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文檔簡介
第24講抽屜原理二
興趣篇
1.將60個紅球、8個白球排成一條直線,至少會有多少個紅球連在一起?
2.17名同學(xué)參加一次考試,考試題是3道判斷題(答案只有對或錯),每名同學(xué)都在答題紙上依次寫上
了3道題目的答案。請問:至少有幾名同學(xué)的答案是一樣的?
3.任意寫一個由數(shù)字1、2組成的六位數(shù),從這個六位數(shù)中任意截取相鄰兩位,可得一個兩位數(shù),請證明:
在從各個不同位置上截得的所有兩位數(shù)中,一定有兩個相等。
4.將1至6這6個自然數(shù)隨意填在圖24-1的六個圓圈中,試說明:圖中至少有一行的數(shù)字之和不小于8。
5、從1,2,3,…,99,1()0這1()()個數(shù)中任意選出51個數(shù)。請說明:
(1)在這21個數(shù)中,一定有兩個數(shù)的差等于50;
(2)在這51個數(shù)中,一定有兩個數(shù)差1。
6、從1,2,3,…,21這些自然數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的差都不等于4?
7、從1至11這H個自然數(shù)中至少選出多少個不同的數(shù),才能保證其中一定有兩個數(shù)的和為12?
8,(1)任給4個自然數(shù),請說明:一定有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù);
(2)至少取幾個數(shù),才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)?
9、至少找出多少個不同的兩位數(shù),才能保證其中一定存在兩個數(shù),它們的差是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的
兩位數(shù)。
10、在一個邊長為2厘米的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)選出5個點,請證明:一定有兩個點之間的距離不
大于1。
拓展篇
1、如圖24-2,將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色,請說明:不管怎么染,總有兩列的染色方式是
一樣的。
2、任意寫一個由數(shù)字1、2、3組成的三十位數(shù),從這個三十位數(shù)中任意截取相鄰三位,可得一個三位數(shù),
請證明:在從各個不同位置上截得的所有三位數(shù)中,一定有兩個相等。
3、27只小猴分140顆花生,每只小猴最少分1顆,最多分9顆。請問:其中至少有幾只小猴分到的花生
顆數(shù)一樣多?
4,能否在4X4方格表的每個格子中填入1、2、3中的一個數(shù)字,使得每行、每列以及它的兩條對角線上
的和互不相同?
5、從1至99這99個自然數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的和都不等于100?最多可以
取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的差不等于5?
6、如果在1,2,“中任取19個數(shù),都可以保證其中必有兩個數(shù)的差是6,那么〃最大是多少?
7、從1至50這50個自然數(shù)中至少要選出多少個數(shù),才能保證其中必有兩個數(shù)互質(zhì)?
8、從1至30這30個自然數(shù)中取出若干個數(shù),使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除。請問:最多能取出
多少個數(shù)?
9、請說明:任意5個數(shù)中必有3個數(shù)的和是3的倍數(shù)。
10、任選7個不同的數(shù),請說明:其中必有2個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。
11、有9個人,每人至少與另外5個人互相認(rèn)識。試證明:可以從中找到3個人,他們彼此相互認(rèn)識。
12、(1)在一個邊長為1的正方形里放入3個點,以這3個點為頂點連出的三角形面積最大是多少?
(2)在一個邊長為1的正方形中隨意放入9個點,這9個點任何三點不共線,請說明:這9個點中一定有
3個點構(gòu)成的三角形面積不超過!。
8
超越篇
1、從1至12這12個自然數(shù)中最多能選出幾個數(shù),使得在選出的數(shù)中,每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?
2、(1)請說明:在任意的68個自然數(shù)中,必有兩個數(shù)的差是67的倍數(shù);
(2)請說明:在1,11,111,1111,這一列數(shù)中必有一個是67的倍數(shù)。
3、求證:對于任意的8個自然數(shù),一定能從中找到6個數(shù)a、b、c、d、e、f,使得(a-b)X(c-d)X(e-f)
是105的倍數(shù)。
4、從1至25這25個自然數(shù)中最多取出多少個數(shù),使得在取出來的這些數(shù)中,任何一個數(shù)都不等于另兩個
不同數(shù)的乘積。
5、25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁,請說明:至少有一個,他(或她)的兩邊都是女生。
6、時鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1,2,3,…,11,12這12個數(shù),在其上任意做n個120°的扇形,
每一個都恰好覆蓋4個數(shù),每兩個覆蓋的數(shù)不全相同。如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個,
這3個扇形能覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù),求n的最小值。
7、(1)將一個5X5的方格表每個方格都染成黑、白兩種顏色之一,請證明:一定存在一個長方形,四個
頂點處的四個方格同色;
(2)將一個4X19的方格表每個方格都染成黑、白、紅三種顏色之一,請證明:一定存在一個長方形,四
個頂點處的四個方格同色。
7、從1至2000這2000個數(shù)中最多能選出多少個數(shù),使得任何兩個數(shù)的差既不等于4也不等于7?
