高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級含詳解答案第24講 抽屜原理二

第24講抽屜原理二

興趣篇

1.將60個紅球、8個白球排成一條直線，至少會有多少個紅球連在一起？

2.17名同學(xué)參加一次考試，考試題是3道判斷題(答案只有對或錯)，每名同學(xué)都在答題紙上依次寫上

了3道題目的答案。請問：至少有幾名同學(xué)的答案是一樣的？

3.任意寫一個由數(shù)字1、2組成的六位數(shù)，從這個六位數(shù)中任意截取相鄰兩位，可得一個兩位數(shù)，請證明:

在從各個不同位置上截得的所有兩位數(shù)中，一定有兩個相等。

4.將1至6這6個自然數(shù)隨意填在圖24-1的六個圓圈中，試說明：圖中至少有一行的數(shù)字之和不小于8。

5、從1,2,3,…，99,1()0這1()()個數(shù)中任意選出51個數(shù)。請說明:

(1)在這21個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50；

(2)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)差1。

6、從1,2,3,…，21這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差都不等于4?

7、從1至11這H個自然數(shù)中至少選出多少個不同的數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和為12?

8,(1)任給4個自然數(shù)，請說明：一定有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù);

(2)至少取幾個數(shù)，才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)？

9、至少找出多少個不同的兩位數(shù)，才能保證其中一定存在兩個數(shù)，它們的差是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的

兩位數(shù)。

10、在一個邊長為2厘米的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)選出5個點，請證明：一定有兩個點之間的距離不

大于1。

拓展篇

1、如圖24-2,將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明：不管怎么染，總有兩列的染色方式是

一樣的。

2、任意寫一個由數(shù)字1、2、3組成的三十位數(shù)，從這個三十位數(shù)中任意截取相鄰三位，可得一個三位數(shù),

請證明：在從各個不同位置上截得的所有三位數(shù)中，一定有兩個相等。

3、27只小猴分140顆花生，每只小猴最少分1顆，最多分9顆。請問：其中至少有幾只小猴分到的花生

顆數(shù)一樣多？

4,能否在4X4方格表的每個格子中填入1、2、3中的一個數(shù)字，使得每行、每列以及它的兩條對角線上

的和互不相同？

5、從1至99這99個自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的和都不等于100?最多可以

取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差不等于5?

6、如果在1,2,“中任取19個數(shù)，都可以保證其中必有兩個數(shù)的差是6,那么〃最大是多少？

7、從1至50這50個自然數(shù)中至少要選出多少個數(shù)，才能保證其中必有兩個數(shù)互質(zhì)？

8、從1至30這30個自然數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除。請問：最多能取出

多少個數(shù)？

9、請說明：任意5個數(shù)中必有3個數(shù)的和是3的倍數(shù)。

10、任選7個不同的數(shù)，請說明：其中必有2個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。

11、有9個人，每人至少與另外5個人互相認(rèn)識。試證明：可以從中找到3個人，他們彼此相互認(rèn)識。

12、(1)在一個邊長為1的正方形里放入3個點，以這3個點為頂點連出的三角形面積最大是多少？

(2)在一個邊長為1的正方形中隨意放入9個點，這9個點任何三點不共線，請說明：這9個點中一定有

3個點構(gòu)成的三角形面積不超過!。

8

超越篇

1、從1至12這12個自然數(shù)中最多能選出幾個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)？

2、(1)請說明：在任意的68個自然數(shù)中，必有兩個數(shù)的差是67的倍數(shù)；

(2)請說明：在1,11,111,1111,這一列數(shù)中必有一個是67的倍數(shù)。

3、求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a、b、c、d、e、f,使得(a-b)X(c-d)X(e-f)

是105的倍數(shù)。

4、從1至25這25個自然數(shù)中最多取出多少個數(shù)，使得在取出來的這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不等于另兩個

不同數(shù)的乘積。

5、25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁，請說明：至少有一個，他(或她)的兩邊都是女生。

6、時鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1,2,3,…，11,12這12個數(shù)，在其上任意做n個120°的扇形，

每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同。如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個,

這3個扇形能覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的最小值。

7、(1)將一個5X5的方格表每個方格都染成黑、白兩種顏色之一，請證明：一定存在一個長方形，四個

頂點處的四個方格同色；

(2)將一個4X19的方格表每個方格都染成黑、白、紅三種顏色之一，請證明：一定存在一個長方形，四

個頂點處的四個方格同色。

7、從1至2000這2000個數(shù)中最多能選出多少個數(shù)，使得任何兩個數(shù)的差既不等于4也不等于7?

