高考高中數(shù)學(xué)必考21個易錯點詳解總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必考21個易錯點詳解總結(jié)

忽視空集致誤

?八~.■■■■■■■■■■■■■■?■■?■??????■??■...............................

1設(shè)集合4=&*+以=0,x￡R"B={X\X2+

2m+l)x+/-i=0,〃￡R,xeR),若BJA,則實數(shù)。的取

值范圍是.

【錯解】4={0,—4},BJ4

(1)當(dāng)8=4時，B=[0,-4},則0和一4是方程f+2(a+

1)x4-o2—1=0的根.

』=4(a+l)2-4(a2-1)>0,

.二一2(。+1)=—4,解得。=1;

1=0,

(2)當(dāng)8={0}或8={—4}時，BQA.

則/=4(。+1)?—4(/—1)=0,解得a=-1

此時8={0},滿足題意.

綜上知，實數(shù)。的取值范圍是。=±1.

［答案】k±1

【錯因分析與防范措施】造成本題錯誤的根本原因是

忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質(zhì)，上述解法忽視

了8=0時的情形.當(dāng)題目中出現(xiàn)81,4,/CB=B,AUB=A

時，應(yīng)注意對8進行分類討論，即分8=。和4W。兩種情況討

論.

【正解】在上述解題過程中補上3=。，此時/=4(〃+

一4(/-1)<0,解得。<一1,因此，實數(shù)。的取值范圍是

—1或。=1.

【答案】{a|a<—1或a=l}

易誤點Zi忽視集合兀素的互異性致誤

》例2設(shè)集合4={一4.2。-1,a2},B={9,a~5A~

},若4cB={9},則實數(shù)〃=

【錯解】,：AQB={9},A9ej.

由2a—1=9得々=5,

由a~=9得。=±3,

.?.4=5或4=±3.

【答案】5或3或一3

【錯因分析與防范措施】在求出。的值后，沒有驗證

集合中的元素是否滿足集合元素的互異性是導(dǎo)致錯誤的根本

原因.在解決集合中含參數(shù)的問題時，一定要進行檢驗，看

是否滿足集合元素的互異性.

【正解】由ZG3={9},知

①當(dāng)2。-1=9時，。=5,檢驗不符合要求，舍去；

②當(dāng)/=9時，a=3或a=—3,檢驗a=3不符合要求.

故a=-3.

【答案】-3

對命題的否定不當(dāng)而致誤

》例3己知命題a-2ZT—則㈱P：

XXZ

【錯解】標(biāo)心即入L2<0,

—\<x<2.

【答案】一icv2

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是認為p:

_?>0的否定是非夕從而認為非P對應(yīng)的

XXz?x*XZ

X的集合是{x|-lq<2}.事實上若命題p中元素組成的集合為

M,那么對p的否定非p組成的集合就是A7的補集.求解時應(yīng)

先求解集合M，再求其補集.

【正解】由~/0得

x-x—2

X2—2>0,解得xv—1或x>2,

㈱p為一1<xW2.

【答案】-1?2

變式訓(xùn)練3已知歷是不等式最萬〈°的解集且5U7,

則。的取值范圍是

【解析】法一"憶???篦現(xiàn)或5。-25=。,

???a<-2或a>5或々=5,故填(一8,-2]U[5,+~).

、_i_什>[+10—

法二若5￡憶則nwo,

???(a+2)(a—5)W0且aW5,：.~2^a<5,

???54歷時，tv—2或a25.

【答案】(-8,-2]U[5,4-oo)

呻霹曲I忽視函數(shù)的定義域致誤

》例4已知7（x）=2+log3x（l<x<9）,求函數(shù)》=伏幻『

十九，）的最大值.

（錯解】y=[/U）F+乂，）=（2+logj）2+2+logjx2,

2

/.^=(log3^)+61ogj+6=(log3x+3)2—3.

XxW9,.,?OWlogaxWZ,

故當(dāng)x=9,即log3X=2時，歹取最大值為22.

【錯因分析與防范措施】本題錯誤的原因在于沒有注

意到函數(shù)尸伏刈2十府)的定義域的變化誤以為函數(shù)產(chǎn)

伏的『十於?)的定義域就是/(X)的定義域.在解決有關(guān)函數(shù)的

問題時，首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域，這是一條基本原則.

【正解】??7U)的定義域為[1,9]，

1

，要使函數(shù)y=[/U)f+y(x2)有意義，必須有V。

???1?.0<唾/W1.

設(shè)，=logK，則￡[0,1],

2222

??沙=[/(X)]+XX)=(2+log3x)+2+log3x

2

=(log/f+4log3%+4+2+21og3x=(log3X)+61og3x+6=

/+61+6(0W/<1).

對稱軸為直線/=-3,在區(qū)間[0,1]的左側(cè).

???函數(shù)在/引0,1]上單調(diào)遞增.

一當(dāng)/—1時，％ax=1+6+6=13.

問：Ly=l是基函數(shù)嗎？

2./的范圍對t的范圍的影響？

變式訓(xùn)練4函數(shù)/(x)=log4(7+6x—f)的單調(diào)遞增區(qū)間

是?

【解析】設(shè)y=log4"，〃=一/+6工+7,

則二次函數(shù)〃=—f+6x+7在(-8,3]上為增函數(shù)，在

[3,+8)上為減函數(shù).

又y=log4〃是增函數(shù)，函數(shù)/(x)=log4(7+6x—x2)的定義

域是(一1,7),

故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(-1,3].

【答案】(-1,3]

易誤點5|分段函數(shù)忽視分界點的函數(shù)值致誤

5若人叫(4/+2g)是R上的單調(diào)遞增

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(4,8)

C.[4,8)D.(1,8)

【錯解】??7U)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),

，當(dāng)X>1時，由/(X)=可知1.