第24講抽屜原理二
興趣篇
5.將60個紅球、8個白球排成一條直線,至少會有多少個紅球連在一起?
【分析】先將8個白球排成一排,再把60個紅球放在白球的7個間隙和兩端。那么相當(dāng)于把60個蘋果放
入7+2=9個抽屜。60+9=6……6,因此至少有6+1=7個紅球連在一起。
【答案】7個
6.17名同學(xué)參加一次考試,考試題是3道判斷題(答案只有對或錯),每名同學(xué)都在答題紙上依次寫上
了3道題目的答案。請問:至少有幾名同學(xué)的答案是一樣的?
.【分析】3道判斷題,共有2x2x2=8種答案,看成8個抽屜。17+8=2......1,因此至少有3名同學(xué)的答
案是一樣的。
【答案】3名
7.任意寫一個由數(shù)字1、2組成的六位數(shù),從這個六位數(shù)中任意截取相鄰兩位,可得一個兩位數(shù),請證明:
在從各個不同位置上截得的所有兩位數(shù)中,一定有兩個相等。
【分析】由1,2功能組成11,12,21,22這4種不同的兩位數(shù),而從六位數(shù)中截取兩位數(shù)共有6-1=5種方法。
5+4=1.....1,根據(jù)抽屜原理,至少有其中兩個兩位數(shù)相等。
【答案】從六位數(shù)中共能截出五個兩位數(shù),但一共只有11、12、21、22四種情況。
8.將1至6這6個自然數(shù)隨意填在圖24-1的六個圓圈中,試說明:圖中至少有一行的數(shù)字之和不小于8。
【分析】第一行最大是6,那么后兩行的數(shù)字之和最小為1+2+3+4+5=15。15+2=7.....1,根據(jù)抽屜原理,
后兩行必有一行不小于8?
圖24-1
【答案】1+2+3+4+5+6=21,所以每行平均數(shù)為7,第一行最大為6,小于7,所以至少有一行大于7。
5、從1,2,3,…,99,100這1()()個數(shù)中任意選出51個數(shù)。請說明:
(1)在這21個數(shù)中,一定有兩個數(shù)的差等于50;
(2)在這51個數(shù)中,一定有兩個數(shù)差1。
【分析】(1)根據(jù)差為50構(gòu)造50個抽屜:(1,51),(2,52),(3,53)......(50,100)o51個數(shù)中,至少有2個數(shù)在
同一個抽屜,那么這兩個數(shù)的差為50。
(2)根據(jù)差為1構(gòu)造50個抽屜:(1,2),(3,4),(5,6)......(99,100)?51個數(shù)中,至少有2個數(shù)在同一個抽屜,
那么這兩個數(shù)的差為1。
【答案】(1)構(gòu)造50個抽屜:(1,51),(2,52),(3,53),…,(50,100),51個數(shù)至少有2個數(shù)落入同
一個抽屜;
(2)構(gòu)造50個抽屜:(1,2),(3,4),(5,6),…,(99,100),51個數(shù)至少有2個數(shù)落入同一個抽屜。
6、從1,2,3,…,21這些自然數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的差都不等于4?
【分析】根據(jù)差為4構(gòu)造12個抽屜:(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(9,13),(10,14),(11,15),(12,16),(17,21),
(18),(19),(20),為了讓任意兩數(shù)差不為4,那么每個抽屜最多取1個數(shù),因此最多可以取12個數(shù)。例如:
1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20o
【答案】12個
7、從1至11這11個自然數(shù)中至少選出多少個不同的數(shù),才能保證其中一定有兩個數(shù)的和為12?
【分析】根據(jù)和為12構(gòu)造6個抽屜:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6)o根據(jù)抽屜原理,至少取出6+1=7
個數(shù),才能保證其中有兩個數(shù)在同一個抽屜,即,和為12。
【答案】7個
8、(1)任給4個自然數(shù),請說明:一定有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù);
(2)至少取幾個數(shù),才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)?