第24講抽屜原理二

興趣篇

5.將60個紅球、8個白球排成一條直線，至少會有多少個紅球連在一起？

【分析】先將8個白球排成一排，再把60個紅球放在白球的7個間隙和兩端。那么相當(dāng)于把60個蘋果放

入7+2=9個抽屜。60+9=6……6,因此至少有6+1=7個紅球連在一起。

【答案】7個

6.17名同學(xué)參加一次考試，考試題是3道判斷題(答案只有對或錯)，每名同學(xué)都在答題紙上依次寫上

了3道題目的答案。請問：至少有幾名同學(xué)的答案是一樣的？

.【分析】3道判斷題，共有2x2x2=8種答案，看成8個抽屜。17+8=2......1,因此至少有3名同學(xué)的答

案是一樣的。

【答案】3名

7.任意寫一個由數(shù)字1、2組成的六位數(shù)，從這個六位數(shù)中任意截取相鄰兩位，可得一個兩位數(shù)，請證明：

在從各個不同位置上截得的所有兩位數(shù)中，一定有兩個相等。

【分析】由1,2功能組成11,12,21,22這4種不同的兩位數(shù)，而從六位數(shù)中截取兩位數(shù)共有6-1=5種方法。

5+4=1.....1,根據(jù)抽屜原理，至少有其中兩個兩位數(shù)相等。

【答案】從六位數(shù)中共能截出五個兩位數(shù)，但一共只有11、12、21、22四種情況。

8.將1至6這6個自然數(shù)隨意填在圖24-1的六個圓圈中，試說明：圖中至少有一行的數(shù)字之和不小于8。

【分析】第一行最大是6,那么后兩行的數(shù)字之和最小為1+2+3+4+5=15。15+2=7.....1,根據(jù)抽屜原理，

后兩行必有一行不小于8?

圖24-1

【答案】1+2+3+4+5+6=21,所以每行平均數(shù)為7,第一行最大為6,小于7,所以至少有一行大于7。

5、從1,2,3,…，99,100這1()()個數(shù)中任意選出51個數(shù)。請說明：

(1)在這21個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50；

(2)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)差1。

【分析】(1)根據(jù)差為50構(gòu)造50個抽屜：(1,51),(2,52),(3,53)......(50,100)o51個數(shù)中,至少有2個數(shù)在

同一個抽屜，那么這兩個數(shù)的差為50。

(2)根據(jù)差為1構(gòu)造50個抽屜：(1,2),(3,4),(5,6)......(99,100)?51個數(shù)中,至少有2個數(shù)在同一個抽屜,

那么這兩個數(shù)的差為1。

【答案】(1)構(gòu)造50個抽屜：(1,51),(2,52),(3,53),…，(50,100),51個數(shù)至少有2個數(shù)落入同

一個抽屜；

(2)構(gòu)造50個抽屜：(1,2),(3,4),(5,6),…，(99,100),51個數(shù)至少有2個數(shù)落入同一個抽屜。

6、從1,2,3,…，21這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差都不等于4?

【分析】根據(jù)差為4構(gòu)造12個抽屜：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(9,13),(10,14),(11,15),(12,16),(17,21),

(18),(19),(20),為了讓任意兩數(shù)差不為4,那么每個抽屜最多取1個數(shù)，因此最多可以取12個數(shù)。例如：

1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20o

【答案】12個

7、從1至11這11個自然數(shù)中至少選出多少個不同的數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和為12?

【分析】根據(jù)和為12構(gòu)造6個抽屜:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6)o根據(jù)抽屜原理，至少取出6+1=7

個數(shù)，才能保證其中有兩個數(shù)在同一個抽屜，即，和為12。

【答案】7個

8、(1)任給4個自然數(shù)，請說明：一定有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)；

(2)至少取幾個數(shù)，才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)？

【分析】(1)把所有自然數(shù)按照被3除的余數(shù)分為“余0(整除)"，“余1”,“余2”這3個抽屜。根據(jù)抽屜

原理，4個自然數(shù)中，至少有2個數(shù)在同一個抽屜，即被3除的余數(shù)相同。那么這兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。

(2)把所有自然數(shù)按照被7除的余數(shù)分為“余0”至“余6”這7個抽屜。根據(jù)抽屜原理，至少取7+1=8個數(shù)

