小波分析入門-本人總結(jié)-

給我們一個(gè)信號(hào)時(shí)，我們從時(shí)域中觀察這個(gè)信號(hào)時(shí)，我們得到的信息是信號(hào)的持續(xù)的時(shí)間，隨著時(shí)間的變化，信號(hào)的幅度起起伏伏。如果我們更進(jìn)一步，就是起伏速度較快的局部對(duì)應(yīng)著信號(hào)中高頻局部。變換緩慢的局部對(duì)應(yīng)著代表信號(hào)中的頻率低頻局部。我們也可以估算信號(hào)中直流分量的大小。當(dāng)然這都是我們直觀的理解。這種單純的從時(shí)域中的信號(hào)的波形得到的信息是不全面的。有的時(shí)候我們想要知道我們的信號(hào)中含有那些頻率成分，相應(yīng)頻率的強(qiáng)度，相位。這就是從從頻域的角度來看待我們的信號(hào)。這就需要一個(gè)數(shù)學(xué)變換的工具，將我們的信號(hào)變換到頻域。這個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具就是傅里葉變換，變換后我們希望我們還可以回到時(shí)域中，也就是我們的變換是可可逆的，事實(shí)上，傅里葉變換就有這個(gè)信息不損失的性質(zhì)。如今傅里葉變換已經(jīng)成為一個(gè)體系。一切來自于數(shù)學(xué)中的分解思想，在這里我們選擇一組正交基。對(duì)我們信號(hào)函數(shù)的分解就像是對(duì)空間中某一一向量分解到三個(gè)坐標(biāo)系一樣，只不過函數(shù)的坐標(biāo)是傅里葉系數(shù)而已。這樣，我們經(jīng)過傅里葉變換就可以知道我們的信號(hào)中含有的頻率成分。但是這里有一個(gè)隱含的假設(shè)，或者說是傅里葉變換的致命弱點(diǎn)，那就是他潛在的假設(shè)了我們的信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)。何為平穩(wěn)信號(hào)？所謂的平穩(wěn)信號(hào)就是信號(hào)的各種頻率成分在信號(hào)的全部持續(xù)時(shí)間中都存在。舉個(gè)例子，假設(shè)我們對(duì)一個(gè)持續(xù)時(shí)間在[0,100s]的平穩(wěn)信號(hào)做傅里葉變換，得出信號(hào)中有59HZ，那么就說明，對(duì)該平穩(wěn)信號(hào)，59HZ從0開始，在這100s中的任何一個(gè)時(shí)刻都存在?？墒?，當(dāng)我們的信號(hào)不是平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，例如59HZ產(chǎn)生50s

處，強(qiáng)度和上一個(gè)信號(hào)的完全相同，其他頻率也完全相同，如果我們對(duì)這一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，由于傅里葉變換的積分域是從負(fù)無窮到正無窮，所以不幸的是，我們得到了和上一信號(hào)完全一樣的結(jié)果，我們無法再?gòu)念l域回到時(shí)域了。也就是FT并沒有告訴我們非平穩(wěn)信號(hào)的各種頻率分別出現(xiàn)在那個(gè)時(shí)間段上。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，非平穩(wěn)信號(hào)和平穩(wěn)信號(hào)交織在一起的。例如心電圖(ECG)、腦電圖(EEG)和肌電圖(EMG)。所以知道哪些頻率出現(xiàn)在何種時(shí)間段的需求是那么的緊迫。換句話說，就是我們想要同時(shí)知道信號(hào)的時(shí)間信息和頻率信息。解決方案就是FT的改良版：STFT〔短時(shí)傅里葉變換〕。小波變換：小波〔wavelet〕的意思是:asmallwave。FT中，我們選用的是exp〔jwt〕函數(shù)作為我們變換空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，exp〔jwt〕函數(shù)在時(shí)間軸上一直存在，從-∞到+∞上均存在的信號(hào)，不會(huì)衰減，而我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中選用的小波不僅持續(xù)時(shí)間是有限的，即只在某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)存在，而且小波的頻率也是有限的，即超過一定的頻率之外，該頻率的強(qiáng)度〔幅度〕會(huì)逐漸衰減到0。小波變換較之于傅里葉變換的優(yōu)點(diǎn)可以歸結(jié)為如下方面：1〕使得信號(hào)的存儲(chǔ)較之于傅里葉變換后再去存儲(chǔ)更加的有效，也就是更易于壓縮，進(jìn)而傳輸圖像。2〕方便了對(duì)信號(hào)的分析，因?yàn)槟軌蚋玫厝ソ片F(xiàn)實(shí)中的信號(hào)〔nonstationarysignal〕。3〕當(dāng)信號(hào)函數(shù)中有不連續(xù)的點(diǎn)的時(shí)候，如果用FT得到信號(hào)的近似，會(huì)有吉布斯現(xiàn)象〔雖然在功率上會(huì)很好的近似，但是在不連續(xù)點(diǎn)附近卻有一個(gè)固定的誤差，無法進(jìn)一步減小〕，比之于FT的這個(gè)缺點(diǎn)，我們的小波變換能夠更好的對(duì)數(shù)據(jù)中的不連續(xù)點(diǎn)進(jìn)行近似。作為小波變換前身，短時(shí)傅里葉變換〔STFT〕于1946年DennisGabor

