管理運(yùn)籌學(xué) 第7章 最短路實(shí)例

§2最短路問題例設(shè)備更新問題。某公司使用一臺設(shè)備，在每年年初，公司就要決定是購置新的設(shè)備還是繼續(xù)使用舊設(shè)備。如果購置新設(shè)備，就要支付一定的購置費(fèi)，當(dāng)然新設(shè)備的維修費(fèi)用就低。如果繼續(xù)使用舊設(shè)備，可以省去購置費(fèi)，但維修費(fèi)用就高了。請設(shè)計一個五年之內(nèi)的更新設(shè)備的方案，使得五年內(nèi)購置費(fèi)用和維修費(fèi)用總的支付費(fèi)用最小。：設(shè)備每年年初的價格表設(shè)備維修費(fèi)如下表年份12345年初價格1111121213使用年數(shù)0-11-22-33-44-5每年維修費(fèi)用56811181整理課件§2最短路問題解：將問題轉(zhuǎn)化為最短路問題，如以下圖：用vi表示“第i年年初購進(jìn)一臺新設(shè)備〞,弧〔vi,vj〕表示第i年年初購進(jìn)的設(shè)備一直使用到第j年年初。把所有弧的權(quán)數(shù)計算如下表：v1v2v3v4v5v61234561162230415921622304131723314172351862整理課件§2最短路問題(繼上頁)把權(quán)數(shù)賦到圖中，再用Dijkstra算法求最短路。最終得到以下圖，可知，v1到v6的距離是53，最短路徑有兩條：v1v3v6和v1v4v6v1v2v3v4v5v6162230415916223041312317181723V1（0,s）v3v4(41,1)v5v62230415916(22,1)3041312317181723V2（16,1）16(30,1)(53,3)(53,4)3整理課件§3最小生成樹問題樹是圖論中的重要概念，所謂樹就是一個無圈的連通圖。

圖11-11中，(a)就是一個樹，而(b)因?yàn)閳D中有圈所以就不是樹，(c)因?yàn)椴贿B通所以也不是樹。圖11-11v1v2v3v4v5v6v7v8v9v1v2v3v5v8v7v6v4v1v2v3v4v5v7v6v8v9(a)(b)(c)4整理課件§3最小生成樹問題

給了一個無向圖G=(V,E)，我們保存G的所有點(diǎn)，而刪掉局部G的邊或者說保存一局部G的邊，所獲得的圖G，稱之為G的生成子圖。在圖11-12中，(b)和(c)都是(a)的生成子圖。如果圖G的一個生成子圖還是一個樹，那么稱這個生成子圖為生成樹，在圖11-12中，(c)就是(a)的生成樹。最小生成樹問題就是指在一個賦權(quán)的連通的無向圖G中找出一個生成樹，并使得這個生成樹的所有邊的權(quán)數(shù)之和為最小。圖11-12(a)(b)(c)5整理課件§3最小生成樹問題一、求解最小生成樹的破圈算法算法的步驟：1、在給定的賦權(quán)的連通圖上任找一個圈。2、在所找的圈中去掉一個權(quán)數(shù)最大的邊〔如果有兩條或兩條以上的邊都是權(quán)數(shù)最大的邊，那么任意去掉其中一條〕。3、如果所余下的圖已不包含圈，那么計算結(jié)束，所余下的圖即為最小生成樹，否那么返回第1步。6整理課件§3最小生成樹問題例4用破圈算法求圖〔a〕中的一個最小生成樹v1331728541034v7v6v5v4v27v6v5v4v2v133725434v7v6v5v4v2v3v3v31v13372434v7v6v5v4v2v31v1337234v7v6v5v4v2v31v133723v7v6v5v4v2v31(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖11-137整理課件§3最小生成樹問題例5、某大學(xué)準(zhǔn)備對其所屬的7個學(xué)院辦公室計算機(jī)聯(lián)網(wǎng)，這個網(wǎng)絡(luò)的可能聯(lián)通的途徑如以下圖，圖中v1,…,v7表示7個學(xué)院辦公室，請設(shè)計一個網(wǎng)絡(luò)能聯(lián)通7個學(xué)院辦公室，并使總的線路長度為最短。解：此問題實(shí)際上是求圖11-14的最小生成樹，這在例4中已經(jīng)求得，也即按照圖11-13的(f)設(shè)計，可使此網(wǎng)絡(luò)的總的線路長度為最短，為19百米。“管理運(yùn)籌學(xué)軟件〞有專門的子程序可以解決最小生成樹問題。v1331728541034v7v6v5v4v2v3圖11-148整理課件§4最大流問題最大流問題：給一個帶收發(fā)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，其每條弧的賦權(quán)稱之為容量，在不超過每條弧的容量的前提下，求出從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的最大流量。一、最大流的數(shù)學(xué)模型例6某石油公司擁有一個管道網(wǎng)絡(luò)，使用這個網(wǎng)絡(luò)可以把石油從采地運(yùn)送到一些銷售點(diǎn)，這個網(wǎng)絡(luò)的一局部如以下圖所示。由于管道的直徑的變化，它的各段管道〔vi,vj〕的流量cij〔容量〕也是不一樣的。cij的單位為萬加侖/小時。如果使用這個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)從采地v1向銷地v7運(yùn)送石油，問每小時能運(yùn)送多少加侖石油？v563522241263v1v2v7v4v3v6圖11-269整理課件§4最大流問題