才能保證一定有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。

【答案】(1)自然數(shù)除以3的余數(shù)一共只有0、1、2三種，所以4個自然數(shù)中一定有兩個數(shù)除以3同余；

(2)8個

9、至少找出多少個不同的兩位數(shù)，才能保證其中一定存在兩個數(shù)，它們的差是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的

兩位數(shù)。

【分析】.個位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)必然是11的倍數(shù)。把10-99的自然數(shù)按照被11除的余數(shù)分為“余0”

至“余10”這11個抽屜。根據(jù)抽屜原理，至少取11+1=12個數(shù)才能保證一定有兩個數(shù)的差是11的倍數(shù)。

【答案】12個

10、在一個邊長為2厘米的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)選出5個點，請證明：一定有兩個點之間的距離不

大于1。

【分析】連接等邊三角形的3邊中點，把等邊三角形分成了4個邊長為1厘米的小等邊三角形。根據(jù)抽屜

原理，5個點中必有2個點在同一個小等邊三角形中。那么這兩個點之間的距離不大于1

【答案】構(gòu)造4個抽屜(小等邊三角形，如圖一),5個點中一定有2個落入同一個小等邊三角形中。

拓展篇

1、如圖24-2,將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明：不管怎么染，總有兩列的染色方式是

一樣的。

【分析】用1表示黑色，。表示白色，那么每一列日T"6~

yT

5列，那么根據(jù)抽屜原理，至少有2列的染色方法是一樣的。

圖24-2

【答案】圖中有5歹！J,一共只有4種不同的染色方式。

2、任意寫一個由數(shù)字1、2、3組成的三十位數(shù)，從這個三十位數(shù)中任意截取相鄰三位，可得一個三位數(shù)，

請證明：在從各個不同位置上截得的所有三位數(shù)中，一定有兩個相等。

【分析】從三十位數(shù)中共能截取30-2=28個三位數(shù)，而用1,2,3組成的三位數(shù)共有3*3x3=27個。那么根

據(jù)抽屜原理，截取的三位數(shù)中，至少有兩個相等。

【答案】一共可以截出28個三位數(shù)，但由1、2、3組成的三位數(shù)只有27個。

3、27只小猴分140顆花生，每只小猴最少分1顆，最多分9顆。請問：其中至少有幾只小猴分到的花生

顆數(shù)一樣多？

【分析】每個猴子拿到的花生數(shù)共有9種可能，那么最少有27+9=3只猴子拿到的花生數(shù)相同，此時

3x(1+2+...+9)=135<140,還有5顆花生沒有分。那么可以給其中一個拿1顆花生的猴子再多拿5顆，

那么就有4個猴子拿到6顆花生。因此至少有4只小猴分到的花生數(shù)一樣多。

【答案】4只

4、能否在4X4方格表的每個格子中填入1、2、3中的一個數(shù)字，使得每行、每列以及它的兩條對角線上

的和互不相同？

【分析】不能。

從1,2或3中任取4個數(shù)相加，所得的和最小是1+1+1+1=4,最大是3+3+3+3=12,共有12-4+1=9種

可能，看做9個抽屜。4x4的方格表有4行、4列、2個對角線，共有10個和。10+9=1.....1,根據(jù)抽屜原

理，至少有兩個對角線上的和相同。

【答案】不能

5、從1至99這99個自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的和都不等于100?最多可以

取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差不等于5?

【分析】（1）根據(jù)和為100構(gòu)造50個抽屜:（1,99）,（2,98）,（3,97）……（49,51）,（50）?要讓任意兩個數(shù)的和不

為100,那么每個抽屜中最多取一個數(shù)。即，最多可以取50個數(shù)。

（2）根據(jù)差為5構(gòu)造50個抽屜（1,6）,（2,7）,（3,8）,（4,9）,（5,10）,（11,16）,....,（93,98）,（94,99）,（95）

,為了讓任意兩數(shù)差不為5,那么每個抽屜最多取1個數(shù)，因此最多可以取50個數(shù)。例如：

1,2,3,4,5,11,12,13,14,15,….,94,9%

【答案】50個；50個

6、如果在1,2,…，〃中任取19個數(shù)，都可以保證其中必有兩個數(shù)的差是6,那么〃最大是多少？

【分析】根據(jù)差為6構(gòu)造抽屜（1,7）,（2,8）,（3,9）,（4,10）,（5,11）,（6,12）,.....由于19個數(shù)中必有兩個數(shù)的差為6,