【分析】(1)把所有自然數(shù)按照被3除的余數(shù)分為“余0(整除)",“余1”,“余2”這3個抽屜。根據(jù)抽屜
原理,4個自然數(shù)中,至少有2個數(shù)在同一個抽屜,即被3除的余數(shù)相同。那么這兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。
(2)把所有自然數(shù)按照被7除的余數(shù)分為“余0”至“余6”這7個抽屜。根據(jù)抽屜原理,至少取7+1=8個數(shù)
才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。
【答案】(1)自然數(shù)除以3的余數(shù)一共只有0、1、2三種,所以4個自然數(shù)中一定有兩個數(shù)除以3同余;
(2)8個
9、至少找出多少個不同的兩位數(shù),才能保證其中一定存在兩個數(shù),它們的差是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的
兩位數(shù)。
【分析】.個位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)必然是11的倍數(shù)。把10-99的自然數(shù)按照被11除的余數(shù)分為“余0”
至“余10”這11個抽屜。根據(jù)抽屜原理,至少取11+1=12個數(shù)才能保證一定有兩個數(shù)的差是11的倍數(shù)。
【答案】12個
10、在一個邊長為2厘米的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)選出5個點,請證明:一定有兩個點之間的距離不
大于1。
【分析】連接等邊三角形的3邊中點,把等邊三角形分成了4個邊長為1厘米的小等邊三角形。根據(jù)抽屜
原理,5個點中必有2個點在同一個小等邊三角形中。那么這兩個點之間的距離不大于1
【答案】構(gòu)造4個抽屜(小等邊三角形,如圖一),5個點中一定有2個落入同一個小等邊三角形中。
拓展篇
1、如圖24-2,將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色,請說明:不管怎么染,總有兩列的染色方式是
一樣的。
【分析】用1表示黑色,。表示白色,那么每一列日T"6~
yT
5列,那么根據(jù)抽屜原理,至少有2列的染色方法是一樣的。
圖24-2
【答案】圖中有5歹!J,一共只有4種不同的染色方式。
2、任意寫一個由數(shù)字1、2、3組成的三十位數(shù),從這個三十位數(shù)中任意截取相鄰三位,可得一個三位數(shù),
請證明:在從各個不同位置上截得的所有三位數(shù)中,一定有兩個相等。
【分析】從三十位數(shù)中共能截取30-2=28個三位數(shù),而用1,2,3組成的三位數(shù)共有3*3x3=27個。那么根
據(jù)抽屜原理,截取的三位數(shù)中,至少有兩個相等。
【答案】一共可以截出28個三位數(shù),但由1、2、3組成的三位數(shù)只有27個。
3、27只小猴分140顆花生,每只小猴最少分1顆,最多分9顆。請問:其中至少有幾只小猴分到的花生
顆數(shù)一樣多?
【分析】每個猴子拿到的花生數(shù)共有9種可能,那么最少有27+9=3只猴子拿到的花生數(shù)相同,此時
3x(1+2+...+9)=135<140,還有5顆花生沒有分。那么可以給其中一個拿1顆花生的猴子再多拿5顆,
那么就有4個猴子拿到6顆花生。因此至少有4只小猴分到的花生數(shù)一樣多。
【答案】4只
4、能否在4X4方格表的每個格子中填入1、2、3中的一個數(shù)字,使得每行、每列以及它的兩條對角線上
的和互不相同?
【分析】不能。
從1,2或3中任取4個數(shù)相加,所得的和最小是1+1+1+1=4,最大是3+3+3+3=12,共有12-4+1=9種
可能,看做9個抽屜。4x4的方格表有4行、4列、2個對角線,共有10個和。10+9=1.....1,根據(jù)抽屜原
理,至少有兩個對角線上的和相同。
【答案】不能
5、從1至99這99個自然數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的和都不等于100?最多可以
取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的差不等于5?
【分析】(1)根據(jù)和為100構(gòu)造50個抽屜:(1,99),(2,98),(3,97)……(49,51),(50)?要讓任意兩個數(shù)的和不
為100,那么每個抽屜中最多取一個數(shù)。即,最多可以取50個數(shù)。
(2)根據(jù)差為5構(gòu)造50個抽屜(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),(11,16),....,(93,98),(94,99),(95)
,為了讓任意兩數(shù)差不為5,那么每個抽屜最多取1個數(shù),因此最多可以取50個數(shù)。例如:
1,2,3,4,5,11,12,13,14,15,….,94,9%
【答案】50個;50個
6、如果在1,2,…,〃中任取19個數(shù),都可以保證其中必有兩個數(shù)的差是6,那么〃最大是多少?
【分析】根據(jù)差為6構(gòu)造抽屜(1,7),(2,8),(3,9),(4,10),(5,11),(6,12),.....由于19個數(shù)中必有兩個數(shù)的差為6,
那么最多有18個抽屜。2x18=36,那么“最大是36。
【答案】36
7、從1至50這50個自然數(shù)中至少要選出多少個數(shù),才能保證其中必有兩個數(shù)互質(zhì)?
