廣東省2021年中考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共io小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.71B.y/2C.|-2|D.3

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)實數(shù)大小比較法則比較數(shù)的大小即可.

【詳解】解：）儀3.14,V2?1,414.|-2|-2,

5/2<|-2|<3<7T>

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，關(guān)鍵要熟記：正實數(shù)都大于0,負(fù)實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負(fù)

實數(shù)，兩個負(fù)實數(shù)絕對值大的反而小.

2.據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計報告

接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.510858xlO9B.51.0858xlO7C.5.10858xl04D.5.1O858xlO8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式ax10",其中14|。|<10,〃為整數(shù)，一定要將題目中的“51085.8萬”

轉(zhuǎn)化為數(shù)字510858000,即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來.

詳解】51085.8萬=510858000=5.10858?108.

故選：D.

【點睛】本題主要考察科學(xué)計數(shù)法的表示形式，科學(xué)記數(shù)法的表示形式ax10",其中141al<10,〃為整

數(shù)，此題容易將題目中的“萬”遺漏，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題關(guān)鍵.

3.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

12632

【答案】B

【解析】

【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7

的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計算公式即可求得所求的概率.

366

故選：B.

【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所

有可能的結(jié)果數(shù)及某一事件的結(jié)果數(shù)表示出來，具有直觀的特點.

4.已知9"'=3,27"=4,則32'"+3〃=()

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【解析】

【分析】利用同底數(shù)基乘法逆用轉(zhuǎn)換求解即可.

【詳解】解：；9"'=3,27"=4,

...322=32mX=02x⑶)"=9mx27"=3X4=12,

故選：D.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)累乘法的逆用，熟練掌握其運算法則即表現(xiàn)形式是解題關(guān)鍵.

5.若卜-碼+，9、2-12"+41=0,則而=()

A.73B.1C.D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一個實數(shù)的絕對值非負(fù)，一個非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根非負(fù)，且其和為零，則它們都為零，從

而可求得6的值，從而可求得時的值.

［詳解］?.?卜_620，,9/一12"+4V220,且卜一甸+J9a2-12"+4二=0

A|?-V3|=0,y］9a2-12ab+4b2=^（3a-2bV=0

即。一下＞=0,且3。-2Z?=0

ah=y/i

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，一般地，幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)都為

零.

6.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）

一,nn,

1%也

A＞.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征，11種不同情況進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個圖不是正方體的展開圖，故四個圖中有3個圖是正方

體的展開圖.

故選：C.

【點睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡潔.

7.如圖，AB是。。的直徑，點C為圓上一點，4。=3,//18。的平分線交4。于點。，CD=l,則。。

的直徑為（）

c

a

A.GB.2百C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】過。作DE±AB垂足為E,先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=\,再說明

RfADEBqDCB得至I]BE=BC,然后再利用勾股定理求得4E,設(shè)BE=BC=x,AB=AE+BE=x+6,最后

根據(jù)勾股定理列式求出x,進(jìn)而求得AB.

【詳解】解：如圖：過。作。E_L4B,垂足為E

,：AB是直徑

/.NACB=90°

/ABC的角平分線8。

:.DE=DC=l

在RmDEB和R3DCB中

DE=DC、BD=BD

:.Rt4DEB冬RtADCB(HL)

：.BE=BC

在RtX4OE中，AO=AC-OC=3-1=2

心[AD。-DE。=A/22-12=A/3

設(shè)BE=BC=x,AB=AE+BE=x+6

在R/AABC中，AgAG+BC2

則(X+百)2=32+/,解得廣百

.?.AB=G+百=2百

故填：2VL

C

D

AB

EO

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為解

答本題的關(guān)鍵.

8.設(shè)6-的整數(shù)部分為〃，小數(shù)部分為"則修。+’而膽的值是（）

A.6B.2710C.12D.9M

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)可的整數(shù)部分可確定。的值，進(jìn)而確定Z?的值，然后將a與匕的值代入計算即可得到

所求代數(shù)式的值.

【詳解】3＜加＜4,

2<6—J10<3，

???6—J市的整數(shù)部分a=2,

???小數(shù)部分〃=6-—2=4-麗，

（2a+Vio）/?=（2x2+VTo）（4-^）=（4+VlO）（4-Vio）=16-10=6.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定6-Ji6的整數(shù)部分。與小數(shù)部分力的值是解題關(guān)鍵.

