專題56 多個(gè)函數(shù)的綜合問題（1）（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題56多個(gè)函數(shù)的綜合問題（1）【規(guī)律總結(jié)】反比例函數(shù)（k≠0）k的符號k＞0k＜0圖像性質(zhì)①x的取值范圍是x≠0，y的取值范圍是y≠0②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減?、賦的取值范圍是x≠0，y的取值范圍是y≠0②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【典例分析】例1．（2020·浙江九年級一模）有下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．其中圖象經(jīng)過如圖所示陰影部分（包括邊界）的函數(shù)有（）A．①② B．①③ C．②③ D．②③④【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖像，作出判斷即可．【詳解】解：①；圖像經(jīng)過（0，0）、（1，2）兩點(diǎn)，如圖1②；圖像經(jīng)過（0，4）、（3，2）兩點(diǎn)，如圖2③；圖像經(jīng)過（1，4）、（4，1）兩點(diǎn)，如圖3④；圖像開口向下，頂點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)，，如圖4．∴圖象經(jīng)過如圖所示陰影部分（包括邊界）的函數(shù)有②③④故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．例2．（2019·四川自貢市·成都實(shí)外九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，連接并延長交軸與點(diǎn)，連接，．若的面積是24，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k、m的值，設(shè)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題解方程組可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），再利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=，直線AC的解析式為，于是利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+3），P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+3），然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到關(guān)于a的方程，求出a的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】設(shè)交軸于，如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，解方程組得或，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把、代入得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，把、代入得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．∵，∴，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)；若方程組無解則兩者無交點(diǎn)．也考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．例3．（2018·山東濟(jì)南市·九年級二模）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時(shí)間x（時(shí)）的關(guān)系可近似地用正比例函數(shù)刻畫；1.5小時(shí)后（包括1.5小時(shí)）y與x的關(guān)系可近似地用反比例函數(shù)刻畫（如圖）．（1）求k的值．（2）當(dāng)時(shí)肝功能會受到損傷，請問肝功能持續(xù)受損的時(shí)間多長？（3）按國家規(guī)定，駕駛員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百亳升時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．假設(shè)某駕駛員晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否駕車？請說明理由．【答案】（1）；（2）肝功能持續(xù)受損的時(shí)間為2.25小時(shí)；（3）第二天早上7：00不能駕車去上班，理由見解析．【分析】（1）當(dāng)x=1.5時(shí)，求出y=150，進(jìn)而代入，代入可求得k的值；（2）把y=75分別代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，可求得x的值，則可求得持續(xù)時(shí)間；（3）可求得時(shí)間為11小時(shí)，把x=11代入反比例函數(shù)解析式可求得酒精含量，結(jié)合規(guī)定可進(jìn)行判斷．【詳解】（1）由題意可得：當(dāng)x=1.5時(shí)，y=150，則滿足，∴；（2）把y=75代入，解得；把代入得，，∵3-0.75=2.25小時(shí)，∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的時(shí)間持續(xù)了2.25小時(shí)，答：肝功能持續(xù)受損的時(shí)間為2.25小時(shí)；（3）不能駕車上班，理由如下：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時(shí)，∴將代入，則，∴第二天早上7：00不能駕車去上班．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一元一次方程等知識點(diǎn)．掌握自變量、函數(shù)值等知識是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·浙江九年級其他模擬）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，，再根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置，可確定，，∴一次函數(shù)的圖象y隨x增大而減小，且與y軸交于點(diǎn)，排除A、B；，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象確定，是解題的關(guān)鍵．2．（2020·河南鄭州市·鄭州外國語中學(xué)九年級三模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于點(diǎn)和點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)，若的面積與的面積相等，則的值是（）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】由反比例k的幾何意義可得S△OCE=k，設(shè)D（x，），所以S△BOD=-x，再由已知可得k=-x，求得D（-k，-2），再將點(diǎn)D代入y=x-1即可求k的值．【詳解】解：由題意可求B（0，-1），

