小波分析入門-本人總結-

給我們一個信號時，我們從時域中觀察這個信號時，我們得到的信息是信號的持續(xù)的時間，隨著時間的變化，信號的幅度起起伏伏。如果我們更進一步，就是起伏速度較快的局部對應著信號中高頻局部。變換緩慢的局部對應著代表信號中的頻率低頻局部。我們也可以估算信號中直流分量的大小。當然這都是我們直觀的理解。這種單純的從時域中的信號的波形得到的信息是不全面的。有的時候我們想要知道我們的信號中含有那些頻率成分，相應頻率的強度，相位。這就是從從頻域的角度來看待我們的信號。這就需要一個數學變換的工具，將我們的信號變換到頻域。這個強大的數學工具就是傅里葉變換，變換后我們希望我們還可以回到時域中，也就是我們的變換是可可逆的，事實上，傅里葉變換就有這個信息不損失的性質。如今傅里葉變換已經成為一個體系。一切來自于數學中的分解思想，在這里我們選擇一組正交基。對我們信號函數的分解就像是對空間中某一一向量分解到三個坐標系一樣，只不過函數的坐標是傅里葉系數而已。這樣，我們經過傅里葉變換就可以知道我們的信號中含有的頻率成分。但是這里有一個隱含的假設，或者說是傅里葉變換的致命弱點，那就是他潛在的假設了我們的信號是平穩(wěn)信號。何為平穩(wěn)信號？所謂的平穩(wěn)信號就是信號的各種頻率成分在信號的全部持續(xù)時間中都存在。舉個例子，假設我們對一個持續(xù)時間在[0,100s]的平穩(wěn)信號做傅里葉變換，得出信號中有59HZ，那么就說明，對該平穩(wěn)信號，59HZ從0開始，在這100s中的任何一個時刻都存在?？墒牵斘覀兊男盘柌皇瞧椒€(wěn)信號時，例如59HZ產生50s

處，強度和上一個信號的完全相同，其他頻率也完全相同，如果我們對這一個信號做傅里葉變換，由于傅里葉變換的積分域是從負無窮到正無窮，所以不幸的是，我們得到了和上一信號完全一樣的結果，我們無法再從頻域回到時域了。也就是FT并沒有告訴我們非平穩(wěn)信號的各種頻率分別出現(xiàn)在那個時間段上。事實上，在現(xiàn)實生活中，非平穩(wěn)信號和平穩(wěn)信號交織在一起的。例如心電圖(ECG)、腦電圖(EEG)和肌電圖(EMG)。所以知道哪些頻率出現(xiàn)在何種時間段的需求是那么的緊迫。換句話說，就是我們想要同時知道信號的時間信息和頻率信息。解決方案就是FT的改良版：STFT〔短時傅里葉變換〕。小波變換：小波〔wavelet〕的意思是:asmallwave。FT中，我們選用的是exp〔jwt〕函數作為我們變換空間的一組標準正交基，exp〔jwt〕函數在時間軸上一直存在，從-∞到+∞上均存在的信號，不會衰減，而我們在小波變換中選用的小波不僅持續(xù)時間是有限的，即只在某一個時間段內存在，而且小波的頻率也是有限的，即超過一定的頻率之外，該頻率的強度〔幅度〕會逐漸衰減到0。小波變換較之于傅里葉變換的優(yōu)點可以歸結為如下方面：1〕使得信號的存儲較之于傅里葉變換后再去存儲更加的有效，也就是更易于壓縮，進而傳輸圖像。2〕方便了對信號的分析，因為能夠更好地去近似現(xiàn)實中的信號〔nonstationarysignal〕。3〕當信號函數中有不連續(xù)的點的時候，如果用FT得到信號的近似，會有吉布斯現(xiàn)象〔雖然在功率上會很好的近似，但是在不連續(xù)點附近卻有一個固定的誤差，無法進一步減小〕，比之于FT的這個缺點，我們的小波變換能夠更好的對數據中的不連續(xù)點進行近似。作為小波變換前身，短時傅里葉變換〔STFT〕于1946年DennisGabor