9.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出

的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,c,記〃=則其面積

S=ylp（p-a）（p-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若〃=5,c=4,則此三角形面積的最

大值為（）

A.V5B.4C.2>/5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得4+匕=6,S=55(5_幻(5_份=亞Mab-5,把人=6-。代入S的表達(dá)式中得：

sCc^+Ga-5,由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值?

【詳解】；P=5,c=4,〃="+：

/.a+b=2p-c=6

：.S=j5(5-a)(5-份(5-4)=芯?&ib-5

由“+b=6,得6=6-a,代入上式，得：S=底Ja(6-a)-5=底J-/+6a-5

設(shè)y=-q2+6a—5,當(dāng)y=-/+6。-5取得最大值時，S也取得最大值

y——a-+6a—5——(a—3)"+4

.?.當(dāng)”=3時，y取得最大值4

??.S的最大值為百X"=2

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出“+斤6,把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大

值問題.

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A、B為拋物線y=V上的兩個動點，且。4_L。3.連接點A、B,過。作OC_LAB

于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值()

A1?V2c也n1

A.D.U.1),1

222

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)A(〃，洲，B(b,從)，求出A8的解析式為y=(a-,口+1,進(jìn)而得到。。=1,由/OCB=90。可

a

知，C點在以0。的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當(dāng)C"為圓E半徑時最大，由此

22

即可求解.

【詳解】解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H,AB與x軸的交點為Q,

?.kOA,kOB——1,

?心里1

??—；-"1，

ab

即ab--\,

設(shè)A8的解析式為：y=(a-+m,代入A(a,a2),

a

解得：m=\,

OD=1,

VOC^-AB,即NOCB=90，

.??C點在以0。的中點E為圓心，以/?=,。。=,為半徑的圓上運動，

22

當(dāng)CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，

故CH的最大值為r=!，

2

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識等，本題的關(guān)鍵是求出AB與)，軸交點的縱坐標(biāo)始終為

1，結(jié)合NOC5=90，由此確定點E的軌跡為圓進(jìn)而求解.

二、填空題：本大題7小題

x+2y=—2

11.二元一次方程組-c的解為

2x+y=2

【答案】\x—2c

b=-2

【解析】

(分析］由加減消元法或代入消元法都可求解.

x+2y=-2①

【詳解】解:

2x+y-2②

由①式得：x=-2-2y,代入②式,

得：2(-2-2y)+y=2,

解得y=-2,

再將y=-2代入①式，

X-2?2-2,

解得x=2,

x=2

故填：\x=2.

y=-2

【點睛】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

12.把拋物線y=2f+l向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為

【答案】y=2x2+4x

【解析】

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：拋物線y=2/+1向左平移1個單位長度，

再向下平移3個單位長度，

得到的拋物線的解析式為：y=2(x++1-3,

即：y=2x2+4x

故答案為：y=2f+4x.

【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，等腰直角三角形ABC中，NA=9（RBC=4.分別以點8、點C為圓心，線段長的一半為

半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點。、E、F,則圖中陰影部分的面積為一.

【答案】4—萬

【解析】

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長，根據(jù)S睚=SA"C-2S*彩團(tuán)即可得答案.

【詳解】?.?等腰直角三角形ABC中，NA=90°,3C=4,

5

AC=AB=—BC=2y[2，ZB=ZC=45°,

2

SUi?—SAABC-2s&彩CE產(chǎn)-AC-AB—2x----------=4—,

2360

故答案為：4—萬

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵.

14.若一元二次方程/+灰+。=0（b,C為常數(shù)）的兩根芭,々滿足一3<%<一1,1<￡<3,則符合條件

的一個方程為.

【答案】％2-4=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】設(shè)丁=/+法+。與y=0交點為與,々，根據(jù)題意一3<%<—1/</<3關(guān)于y軸對稱和二次函

數(shù)的對稱性，可找到西、々的值（X，々只需滿足互為相反數(shù)且滿足1<1幻<3即可）即可寫出一個符合條

件的方程

【詳解】設(shè)y=*2+6x+c與y=0交點為，

根據(jù)題意-3<$<-1,1<當(dāng)<3

貝ijl<|x|<3

y=x2+bx+c的對稱軸為x=0

故設(shè)芯=-2,々=2

則方程為：JC2-4=0

故答案為：x2—4=0

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和找到兩

根的對稱性類比二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵

?131

15.若XH---——且0V%V1,則X?......-=

x6x

【答案一記

【解析】

11311

【分析】根據(jù)1+—=一,利用完全平方公式可得（尤-一）2=一，根據(jù)X的取值范圍可得X--的值，利

x6x36x

用平方差公式即可得答案.