∵直線y=x-1與y1=交于點(diǎn)C，

∴S△OCE=k，設(shè)D（x，），∴S△BOD=×1×（-x）=-x，∵△COE的面積與△DOB的面積相等，∴k=-x，∴k=-x，

∴D（-k，-2），

∵D點(diǎn)在直線y=x-1上，∴-2=-k-1，∴k=2，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；熟練掌握反比函數(shù)的k的幾何意義，函數(shù)上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·福建莆田市·九年級二模）如圖，曲線是由函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，過點(diǎn)，的直線與曲線相交于點(diǎn)、，則的面積為_______．【答案】【分析】由題意得，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用方程組求出M、N的坐標(biāo)，根據(jù)S△OMN=S△OBM-S△OBN計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴,∵,∴OA⊥OB．建立如圖新的坐標(biāo)系，OB為x′軸，OA為y′軸．∵在新的坐標(biāo)系中，A（0，8），B（4，0），由待定系數(shù)法可得直線AB解析式為y′=-2x′+8，函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，聯(lián)立，解得或，∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會建立新的坐標(biāo)系解決問題．4．（2020·福建省泉州第一中學(xué)九年級其他模擬）如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)C在第四象限，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是x軸正半軸上一點(diǎn)，AC平分∠BAD，E是AD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)(k0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，E．若△ACE的面積為6，則k的值為______．【答案】8【分析】連接OC，在RtABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，得到OC＝AB＝OA，根據(jù)角平分線的定義得到∠OAC＝∠EAC，得到∠OCA＝∠EAC，過A作AM⊥x軸于M，過D作DN⊥x軸于N，易得S梯形AMNC＝S△AOC，DAM∽DEN，得到S梯形AMNC＝S△AOC＝S△AEC＝6，求得S△AOD＝9，延長DA交y軸于P，易得DAM∽DPO，設(shè)EN＝a，則AM＝2a，推出S△DAM：S△AOM＝2：1，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接OC，在RtABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝AB＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC是∠BAD的角平分線，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠OCA＝∠EAC，∴AE∥OC∴S△AEC＝S△AOE，過A作AM⊥x軸于M，過E作EN⊥x軸于N，∵A、E都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴S△AOM＝S△EON，∴S梯形AMNE＝S△AOE，∵AM∥EN，∴DAM∽DEN，∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6，∴S△AOD＝12，延長DA交y軸于P，易得DAM∽DPO，設(shè)EN＝a，則AM＝2a，∴ON＝，OM＝，∴MN＝，DN＝，∴DM：OM＝2：1，∴S△DAM：S△AOM＝2：1，∴S△AOM＝4，∴k＝8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的意義；借助直角三角形和角平分線，將ACE的面積轉(zhuǎn)化為AOC的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2021·北京石景山區(qū)·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與函數(shù)，的圖象交于點(diǎn)．（1）求，的值；（2）點(diǎn)是函數(shù)，的圖象上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)，在直線上，點(diǎn)橫坐標(biāo)為．若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）；k=4；（2）或【分析】(1)把點(diǎn)A代入直線求出t，反比例函數(shù)過點(diǎn)A，可求k；(2)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為．利用面積求出．由,點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過A作AD⊥x軸，交過P、Q分別與x軸平行的直線與C、D，由QC∥PD，易證△AQC∽△APD，由性質(zhì)即，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，過P作PF∥x軸，與過A、Q作y軸的平行線交于E，F(xiàn)，由AE∥QF得△PAE∽△PQF由性質(zhì)，推出即解不等式求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)在直線上，，函數(shù)，的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為．，，，．,點(diǎn)橫坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，；過A作AD⊥x軸，交過P、Q分別與x軸平行的直線與C、D，由QC∥PD，∴△AQC∽△APD，即，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，過P作PF∥x軸，與過A、Q作y軸的平行線交于E，F(xiàn)，∵AE∥QF，∴△PAE∽△PQF，∴即，∴即．綜上所述：點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，三角形面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，用三角形面積求出線段的不等關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)解決坐標(biāo)的范圍是解題關(guān)鍵．6．（2021·全國九年級）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)、的坐標(biāo)為，．動點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，其中，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動了秒．（1）用含的代數(shù)式表示的坐標(biāo)（直接寫出答案）；（2）設(shè)，求的最小值，并求此時(shí)的值；（3）是否存在的值，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為18；（3）存在；當(dāng)秒或秒．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出的解析式，求出的長度表達(dá)式即為點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式；（2）求出的長度表達(dá)式，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積表達(dá)式，用的面積減去的面積表達(dá)式即為，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求法解答；（3）先假設(shè)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相