【分析】1-50中共有25個偶數(shù),這些數(shù)有公因數(shù)2。那么至少要26個數(shù)。
我們把1-50分為25個抽屜:(1,2),(3,4),(5,6)......(49,50),那么每個抽屜中的兩個數(shù)都是互質(zhì)的。根據(jù)抽
屜原理,至少取26個數(shù),才能保證其中有2個數(shù)在同一個抽屜,那么這兩個數(shù)互質(zhì)。
【答案】26個
8、從1至30這30個自然數(shù)中取出若干個數(shù),使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除。請問:最多能取出
多少個數(shù)?
【分析】根據(jù)自然數(shù)被7除的余數(shù),把1-30分為7組:
余1(1,8,15,22,29)共5個;余2(2,9,16,23,30)共5個;
余3(3,10,17,24)共4個;余4(4,11,18,25)共4個;
余5(5,12,19,26)共4個;余6(6,13,20,27)共4個;
整除(7,14,2128)共4個。
為了讓任意兩個數(shù)的和不為7的倍數(shù),那么余1和余6的數(shù)不能一起取,同理,余2和余5的,余3和余4
的不能一起取。而能被7整除的數(shù)只能取一個。那么最多可以取前3組的所有數(shù)字和第7組的1個數(shù)字,
共5+5+4+1=15個。
9、請說明:任意5個數(shù)中必有3個數(shù)的和是3的倍數(shù)。
【分析】自然數(shù)除以3的余數(shù)有0,1,2三種。若5個自然數(shù)種存在其中3個除以3的余數(shù)相同,那么這3個
數(shù)之和必為3的倍數(shù)。否則,必然存在3個數(shù)除以3的余數(shù)分別為0,1,2,那么這3個數(shù)的和為3的倍數(shù)。
【答案】分兩種情況說明:如果5個數(shù)中存在3個數(shù)除以3的余數(shù)相同,那這3個數(shù)之和是3的倍數(shù);如
果5個數(shù)中不存在3個數(shù)除以3同余,則必然存在三個數(shù)除以3分別余0、1、2,那這3個數(shù)的和是3的
倍數(shù)。
10、任選7個不同的數(shù),請說明:其中必有2個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。
【分析】一個自然數(shù)除以10的余數(shù)有0?9十種,我們可以把這10個余數(shù)放入5個抽屜中:
(0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5)。那么屬于同一個抽屜的兩個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。根據(jù)抽屜原理,
7個數(shù)中,至少有兩個數(shù)來自同一個抽屜,那么這兩個數(shù)的和或差是10的倍數(shù)。
【答案】按除以10的余數(shù)分類,構(gòu)造如下6個抽屜:(0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5).
11、有9個人,每人至少與另外5個人互相認(rèn)識。試證明:可以從中找到3個人,他們彼此相互認(rèn)識。
【分析】設(shè)9人分別為C,3,E,EG,",/,其中A認(rèn)識5個人,設(shè)為B,C,D,E,F;3也認(rèn)識5個人,除
了A外至少要有1個人在C,。,瓦尸中,設(shè)為C,那么A3,C互相認(rèn)識。
【答案】設(shè)9人為A、B、C、。、E、RG、H、I,不妨設(shè)A認(rèn)識8、C、D、E、尸這5人,8除了認(rèn)識
A外還認(rèn)識4人,這4人必然有一人是C、£>、E、F這4人中的一人。
12、(1)在一個邊長為1的正方形里放入3個點,以這3個點為頂點連出的三角形面積最大是多少?
(2)在一個邊長為1的正方形中隨意放入9個點,這9個點任何三點不共線,請說明:這9個點中一定有
3個點構(gòu)成的三角形面積不超過!。
8
【分析】(1)正方形中的三角形面積不會超過正方形面積的!(“一半”模型)。
2
(2)把邊長為1的正方形分成2x2的4部分將這4個小正方形看做4個抽屜,那么根據(jù)抽屜原理,
9個點中必有3個點在同一個小正方形中,那么這3個點構(gòu)成的三角形的面積不大于小正方形面積的-,即
2
111
—X———Q
【答案】⑴1;⑵將正方形等分成4個小正方形,9個點至少有3個點落入同一個小正方形,然后利
用(1)的結(jié)論。
超越篇
8、從1至12這12個自然數(shù)中最多能選出幾個數(shù),使得在選出的數(shù)中,每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?