113

【詳解】V%+-=—,

x6

?/1、2/1、2/125

??（X—）=（XH—）-4x*-=,

xxx36

V0<x<l,

1

..X<一，

X

15

/.X—=—，

x6

，1/I”1、13/5、65

.-,x-7=(x+-)(x--)=-x(--)=--

65

故答案為:

36

【點睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運用公式是解題的關(guān)鍵.

4

16.如圖，在「ABCD中，A￡>=5,AB=12,sinA=§.過點。作垂足為E,則

sin/5CE=

【答案】嚕

【解析】

【分析】首先根據(jù)題目中的sinA,求出比>的長度，再用勾股定理求出AE,即可求出EB,利用平行四邊

形的性質(zhì)，求出C3,在心△￡>￡€?中，用勾股定理求出EC,再作B廣，CE,在中，利用等面積法求

出BF的長，即可求出sin/BCE.

【詳解】DELAB,

...△AOE為直角三角形，

,4

又；AD=5,sinA=—,

..4DEDE

sinA=—=--=------,

5AD5

解得DE=4,

在用△/1￡>￡中，由勾股定理得：

AE=yjAD2-DE2=抬孑=3，

又：AB=12,

BE=AB-AE=12-3=9,

又,:四邊形AHCD為平行四邊形，

：.CD=AB=\2AD=BC=5

在川△￡>&:中，由勾股定理得：

EC=y/CD2+DE2=V122+42=4而，

過點8作BF_LCE,垂足為￡如圖

SAEBC=；/BgDE=；倉吩4=18;

又?：S4EBC=1gC￡g6F=I?4何郵=2回BF

2V10BF=18,

解得BF=2叵，

10

在Rt/\BFC中，

.REBF9710._9V10

sin?9BCF---=-----?5-----,

BC1050

故填：亞，

50

【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解

題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高.

17.在中，NA8C=90°,AB=2,BC=3.點。為平面上一個動點，NA￡>B=45°,則線段CO長

度的最小值為.

【答案】石一近

【解析】

【分析】由已知Z4D8=45°,AB=2,根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角

的一半可知，點。在以。為圓心0B為半徑的圓上，線段CD長度的最小值為CO-00.

【詳解】如圖：以為半徑作圓，過圓心。作

2

以0為圓心08為半徑作圓，則點。在圓。上，

ZA￡)B=45°

.'.ZAOB=90°

AB^2

AN=BN=1

AO—A/12+12=V2

ON=OM=-AB=\,BC=3

2

OC=712+(3-D2=V5

:.CO-OD=也-垃

線段CD長度的最小值為：石-亞.

故答案為：石-亞.

【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖

形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（一）：本大題共3小題

,2x-4>3（x-2）

18.解不等式組,x—7

4x>----

I2

【答案】-1<XW2.

【解析】

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

2x-4>3（x-2）?

【詳解】解：x-7「、

I2

由①得：xW2；

由②得：x>-1,

則不等式組的解集為-l<xW2.

【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

19.某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽.用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽

取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：

人數(shù)4

（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù).

【答案】（1）眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,平均數(shù)：90.5；（2）450人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）利用樣本估計總體思想求解可得.

【詳解】解：（1）由列表中90分對應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90,

由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)應(yīng)該是90,

眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,

皿80x2+85x3+90x8+95x5+100x2”「

平均數(shù)=-------------------------------------=90.5.

20

答：這20名學(xué)生成績的眾數(shù)90,中位數(shù)90,和平均數(shù)90.5；

（2）20名中有8+5+2=15人為優(yōu)秀，

153

...優(yōu)秀等級占比：—

204

3

該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為：600x-=450（人）

4

答：該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)450人.

【點睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答問題.

20.如圖，在RfABC中，ZA=90°,作BC的垂直平分線交AC于點D,延長AC至點E,使CE=AB.

（1）若AE=1，求△ABD的周長；

（2）若求tan/ABC的值.