首次使用的。在介紹小波變換之前有必要去介紹一下STFT。STFT是FT的一種改良版本。在解決非平穩(wěn)信號的時間信息和頻率信息同時表示的問題上做了第一步的探索。STFT采用的技術就是給信號加窗〔WindowingtheSignal〕，也就是一次只分析信號的一小段。在這個時間段的信號被看成是stationarysignal。截取之后，在做傅里葉變換。然后開始沿著時間軸去移動我們的窗口，直至信號的結束?！蚕胂胝Z音信號頻域處理中，得到的二維語譜圖〕。在matlab中，我們最終得到的該變換的二維圖像表示〔或者三維，只不過另一維度用顏色標記出來，并沒有第三個周〕稱為spectrogram。STFT是一個三維的變換，具體如下：可見最終變換后我們得到的是一個關于時間和頻率的函數。注意由于STFT中，我們選用的窗口自始至終都是同一個窗子，同樣的大小，同樣的形狀等等，所以每一小段窗口內，我們變換的時間分辨率和頻率分辨率都是相同的，相當于圖中所示的將時間-頻率平面劃分成一個個大小相同的矩形格子。從上面對STFT的介紹中，不難看出STFT的如下缺點：一旦選定了STFT的截取窗口后，那么STFT的自始至終，都會使用同一個窗口，那么我們就會陷入關于時間分辨率和頻率分辨率的困境。具體解釋如下列圖：從上述兩幅圖中，不難看出第一幅圖，選擇大的窗的窗口大小很小，換句話說，就是時間分辨率很大〔時間段的倒數〕，然而頻率軸上的頻率分辨率卻很小〔有頻率段有很大的的彌散〕。第二幅圖，窗口選擇很大，換句話說，就是時間分辨率很小，那么進行STFT的變換后，得到的圖像中，頻率分辨率很大〔幾乎沒有彌散〕，但是變換后的時間軸上卻又很大的重疊〔這和我們直觀理解相同，選擇時間大了，那么某一個頻率出現(xiàn)后，可能會持續(xù)到下一個窗口內〔從時域上看〕。上述的這種dilemma可以用一個準那么去描述，也就是，HeisenbergUncertaintyPrinciple：Cannotknowwhatfrequencyexistsatwhattimeinterval。幸運的是，上世紀80年代出現(xiàn)了一種新的變換：小波變換很好的解決了這個dilemma。下面介紹小波變換：小波變換屬于多分辨率分析〔MRA〕的技術。所謂的MRA就是：對我們的信號的不同的頻段〔高，中，低頻段〕采用不同的分辨率去分析。例如，在信號高頻段處選擇較大的〔好的〕的時間分辨率〔對應的窗口很小〕和差的〔較小的〕頻率分辨率進行分析，在信號低頻段處選擇好的〔大的〕時間分辨率和較差〔小的〕的頻率分辨率進行分析。從直觀上也很好理解這種分辨率的選擇方法，例如高頻信號〔分量〕在時域中對應的是劇烈的變換抖動，持續(xù)時間可能很短，所以選擇很小的窗口〔即很高的時間分辨率〕去分析非常的適宜。低頻分量一般持續(xù)時間很長，選擇窗口很大〔也就是對應信號的時間分辨率較小〕更加的適宜。談到了MRA，接下來談談MRA必不可少的分析工具---小波變換〔WT〕。所謂的WT就是將我們的信號〔signal〕分成〔表示成〕abunchofsignals。分成的每一個signal都對應著原始signal的不同頻帶〔例如高，中低等頻帶，也可用區(qū)間劃分頻率軸〕，WT能夠給出我們關于信號的哪個頻帶出現(xiàn)在哪一個時間段上的信息。上述只是直觀的描述，下面給出連續(xù)小波變換〔CWT〕的數學表達式：對于該公式，解釋如下：Wavelet

〔小波〕：小的波形，換句話說，就是持續(xù)的時間是有限的〔finite〕MotherWavelet〔母小波〕：產生其他所有窗函數的原型〔prototype〕，其他所有的窗函數都是母小波經過

dilated〔膨脹〕或者壓縮，移位〔shift〕而得到的。尺度〔scale〕s：S>1:

膨脹信號(dilate

〔膨脹〕thesignal)S<1:

壓縮信號(compressthesignal)信號不同的頻帶對應的窗函數，是母小波按照如下的尺度變換得到：1〕

低頻段->需要的S較大

->Non-detailedGlobalViewofSignal->SpanEntireSignal2〕

高頻段

->

需要較小的尺度S->DetailedViewLastinShortTime〔短時間的細節(jié)描述〕知道了上述公式的意義后，下面我們說說CWT的計算問題(7大步)：Step1:

將

wavelet〔母小波本身〕放置在信號出現(xiàn)的起始時刻,

并且

設定s=1

(注意，在這里，S=1為母小波的最大的壓縮版本〔themostcompressedwavelet)，也就是母小波本身〕;Step2:

將這個

scale為

“1〞的小波乘以我們要分析的信號,

然后在整個時間軸上積分，注意由于小波持續(xù)時間有限，相當于對信號截取了然后對時間積分得到一個實數；Step3:

移動這個scale=1

的小波到t=τ,

乘以我們要分析的信號,積分變換,得到t=τ

,s=1時的變換數值(是一個實數);Step4:

重復上述的

步驟直到尺度為S=1的小波移動到要分析信號的結束為止;Step5:小步幅的

增大尺度

s到某一個s，然后重復上述步驟

,最終得到所有的S對的所有變換值;Step6:

上述對于每一個S值，我們通過計算得到的一組變換后的實數數值放在時間軸的一個行〔row〕，Step7:

最終計算出了所給信號的CWT。下面用一個圖型來描述上述的過程：注：好的〔就是大的〕頻率分辨率指的是我們能夠分辨出較小的頻率局部〔低頻〕。注意觀察每一個格子，格子的時間軸的長度越大〔時間分辨率越小〔差〕〕，對應的頻率軸上〔即格子的高度〕高度越矮〔也就是頻率分辨率越大〕。下面給出一幅關于各大變換的時間，頻率分辨率的比擬圖像：講完了CWT理論，接下來就要講到工程實現(xiàn)了。顯然計算機無法處理連續(xù)的數據，這就需要計算量低的，容易implement的小波變換，這就是DWT。也就是對CWT的采樣〔盡管CWT的離散化并不是真正的離散變換，姑且這樣說〕。在DWT中尺度S是離散化為對數〔常選擇的因子是2，這樣高度，1,2,4，。。等等，也即是前一個小波時候一個小波的時間分辨率的2倍，頻率分辨率的1/2〕的格子。這樣利用DWT，我們將我們的信號按照不同的頻率分辨率劃分頻帶，我們將我們的信號分解為低頻近似和高頻細節(jié)。所以經過以上的分析，我們說MRA技術克服了Heisenberguncertaintyprinciple

。最后說說基于MRA的子帶編碼〔subbandcoding〕如下列圖表示：

注意：1〕每一次我們都會將時間分辨率變?yōu)樵瓉淼囊话搿蚕喈斢诓蓸娱g隔變大，〕，對于離散數據，我們對數據每一次都因子為2的下采樣，使得數據變?yōu)樵瓉淼囊话?〕頻域中，我們將頻率分辨率變?yōu)樵瓉淼?/p>