那么最多有18個抽屜。2x18=36,那么“最大是36。

【答案】36

7、從1至50這50個自然數(shù)中至少要選出多少個數(shù)，才能保證其中必有兩個數(shù)互質(zhì)？

【分析】1-50中共有25個偶數(shù)，這些數(shù)有公因數(shù)2。那么至少要26個數(shù)。

我們把1-50分為25個抽屜：（1,2）,（3,4）,（5,6）......（49,50）,那么每個抽屜中的兩個數(shù)都是互質(zhì)的。根據(jù)抽

屜原理，至少取26個數(shù)，才能保證其中有2個數(shù)在同一個抽屜，那么這兩個數(shù)互質(zhì)。

【答案】26個

8、從1至30這30個自然數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除。請問：最多能取出

多少個數(shù)？

【分析】根據(jù)自然數(shù)被7除的余數(shù)，把1-30分為7組：

余1(1,8,15,22,29)共5個;余2(2,9,16,23,30)共5個;

余3(3,10,17,24)共4個;余4(4,11,18,25)共4個;

余5(5,12,19,26)共4個;余6(6,13,20,27)共4個;

整除（7,14,2128）共4個。

為了讓任意兩個數(shù)的和不為7的倍數(shù)，那么余1和余6的數(shù)不能一起取，同理，余2和余5的，余3和余4

的不能一起取。而能被7整除的數(shù)只能取一個。那么最多可以取前3組的所有數(shù)字和第7組的1個數(shù)字，

共5+5+4+1=15個。

9、請說明：任意5個數(shù)中必有3個數(shù)的和是3的倍數(shù)。

【分析】自然數(shù)除以3的余數(shù)有0,1,2三種。若5個自然數(shù)種存在其中3個除以3的余數(shù)相同，那么這3個

數(shù)之和必為3的倍數(shù)。否則，必然存在3個數(shù)除以3的余數(shù)分別為0,1,2,那么這3個數(shù)的和為3的倍數(shù)。

【答案】分兩種情況說明：如果5個數(shù)中存在3個數(shù)除以3的余數(shù)相同，那這3個數(shù)之和是3的倍數(shù)；如

果5個數(shù)中不存在3個數(shù)除以3同余，則必然存在三個數(shù)除以3分別余0、1、2,那這3個數(shù)的和是3的

倍數(shù)。

10、任選7個不同的數(shù)，請說明：其中必有2個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。

【分析】一個自然數(shù)除以10的余數(shù)有0?9十種，我們可以把這10個余數(shù)放入5個抽屜中：

(0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5)。那么屬于同一個抽屜的兩個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。根據(jù)抽屜原理，

7個數(shù)中，至少有兩個數(shù)來自同一個抽屜，那么這兩個數(shù)的和或差是10的倍數(shù)。

【答案】按除以10的余數(shù)分類，構(gòu)造如下6個抽屜：(0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5).

11、有9個人，每人至少與另外5個人互相認(rèn)識。試證明：可以從中找到3個人，他們彼此相互認(rèn)識。

【分析】設(shè)9人分別為C,3,E,EG,",/,其中A認(rèn)識5個人，設(shè)為B,C,D,E,F;3也認(rèn)識5個人，除

了A外至少要有1個人在C,。,瓦尸中，設(shè)為C,那么A3,C互相認(rèn)識。

【答案】設(shè)9人為A、B、C、。、E、RG、H、I,不妨設(shè)A認(rèn)識8、C、D、E、尸這5人，8除了認(rèn)識

A外還認(rèn)識4人，這4人必然有一人是C、￡＞、E、F這4人中的一人。

12、(1)在一個邊長為1的正方形里放入3個點，以這3個點為頂點連出的三角形面積最大是多少？

(2)在一個邊長為1的正方形中隨意放入9個點，這9個點任何三點不共線，請說明：這9個點中一定有

3個點構(gòu)成的三角形面積不超過!。

8

【分析】(1)正方形中的三角形面積不會超過正方形面積的!(“一半”模型)。

2

(2)把邊長為1的正方形分成2x2的4部分將這4個小正方形看做4個抽屜，那么根據(jù)抽屜原理,

9個點中必有3個點在同一個小正方形中，那么這3個點構(gòu)成的三角形的面積不大于小正方形面積的-,即

2

111

—X———Q

【答案】⑴1；⑵將正方形等分成4個小正方形，9個點至少有3個點落入同一個小正方形，然后利

用(1)的結(jié)論。

超越篇

8、從1至12這12個自然數(shù)中最多能選出幾個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)？

【分析】構(gòu)造6個抽屜：(1,2,4,8),(3,9),(5,10),(6,12),(7),(11),那么同一抽屜里的兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系。根

據(jù)抽屜原理，最多能取6個數(shù)，使得任意兩數(shù)之間沒有倍數(shù)關(guān)系。如：7,8,9,10,11,12?