3

【答案】（1）1；（2）V2

【解析】

【分析】（1）作出8c的垂直平分線，連接BD,由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到

DB=DC,由此即可求出△AB。的周長；

（2）設(shè)AT>=x,BD=3x,進(jìn)而求出AC=AD+CD=4x,在RrABD中使用勾股定理求得

AB=2V2x-由此即可求出tanNA3c的值?

【詳解】解：（1）如圖，連接8D，設(shè)垂直平分線交5c于點F,

V。尸為垂直平分線，

二BD=CD,

CABD=AB+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

,/AB=CE,

:.CABD=AC+CE=AE=1.

(2)設(shè)AD=xBD—3x，

又???53=C。，???AC=AD+CE>=4x,

RtAAB。中，AB=y/BD2-AD2=7(3x)2-x2=272%.

tanZAfiC=—==

AB2垃x

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上

的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）：本大題共3小題

21.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，一次函數(shù)丁=丘+力仕＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與

反比例函數(shù)y=土圖象的一個交點為P（l,m）.

x

（1）求〃2的值；

（2）若B4=2A3，求女的值.

【答案】（1）4：（2）攵=2或左=6

【解析】

4

【分析】（1）將P點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式》=—,計算即可求得〃?；

x

（2）分兩種情況討論，當(dāng)一次函數(shù)過一、二、三象限時，畫出圖像，將Q4=2AB轉(zhuǎn)化為兩個三角形相似,

過過P作尸”_Lx軸交x軸于點”，證明VABO:NAPH,即可求出女和人的值；當(dāng)一次函數(shù)過一、三、

四象限時，畫出圖像，將Q4=2AB轉(zhuǎn)化為兩個三角形相似，過點P作PQ軸于點。，證明V84。：NBPQ

即可求出4和b的值.

4

【詳解】解：（1）為反比例函數(shù)y=一上一點，

x

4

代入得m=—=4,

加=4.

（2）令y=0,即京+。=0,

令x=0,y=匕，；.8（0力），

PA=2AB.

由圖象得，可分為以下兩種情況,

①B在y軸正半軸時，b>0,

PA=2AB，

過P作軸交x軸于點H,又耳。_LA"，/必。N4A。,

二八4。51，A"P,

4。_B0_i

A,P—A,H~~PH~2

44一A。/

：.B.O=-PH^4x-=2,

122B[POH1'

即AA=B]P,AQ=OH,

:?b=2,

：.A]O=OH=\,

②5在y軸負(fù)半軸時，hvO,

?/PQ±BQ,&O±BQ,ZA2B2O=ZA,B2Q,

:…&OB2S,PQB2,

.A?」_B?O

,西一§一瓦一而

???4。=+￥?！?/p>

B2O=^B2Q^^OQ=\b\=2,

,：b<0,

.?…，代入料

:?k=6,

綜上，k=2或k=6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，將

題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比是解題關(guān)鍵.

22.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙

粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相

同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售

出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50WxW65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x

的函數(shù)解析式并求最大利潤.

【答案】（1）豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；（2）y=-2x2+280x-8000（50<x<65）,

最大利潤為1750元

【解析】

【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價“元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，根據(jù)某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽

和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計算即可：

（2）根據(jù)題意當(dāng)x=50時，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時，每天可售口00-2*-50）］盒，列出

二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算最大值即可.

【詳解】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價〃元，則豆沙粽每盒進(jìn)價（。-10）元.

80006000

則nl丁=言

解得：a=40,經(jīng)檢驗a=40是方程的解.

...豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元.

答：豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元.

（2）由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售100盒.

當(dāng)豬肉粽每盒售X元時，每天可售［100-2（X-50）］盒.每盒的利潤為（%—40）

y=(%-40).[100-2(x-50)],

=-2A:2+280%-8000

配方得：y=—2(x—70)2+1800

當(dāng)x=65時，y取最大值為1750元.

j=-2x2+280x-8000(50<x<65),最大利潤為1750元.

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2/+280x—8000(504x465),且最大利潤為1750元.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式是

解決本題的關(guān)鍵.

23.如圖,邊長為1的正方形ABCD中，點E為A。的中點.連接BE,將AABE沿BE折疊得到,.EBE,BF

交AC于點G,求CG的長.

【答案】CG=?6

7

【解析】

【分析】根據(jù)題意，延長BF交CD于H連EH，通過證明RfEDHmRtEFH(HL)、.DHES,AEB

33

得到CH=W，再由'."GCSABGA得到CG=1(AC—CG),進(jìn)而即可求得CG的長.