【分析】構(gòu)造6個抽屜:(1,2,4,8),(3,9),(5,10),(6,12),(7),(11),那么同一抽屜里的兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系。根
據(jù)抽屜原理,最多能取6個數(shù),使得任意兩數(shù)之間沒有倍數(shù)關(guān)系。如:7,8,9,10,11,12?
【答案】6個
9、(1)請說明:在任意的68個自然數(shù)中,必有兩個數(shù)的差是67的倍數(shù);
(2)請說明:在1,11,111,1111,這一列數(shù)中必有一個是67的倍數(shù)。
【分析】(1)自然數(shù)除以67的余數(shù)有0?66這67種可能。把它們看做67個抽屜,那么根據(jù)抽屜原理,任
意68個自然數(shù)種,至少有兩個數(shù)在同一個抽屜,即它們除以67的余數(shù)相同。那么這兩個數(shù)的差是67的倍
數(shù)。
(2)取這列數(shù)的前68個數(shù),根據(jù)上一問可以證明,必有其中兩個數(shù)的差是67的倍數(shù)。設(shè)為
lli...ll,lll...ll(a<Z?<68),那么111...11-111...11=111...11000...00=111...11x1000...00是67的倍數(shù)。而
。個Ib個1b個10yMb-a個1。個0h-a^l4個0
1000...00顯然不是67的倍數(shù),因此111...11是67的倍數(shù),111...11也是數(shù)列中的數(shù),得證。
“個0b-a個Ib-a個1
【答案】(1)除以67的余數(shù)一共有67種情況,68個數(shù)必有兩個數(shù)除以67同余;
(2)其中必有兩個數(shù)除以67同余,而它們的差是11-100-0這樣的形式,這個數(shù)前面若干個1組成的數(shù)
必定是67的倍數(shù)。
10、求證:對于任意的8個自然數(shù),一定能從中找到6個數(shù)a、b、c、d、e、f,使得(a-b)X(c-d)
X(e-f)是105的倍數(shù)。
【分析】.105=3x5x7。任取8個自然數(shù),必有2個數(shù)之差是7的倍數(shù),設(shè)為剩下的6個自然數(shù)中,
必有2個數(shù)之差是5的倍數(shù),設(shè)為c、,":剩下的4個自然數(shù)中,必有2個數(shù)之差是3的倍數(shù),設(shè)為e,/。那
么有:(a-/?)x(c-d)x(e-/)是105的倍數(shù)。
【答案】105=7X5X3,8個數(shù)中一定能找到兩個數(shù)之差是7的倍數(shù),在剩下的6個數(shù)中必定有兩個數(shù)之差
是5的倍數(shù),在剩下的4個數(shù)中一定能找到兩個數(shù)之差是3的倍數(shù)。
11、從1至25這25個自然數(shù)中最多取出多少個數(shù),使得在取出來的這些數(shù)中,任何一個數(shù)都不等于
另兩個不同數(shù)的乘積。
【分析】互異兩自然數(shù)乘積小于25的有:2x3=62x4=8,2x12=24;3x4=12,3x5=15,.…,3x8=24;
4x5=20,4x6=24o只要把2,3,4這3個數(shù)字去掉,剩下的數(shù)字中,沒有兩個數(shù)的乘積等于另一個數(shù)。因此
最多能取出22個。
【答案】22個。
12、25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁,請說明:至少有一個,他(或她)的兩邊都是女生。
【分析】共50個座位,我們分為奇數(shù)位和偶數(shù)位。那么此題即證:必有兩個女生坐在相鄰的奇數(shù)位或偶數(shù)
位。根據(jù)抽屜原理,至少有13個女生位于奇數(shù)位或位于偶數(shù)位,不妨設(shè)為奇數(shù)位。13個女生坐在25
個奇數(shù)位,根據(jù)抽屜原理,至少有2個女生坐在相鄰的奇數(shù)位。那么這兩個女生之間的人,左右兩邊
都是女生。
【答案】將每個位置1,2,3,…,50編號,那么至少有13名女生坐在奇數(shù)號或者是偶數(shù)號,不妨設(shè)有
13名女生坐在奇數(shù)號,那么必然有相鄰的兩個奇數(shù)號上都坐著女生。
13、時鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1,2,3,…,11,12這12個數(shù),在其上任意做n個120°的扇
形,每一個都恰好覆蓋4個數(shù),每兩個覆蓋的數(shù)不全相同。如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3
個,這3個扇形能覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù),求n的最小值。
【分析】3個扇形要覆蓋住整個表面,有如下4種可能:
(1~4,5N8,9~1)(3~6,7)(10,11。根據(jù)抽屜原理,我們從中任
取4x2+l=9個扇形,總有3個在同一個抽屜,那么
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