【答案】6個

9、(1)請說明：在任意的68個自然數(shù)中，必有兩個數(shù)的差是67的倍數(shù)；

(2)請說明：在1,11,111,1111,這一列數(shù)中必有一個是67的倍數(shù)。

【分析】(1)自然數(shù)除以67的余數(shù)有0?66這67種可能。把它們看做67個抽屜，那么根據(jù)抽屜原理，任

意68個自然數(shù)種，至少有兩個數(shù)在同一個抽屜，即它們除以67的余數(shù)相同。那么這兩個數(shù)的差是67的倍

數(shù)。

(2)取這列數(shù)的前68個數(shù)，根據(jù)上一問可以證明，必有其中兩個數(shù)的差是67的倍數(shù)。設(shè)為

lli...ll,lll...ll(a<Z?<68),那么111...11-111...11=111...11000...00=111...11x1000...00是67的倍數(shù)。而

。個Ib個1b個10yMb-a個1。個0h-a^l4個0

1000...00顯然不是67的倍數(shù),因此111...11是67的倍數(shù)，111...11也是數(shù)列中的數(shù)，得證。

“個0b-a個Ib-a個1

【答案】(1)除以67的余數(shù)一共有67種情況，68個數(shù)必有兩個數(shù)除以67同余；

(2)其中必有兩個數(shù)除以67同余，而它們的差是11-100-0這樣的形式，這個數(shù)前面若干個1組成的數(shù)

必定是67的倍數(shù)。

10、求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a、b、c、d、e、f,使得(a-b)X(c-d)

X(e-f)是105的倍數(shù)。

【分析】.105=3x5x7。任取8個自然數(shù)，必有2個數(shù)之差是7的倍數(shù)，設(shè)為剩下的6個自然數(shù)中，

必有2個數(shù)之差是5的倍數(shù)，設(shè)為c、,"：剩下的4個自然數(shù)中，必有2個數(shù)之差是3的倍數(shù)，設(shè)為e,/。那

么有：(a-/?)x(c-d)x(e-/)是105的倍數(shù)。

【答案】105=7X5X3,8個數(shù)中一定能找到兩個數(shù)之差是7的倍數(shù)，在剩下的6個數(shù)中必定有兩個數(shù)之差

是5的倍數(shù)，在剩下的4個數(shù)中一定能找到兩個數(shù)之差是3的倍數(shù)。

11、從1至25這25個自然數(shù)中最多取出多少個數(shù)，使得在取出來的這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不等于

另兩個不同數(shù)的乘積。

【分析】互異兩自然數(shù)乘積小于25的有：2x3=62x4=8,2x12=24;3x4=12,3x5=15，.…,3x8=24;

4x5=20,4x6=24o只要把2,3,4這3個數(shù)字去掉，剩下的數(shù)字中，沒有兩個數(shù)的乘積等于另一個數(shù)。因此

最多能取出22個。

【答案】22個。

12、25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁，請說明：至少有一個，他(或她)的兩邊都是女生。

【分析】共50個座位，我們分為奇數(shù)位和偶數(shù)位。那么此題即證：必有兩個女生坐在相鄰的奇數(shù)位或偶數(shù)

位。根據(jù)抽屜原理，至少有13個女生位于奇數(shù)位或位于偶數(shù)位，不妨設(shè)為奇數(shù)位。13個女生坐在25

個奇數(shù)位，根據(jù)抽屜原理，至少有2個女生坐在相鄰的奇數(shù)位。那么這兩個女生之間的人，左右兩邊

都是女生。

【答案】將每個位置1,2,3,…，50編號，那么至少有13名女生坐在奇數(shù)號或者是偶數(shù)號，不妨設(shè)有

13名女生坐在奇數(shù)號，那么必然有相鄰的兩個奇數(shù)號上都坐著女生。

13、時鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1,2,3,…，11,12這12個數(shù)，在其上任意做n個120°的扇

形，每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同。如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3

個，這3個扇形能覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的最小值。

【分析】3個扇形要覆蓋住整個表面，有如下4種可能：

（1~4,5N8,9~1）（3~6,7）（10,11。根據(jù)抽屜原理，我們從中任

取4x2+l=9個扇形，總有3個在同一個抽屜，那么