，則OD=8-r，利用勾股定理列出關于方程的解得到r的值，即為圓的半徑；（3）延長、相交于點，根據(jù)切線的性質及角平分線的性質，證明，繼而解讀BF的長，再由勾股定理解題即可．【詳解】（1）證明：，，，，，為的切線；（2）解：在中，，，根據(jù)勾股定理得：，與都為的切線，；在中，設，則有，根據(jù)勾股定理得：解得：，則圓的半徑為．（3）延長、相交于點與都為的切線，平分又，在中，【點睛】本題考查切線的判定與性質、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．4．（2020·河南漯河市·九年級期末）如圖，已知拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經(jīng)過點，直線與拋物線交于，兩點，以為直徑作圓，圓心為點，圓與直線交于對稱軸右側的點，直線上每一點的縱坐標都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓與軸相切；（3）過點作，垂足為，再過點作，垂足為，求的值．（或者求的值）【答案】（1）；（2）見解析；（3），．【分析】（1）根據(jù)題意拋物線頂點為，利用拋物線的頂點坐標公式，設其解析式為，將經(jīng)過該拋物線的點代入拋物線的頂點坐標公式即可求得解析式．（2）拋物線和直線的交點B、D坐標通過聯(lián)立方程可知．為的中點，所以C點縱坐標即Ｃ點到x軸的距離可知．由此推出點到軸的距離等于圓的半徑.所以圓與軸相切．（3）過點作，垂足為，連接，由題意可知CH的長度，根據(jù)勾股定理求出HM的長度，根據(jù)C、D點坐標可以求出HF長度，所以MF=HF-HM，即求出結果．由（2）知BE=B點縱坐標-1，即可得的值．【詳解】（1）解：∵已知拋物線的圖像的頂點坐標是，∴可設拋物線解析式為，∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，∴拋物線解析式為，即．（2）證明：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得：或，∴，，∵為的中點，∴點的縱坐標為，∵，∴圓的半徑為，∴點到軸的距離等于圓的半徑，∴圓與軸相切．（3）解：如圖，過點作，垂足為，連接，由（2）知，在中，由勾股定理求得，∵，∴．BE=∴【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)的交點坐標、切線的判定和性質以及勾股定理．（1）注意拋物線的頂點式解題更簡便；（2）求出B、D的坐標是解題的重點．（3）輔助線的連接是解題關鍵．綜合性較強．5．（2020·廈門大學附屬科技中學九年級月考）如圖1，四邊形內接于，為的直徑，與交于點，且．（1）若，求證：；（2）如圖2，繞點逆時針旋轉得到，點經(jīng)過的路徑為弧，若，求圖中陰影部分四邊形的面積；（3）在（2）的條件下，連接，求證：為的切線．【答案】（1）證明見解析；（2）16-8；（3）證明見解析【分析】（1）欲證明AB=BC，只要證明∠BAC=∠ACB即可；

（2）如圖2中，設AB的延長線交FG于M，連接CM，在BC上取一點N，使得CN=NM．想辦法求出BM的長即可解決問題；

（3）如圖2-1中，連接OB、BF、作FH⊥AC于H．只要證明四邊形OBFH是矩形即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE，

∴∠AEB=∠DAB，

∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，

∴∠EAB=∠ADE，

∵∠ADE=∠ACB，

∴∠EAB=∠ACB，

∴AB=BC．

（2）如圖2中，設AB的延長線交FG于M，連接CM，在BC上取一點N，使得CN=NM．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，

∴AB=BC=2，

∵BC=CG，CM=CM，

∴Rt△CBM≌Rt△CGM，

∴∠MCB=∠MCG=15°，

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=15°，

∴∠MNB=30°，設BM=a，則MN=CN=2a，BN=a，

∴2a+a=2，

∴a=4-2，

∴S陰=2××BM×BC=（4-2）×2=16-8．

（3）如圖2-1中，連接OB、BF、作FH⊥AC于H．

∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，

∴FH=CF=AC=OA=OB，

∵BA