我們可以為此例題建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：設(shè)弧(vi,vj)上流量為fij，網(wǎng)絡(luò)上的總的流量為F，那么有：10整理課件§4最大流問題

在這個線性規(guī)劃模型中，其約束條件中的前6個方程表示了網(wǎng)絡(luò)中的流量必須滿足守恒條件，發(fā)點(diǎn)的流出量必須等于收點(diǎn)的總流入量；其余的點(diǎn)稱之為中間點(diǎn)，它的總流入量必須等于總流出量。其后面幾個約束條件表示對每一條弧(vi,vj)的流量fij要滿足流量的可行條件，應(yīng)小于等于弧(vi,vj)的容量cij，并大于等于零，即0≤fij≤cij。我們把滿足守恒條件及流量可行條件的一組網(wǎng)絡(luò)流{fij}稱之為可行流，〔即線性規(guī)劃的可行解〕，可行流中一組流量最大〔也即發(fā)出點(diǎn)總流出量最大〕的稱之為最大流〔即線性規(guī)劃的最優(yōu)解〕。我們把例6的數(shù)據(jù)代入以上線性規(guī)劃模型，用“管理運(yùn)籌學(xué)軟件〞，馬上得到以下的結(jié)果：f12=5，f14=5，f23=2，f25=3，f43=2，f46=1，f47=2，f35=2，f36=2，f57=5，f67=3。最優(yōu)值〔最大流量〕=10。11整理課件

§4最大流問題二、最大流問題網(wǎng)絡(luò)圖論的解法

對網(wǎng)絡(luò)上弧的容量的表示作改進(jìn)。為省去弧的方向，如以下圖:(a)和(b)、(c)和(d)的意義相同。

用以上方法對例6的圖的容量標(biāo)號作改進(jìn)，得以下圖vivjvivjcij0〔a〕〔b〕cijcijvivj〔cji〕〔c〕vivjcijcji〔d〕63522241263v1v2v5v7v4v3v60000000000012整理課件

§4最大流問題求最大流的根本算法〔1〕找出一條從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的路，在這條路上的每一條弧順流方向的容量都大于零。如果不存在這樣的路，那么已經(jīng)求得最大流?！?〕找出這條路上各條弧的最小的順流的容量pf，通過這條路增加網(wǎng)絡(luò)的流量pf?！?〕在這條路上，減少每一條弧的順流容量pf，同時增加這些弧的逆流容量pf，返回步驟〔1〕。用此方法對例6求解：第一次迭代：選擇路為v1v4v7。弧〔v4,v7〕的順流容量為2，決定了pf=2，改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)流量圖如以下圖：63522241263v1v2v5v7v4v3v600000000000420213整理課件§4最大流問題第二次迭代：選擇路為v1v2v5v7?；　瞯2,v5〕的順流容量為3，決定了pf=3，改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)流量圖如以下圖：第三次迭代：選擇路為v1v4v6v7?；　瞯4,v6〕的順流容量為1，決定了pf=1，改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)流量圖如以下圖：635222413v1v2v5v7v4v3v60000000042022033303222413v1v2v5v7v4v3v60000004202203333301314整理課件第四次迭代：選擇路為v1v4v3v6v7?；　瞯3,v6〕的順流容量為2，決定了pf=2，改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)流量圖如以下圖：第五次迭代：選擇路為v1v2v3v5v7?；　瞯2,v3〕的順流容量為2，決定了pf=2，改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)流量圖如以下圖：22243v1v2v5v7v4v3v6100001203203335031200231322v1v2v5v7v4v3v61012020333501202313150020205§4最大流問題15整理課件經(jīng)過第五次迭代后在圖中已經(jīng)找不到從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的一條路，路上的每一條弧順流容量都大于零，運(yùn)算停止。得到最大流量為10。最大流量圖如以下圖：22v1v2v5v7v4v3v6123522355§4最大流問題“管理運(yùn)籌學(xué)軟件〞中還有專門的子程序用于解決最大流問題。16整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題最小費(fèi)用最大流問題：給了一個帶收發(fā)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，對每一條弧〔vi,vj〕，除了給出容量cij外，還給出了這條弧的單位流量的費(fèi)用bij，要求一個最大流F，并使得總運(yùn)送費(fèi)用最小。一、最小費(fèi)用最大流的數(shù)學(xué)模型例7由于輸油管道的長短不一，所以在例6中每段管道〔vi,vj〕除了有不同的流量限制cij外，還有不同的單位流量的費(fèi)用bij，cij的單位為萬加侖/小時，bij的單位為百元/萬加侖。如圖。從采地v1向銷地v7運(yùn)送石油，怎樣運(yùn)送才能運(yùn)送最多的石油并使得總的運(yùn)送費(fèi)用最?。壳蟪鲎畲罅髁亢妥钚≠M(fèi)用。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(2,4)〔2,3〕(4,4)(1,3)(2,8)〔3,2〕v1v2v5v7v4v3v6(6,3)17整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題