首次使用的。在介紹小波變換之前有必要去介紹一下STFT。STFT是FT的一種改良版本。在解決非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間信息和頻率信息同時(shí)表示的問題上做了第一步的探索。STFT采用的技術(shù)就是給信號(hào)加窗〔WindowingtheSignal〕，也就是一次只分析信號(hào)的一小段。在這個(gè)時(shí)間段的信號(hào)被看成是stationarysignal。截取之后，在做傅里葉變換。然后開始沿著時(shí)間軸去移動(dòng)我們的窗口，直至信號(hào)的結(jié)束?！蚕胂胝Z音信號(hào)頻域處理中，得到的二維語譜圖〕。在matlab中，我們最終得到的該變換的二維圖像表示〔或者三維，只不過另一維度用顏色標(biāo)記出來，并沒有第三個(gè)周〕稱為spectrogram。STFT是一個(gè)三維的變換，具體如下：可見最終變換后我們得到的是一個(gè)關(guān)于時(shí)間和頻率的函數(shù)。注意由于STFT中，我們選用的窗口自始至終都是同一個(gè)窗子，同樣的大小，同樣的形狀等等，所以每一小段窗口內(nèi)，我們變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率都是相同的，相當(dāng)于圖中所示的將時(shí)間-頻率平面劃分成一個(gè)個(gè)大小相同的矩形格子。從上面對(duì)STFT的介紹中，不難看出STFT的如下缺點(diǎn)：一旦選定了STFT的截取窗口后，那么STFT的自始至終，都會(huì)使用同一個(gè)窗口，那么我們就會(huì)陷入關(guān)于時(shí)間分辨率和頻率分辨率的困境。具體解釋如下列圖：從上述兩幅圖中，不難看出第一幅圖，選擇大的窗的窗口大小很小，換句話說，就是時(shí)間分辨率很大〔時(shí)間段的倒數(shù)〕，然而頻率軸上的頻率分辨率卻很小〔有頻率段有很大的的彌散〕。第二幅圖，窗口選擇很大，換句話說，就是時(shí)間分辨率很小，那么進(jìn)行STFT的變換后，得到的圖像中，頻率分辨率很大〔幾乎沒有彌散〕，但是變換后的時(shí)間軸上卻又很大的重疊〔這和我們直觀理解相同，選擇時(shí)間大了，那么某一個(gè)頻率出現(xiàn)后，可能會(huì)持續(xù)到下一個(gè)窗口內(nèi)〔從時(shí)域上看〕。上述的這種dilemma可以用一個(gè)準(zhǔn)那么去描述，也就是，HeisenbergUncertaintyPrinciple：Cannotknowwhatfrequencyexistsatwhattimeinterval。幸運(yùn)的是，上世紀(jì)80年代出現(xiàn)了一種新的變換：小波變換很好的解決了這個(gè)dilemma。下面介紹小波變換：小波變換屬于多分辨率分析〔MRA〕的技術(shù)。所謂的MRA就是：對(duì)我們的信號(hào)的不同的頻段〔高，中，低頻段〕采用不同的分辨率去分析。例如，在信號(hào)高頻段處選擇較大的〔好的〕的時(shí)間分辨率〔對(duì)應(yīng)的窗口很小〕和差的〔較小的〕頻率分辨率進(jìn)行分析，在信號(hào)低頻段處選擇好的〔大的〕時(shí)間分辨率和較差〔小的〕的頻率分辨率進(jìn)行分析。從直觀上也很好理解這種分辨率的選擇方法，例如高頻信號(hào)〔分量〕在時(shí)域中對(duì)應(yīng)的是劇烈的變換抖動(dòng)，持續(xù)時(shí)間可能很短，所以選擇很小的窗口〔即很高的時(shí)間分辨率〕去分析非常的適宜。低頻分量一般持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)，選擇窗口很大〔也就是對(duì)應(yīng)信號(hào)的時(shí)間分辨率較小〕更加的適宜。談到了MRA，接下來談?wù)凪RA必不可少的分析工具---小波變換〔WT〕。所謂的WT就是將我們的信號(hào)〔signal〕分成〔表示成〕abunchofsignals。分成的每一個(gè)signal都對(duì)應(yīng)著原始signal的不同頻帶〔例如高，中低等頻帶，也可用區(qū)間劃分頻率軸〕，WT能夠給出我們關(guān)于信號(hào)的哪個(gè)頻帶出現(xiàn)在哪一個(gè)時(shí)間段上的信息。上述只是直觀的描述，下面給出連續(xù)小波變換〔CWT〕的數(shù)學(xué)表達(dá)式：對(duì)于該公式，解釋如下：Wavelet