【詳解】解：延長交CO于“連￡”，

：,FBE由AABE沿BE折疊得到,

；?EA=EF，NEFB=NEAB=90。，

為A。中點，正方形ABC。邊長為1,

EA-ED=—,

2

ED=EF=-,

2

???四邊形ABC。是正方形，

/.ND=NEFB=/EFH=90°,

在RtAEDH和RtEFH中，

ED=EF

EH=EH'

：.RtEDH/Rt.EFH(HL),

/.ZDEH=ZFEH,

又?：ZAEB=/FEB，

:.ZDEH+ZAEB=90°,

■:ZABE+ZAEB=90°,

ZABE=ZDEH,

ADHES.AEB，

.DHAE1

??---------二一,

DEAB2

/.DH=—,

4

13

：.CH=CD-DH=\一一

44

,/CH//AB,

,HGCs^BGA,

.CGCH3

"AG-4

33

：.CG=-AG=-(AC-CG)>,

VA5=l,CB=\,NCR4=90°,

；?AC=五,

CG=；(GCG

：.CG=-42.

7

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌

握相關(guān)幾何知識是解決本題的關(guān)鍵.

五、解答題(三)：本大題共2小題

24.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB^CD,NA3C=90。，點E、產(chǎn)分別在線段8C、ADt,

JI.EF//CD,AB=AF,CD=DF.

BA

(1)求證：CF上FB；

(2)求證：以AZ＞為直徑的圓與8c相切；

(3)若￡戶=2,ZDFE=120°,求，,4)石的面積.

O

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)—6

3

【解析】

【分析】⑴設(shè)ZDCF=ZDFC=a,進(jìn)而求得ZABF=ZAFB=90°-a,再由

ZCFB=180°—ZCFD-NBFA=900即可求得CF_LFB；

⑵取AO中點。，過點。作OM_LBC,由梯形中位線定理得到。M=；(A3+CD),利用

AF=AB,=OC得到4)=2。4,進(jìn)而。4=QM=OD,由此即可證明；

(3)過點。，點A分別向所作垂線交防于點例，M得到SAOE=S所D+5.EFA，分別求出

EF

BE=1^3,CE=GEE=26再代入求解即可.

【詳解】解：(1)'：CD=DF,設(shè).NDCF=NDFC=a,

：.NEDC=180°—2a,

'：CD/7AB,

Z.ZBAF=180-(180-2a)=2a,

又：AB=AF，

iono_

AABF=AAFB=———巴=90°-a,

2

ZCFB=180°—NCFD-NBFA=180°-a-(90°一a)=90°,

；?CF1BF.

⑵如圖，取AD中點O,過點。作OMLBC，

:CD〃AB,ZBCE>=90°,

/.ZDCB=90°,

又?:OMIBC,

：.OM^AB,

二做為BC中點，

：.OM=^(AB+CD),

AD=AF+DF，

又,:AF=AB,DF=DC,

：.AD=AB+CD=2OM,

又???">=204,

OA-OM-OD?

以AO為直徑的圓與BC相切.

(3)VZDFE=120°,CD〃EF〃AB,

NCZM=60°,ZBAD=120°,ZAFE=60°,

又?:DC=DF

：.6DCF為等邊三角形，ZDFC=ZFCD=60°,

,:CD〃EF,

：.NCFE=ZFCD=?°,

由(2)得：ZCFB=90°,

ZEFB=30°,

：.ZBFA=-ZFBA=30°,

?；EF=2,在RfABFE中,三邊之比為1:退：2，

成=半=26，

V33

在HrCE/中，三邊之比為1：JJ：2，

/.CE=y/3EF=273，

如圖，過點。，點A分別向EE作垂線交EE于點M,N,

,-,?CEM?EMD?ECD90，

四邊形COME為矩形，

；?CE=DM=26

同理，四邊形BENA矩形，

BE=AN=Z6

3

SADE=SEFD+S皿=gEF-DMEF?AN

=g.EF.(DN+AN)

=—x2x

2

【點睛】本題考查了等腰三角形等腰對等角、梯形中位線定理、割補法求四邊形的面積、圓的切線的證明

方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

25.已知二次函數(shù),=必2+法+。的圖象過點（-1,0）,且對任意實數(shù)x,都有

4%-12<ax2+bx+c<2x2—8%+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點M是（1）中二次