這個最小費(fèi)用最大流問題也是一個線性規(guī)劃的問題。解：我們用線性規(guī)劃來求解此題，可以分兩步走。第一步，先求出此網(wǎng)絡(luò)圖中的最大流量F，這已在例6中建立了線性規(guī)劃的模型，通過管理運(yùn)籌學(xué)軟件已經(jīng)獲得結(jié)果。第二步，在最大流量F的所有解中，找出一個最小費(fèi)用的解，我們來建立第二步中的線性規(guī)劃模型如下：仍然設(shè)弧〔vi,vj〕上的流量為fij，這時網(wǎng)絡(luò)中最大流量為F，只要在例6的約束條件上，再加上總流量必須等于F的約束條件：f12=f14=F,即得此線性規(guī)劃的約束條件，此線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)顯然是求其流量的最小費(fèi)用。由此得到線性規(guī)劃模型如下：18整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題

19整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題

用管理運(yùn)籌學(xué)軟件，可求得如下結(jié)果：f12=4,f14=6,f25=3,f23=1,f43=3,F57=5,f36=2,f46=1,f47=2,f67=3,f35=2。其最優(yōu)值(最小費(fèi)用)=145。對照前面例6的結(jié)果，可對最小費(fèi)用最大流的概念有一個深刻的理解。如果我們把例7的問題改為：每小時運(yùn)送6萬加侖的石油從采地v1到銷地v7最小費(fèi)用是多少？應(yīng)怎樣運(yùn)送？這就變成了一個最小費(fèi)用流的問題。一般來說，所謂最小費(fèi)用流的問題就是：在給定了收點(diǎn)和發(fā)點(diǎn)并對每條弧(vi,vj)賦權(quán)以容量cij及單位費(fèi)用bij的網(wǎng)絡(luò)中，求一個給定值f的流量的最小費(fèi)用，這個給定值f的流量應(yīng)小于等于最大流量F，否那么無解。求最小費(fèi)用流的問題的線性規(guī)劃的模型只要把最小費(fèi)用最大流模型中的約束條件中的發(fā)點(diǎn)流量F改為f即可。在例6中只要把f12+f14=F改為f12+f14=f=6得到了最小費(fèi)用流的線性規(guī)劃的模型了。20整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題二、最小費(fèi)用最大流的網(wǎng)絡(luò)圖論解法對網(wǎng)絡(luò)上弧〔vi,vj〕的〔cij,bij〕的表示作如下改動，用(b)來表示(a)。用上述方法對例7中的圖形進(jìn)行改進(jìn)，得圖如下頁：vivjvivj〔cij,bij〕〔0,-bij〕〔a〕〔b〕〔cij,bij〕〔cij,bij〕vivj〔cji,bji〕〔cij,bij〕vivj〔cji,bji〕〔0,-bji)〔0,-bji)〔c〕〔d〕21整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題求最小費(fèi)用最大流的根本算法在對弧的標(biāo)號作了改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)圖上求最小費(fèi)用最大流的根本算法與求最大流的根本算法完全一樣，不同的只是在步驟〔1〕中要選擇一條總的單位費(fèi)用最小的路，而不是包含邊數(shù)最小的路。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(4,4)(1,3)(2,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(6,3)(0,-3)(0,-8)(0,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(0,-4)（0,-3）圖11-2822整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題用上述方法對例7求解：第一次迭代：找到最短路v1v4v6v7。第一次迭代后總流量為1，總費(fèi)用10。v5(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(2,8)（3,2）v1v2v7v4v3v6(5,3)(1,-3)(0,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(1,-4)（0,-3）圖11-2923整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題第二次迭代：找到最短路v1v4v7。第二次迭代后總流量為3，總費(fèi)用32。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(0,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(3,3)(3,-3)(2,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(1,-4)（0,-3）圖11-3024整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題第三次迭代：找到最短路v1v4v3v6v7。第三次迭代后總流量為5，總費(fèi)用56。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（1,2）v1v2v5v7v4v3v6(1,3)(5,-3)(2,-8)(1,-3)（2,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(3,-4)（2,-3）圖11-3125整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題第四次迭代：找到最短路v1v4v3v5v7。第四次迭代后總流量為6，總費(fèi)用72。(6,6)(3,4)(4,7)(2,5)(1,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（0,2）v1v2v5v7v4v3v6(1,3)(6,-3)(2,-8)(1,-3)（3,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（1,4）(1,-7)(3,-4)（2,-3）圖11-3226整理課件§5最小費(fèi)用最大流問題

第五次迭代：找到最短路v1v2v5v7。第五次迭代后總流量為9，總費(fèi)用123。(3,6)(0,4)(1,7)(2,5)(1,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（0,2）v1v2v5v7v4v3v6(0,3)(6,-3)(2,-8)(1,-3)（3,-2）(3,-6)(3,-4)(0,-5)（1,4）(4,-7)(3,-4)（