〔小波〕：小的波形，換句話說，就是持續(xù)的時(shí)間是有限的〔finite〕MotherWavelet〔母小波〕：產(chǎn)生其他所有窗函數(shù)的原型〔prototype〕，其他所有的窗函數(shù)都是母小波經(jīng)過

dilated〔膨脹〕或者壓縮，移位〔shift〕而得到的。尺度〔scale〕s：S>1:

膨脹信號(hào)(dilate

〔膨脹〕thesignal)S<1:

壓縮信號(hào)(compressthesignal)信號(hào)不同的頻帶對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)，是母小波按照如下的尺度變換得到：1〕

低頻段->需要的S較大

->Non-detailedGlobalViewofSignal->SpanEntireSignal2〕

高頻段

->

需要較小的尺度S->DetailedViewLastinShortTime〔短時(shí)間的細(xì)節(jié)描述〕知道了上述公式的意義后，下面我們說說CWT的計(jì)算問題(7大步)：Step1:

將

wavelet〔母小波本身〕放置在信號(hào)出現(xiàn)的起始時(shí)刻,

并且

設(shè)定s=1

(注意，在這里，S=1為母小波的最大的壓縮版本〔themostcompressedwavelet)，也就是母小波本身〕;Step2:

將這個(gè)

scale為

“1〞的小波乘以我們要分析的信號(hào),

然后在整個(gè)時(shí)間軸上積分，注意由于小波持續(xù)時(shí)間有限，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)截取了然后對(duì)時(shí)間積分得到一個(gè)實(shí)數(shù)；Step3:

移動(dòng)這個(gè)scale=1

的小波到t=τ,

乘以我們要分析的信號(hào),積分變換,得到t=τ

,s=1時(shí)的變換數(shù)值(是一個(gè)實(shí)數(shù));Step4:

重復(fù)上述的

步驟直到尺度為S=1的小波移動(dòng)到要分析信號(hào)的結(jié)束為止;Step5:小步幅的

增大尺度

s到某一個(gè)s，然后重復(fù)上述步驟

,最終得到所有的S對(duì)的所有變換值;Step6:

上述對(duì)于每一個(gè)S值，我們通過計(jì)算得到的一組變換后的實(shí)數(shù)數(shù)值放在時(shí)間軸的一個(gè)行〔row〕，Step7:

最終計(jì)算出了所給信號(hào)的CWT。下面用一個(gè)圖型來描述上述的過程：注：好的〔就是大的〕頻率分辨率指的是我們能夠分辨出較小的頻率局部〔低頻〕。注意觀察每一個(gè)格子，格子的時(shí)間軸的長(zhǎng)度越大〔時(shí)間分辨率越小〔差〕〕，對(duì)應(yīng)的頻率軸上〔即格子的高度〕高度越矮〔也就是頻率分辨率越大〕。下面給出一幅關(guān)于各大變換的時(shí)間，頻率分辨率的比擬圖像：講完了CWT理論，接下來就要講到工程實(shí)現(xiàn)了。顯然計(jì)算機(jī)無法處理連續(xù)的數(shù)據(jù)，這就需要計(jì)算量低的，容易implement的小波變換，這就是DWT。也就是對(duì)CWT的采樣〔盡管CWT的離散化并不是真正的離散變換，姑且這樣說〕。在DWT中尺度S是離散化為對(duì)數(shù)〔常選擇的因子是2，這樣高度，1,2,4，。。等等，也即是前一個(gè)小波時(shí)候一個(gè)小波的時(shí)間分辨率的2倍，頻率分辨率的1/2〕的格子。這樣利用DWT，我們將我們的信號(hào)按照不同的頻率分辨率劃分頻帶，我們將我們的信號(hào)分解為低頻近似和高頻細(xì)節(jié)。所以經(jīng)過以上的分析，我們說MRA技術(shù)克服了Heisenberguncertaintyprinciple

。最后說說基于MRA的子帶編碼〔subbandcoding〕如下列圖表示：

注意：1〕每一次我們都會(huì)將時(shí)間分辨率變?yōu)樵瓉淼囊话搿蚕喈?dāng)于采樣間隔變大，〕，對(duì)于離散數(shù)據(jù)，我們對(duì)數(shù)據(jù)每一次都因子為2的下采樣，使得數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼囊话?〕頻域中，我們將頻率分辨率變?yōu)樵瓉淼?/p>