當(dāng)xWl時，由<x)=(4—：氏+2可知4—二>0,即q<8.

故實數(shù)。的取值范圍為(L8).

【答案】D

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是，將分段函數(shù)

的兩個分支隔離開來，分別處理單調(diào)性.由于分段函數(shù)是一

個函數(shù)，故應(yīng)結(jié)合單調(diào)性的概念，對其兩分支界點處的值進

行比較，充分體現(xiàn)單調(diào)性中“任意X|，X2,若為〃2,則

【正解】??7（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)X>1時，由/（X）=，可知。>1.

當(dāng)時，由y（x）=（4—g）x+2可知，4—^>0,

即q<8.

結(jié)合增函數(shù)的概念可知，（4-3+2<4,即。24.

綜上所述，所求。的范圍為［4,8）.

【答案】C

,,(3。-l)x+4a,x<l,口

變式訓(xùn)練5已知/(x)=?是(一

[\0gaX,X21

8,+8)上的減函數(shù)，那么。的取值范圍是.

’3。一1<0,

【解析】由題意可知,OVzvl，

(3a—l)+4a，lo&l,

解得;<a<；.

【答案】[1,|)

易誤點句|忽視最高次數(shù)項系數(shù)為0致誤

函數(shù)/a)=m/一2x+1有且僅有一個正實數(shù)零

點，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(一8,I]B.(—8,o]U{1}

C.(一8,O)U{1}D.(一8,1)

【錯解】⑴當(dāng)/=4-4m=0,即〃7=1時，x=l是函數(shù)

的唯一零點，

(2)當(dāng)/=4-4加＞0,即〃?VI時，由于x=0不是函數(shù)的零

點，則函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程〃7/一級+1

=0有一個正根和一個負根，因此刈/(O)vo,所以mVO.

綜上知，實數(shù)機的取值范圍是(一8,O)U{1}.

【答案】C

【錯因分析與防范措施】本題忽視〃?=0的情況，導(dǎo)致

解題失誤.對于多項式函數(shù)或方程、不等式，如果含有參數(shù)

一定首先考慮最高次項系數(shù)為0的情況.

【正解】當(dāng)〃7=0時，X=；為函數(shù)的零點.

當(dāng)/wWO時，若/=4—4加=0,即當(dāng)〃7=1時，x=l是函數(shù)

唯一的零點.

若/=4—4加工0,即加WI時，顯然x=0不是函數(shù)的零

點.

這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程/(x)=s2

—2x+l有一個正根一個負根.因此〃次0)V0.???加V0.綜上知

實數(shù)機的取值范圍是(-8,O]U{1}.

【答案】B

變式訓(xùn)練6設(shè)命題甲：a?+2ax+l>0的解集是實數(shù)集

R;命題乙：OVaVl,則命題甲是命題乙成立的

件.

【解析】當(dāng)4=0時，不等式以2+2奴+1>0恒成立，

符合題意.

?！?,

當(dāng)aWO時，有//24―八即OVqVl,故不等式

[J=4a—4(7<0,

ax2+2ax+l>0的解集是R時，OWaVL故甲是乙成立的必要

不充分條件.

【答案】必要不充分條件

易誤點】混淆“過某點的切線”與“在某點處的圈線”致誤

》例7已知曲線C：0)=1一x+2,求經(jīng)過點尸(1,2)

的曲線C的切線方程.

【錯解】由1(x)=3x2~l,得%=/(1)=2,所以所

求的切線方程為卜一2=2。-1),即y=2x.

【錯因分析與防范措施】切線的斜率A應(yīng)是在切點處

的導(dǎo)數(shù)，此處所求的切線只說經(jīng)過尸點，而沒說P點一定是切

點，于是切線的斜率%與r(1)不一定相等.

解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點力的切線方

程”與“在點力處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，

意義卻完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明

切線過這個點，這個點不一定是切點.

【正解】設(shè)經(jīng)過點P(l,2)的直線與曲線。相切于點

(xo,y0),則由f(力=3/一1得，在點(如對處的切線斜率〃

=—

f(xo)=3xo1?

所以在點(Xo,%)處的切線的方程為

?一用=(3/一l)(x—Xo).

又因為點(歷，州)與點P(l,2)均在曲線C和切線上，

七］乂)=焉—沏+2,3_2

有b—必=(3需一1)(1—的)，消去加得‘工。一'。=(3而一

1)(1—x0),

解得Xo=l或Xo=—于是左=2或一；，

19

所以所求切線方程為y=2'或"=-

變式訓(xùn)練7求過曲線歹=/一女上的點(1,一1)的切線

方程.

【解】設(shè)P(x。，乂))為切點，則切線的斜率為歹'|x=x0

=34-2.

，切線方程為y—乂)=(3/一2)(x—Xo),

—

即歹一(xo—2xo)=(3xo2)(x—x0).

又知切線過點(L-1),把它代入上述方程，得

—1—(Xo-2xo)=(3xo—2)(1—Xo),

整理，得(沏-1)2(2%0+1)=0,

解得Xo=l或Xo=—；.

故所求切線方程為歹一(1—2)=(3—2)(x—1),或y—(一；

31

+1)=(廠2)(葉5),

即方一歹一2=0,或5x+4y—1=0.

易誤點8|極值點概念不清致誤

》例8已知/(x)=x'+a￥2+6x+/在1處有極值為

10,貝必+6=.

【錯解】/(X)=3X2+2OX+/>,由題意知

f(l)=3+2a+b=0,

{1)=1+4+6+/=10,

。=4,a=~3,

解得或

b=-11b=3.

-7或a+6=0.

【答案】-7或0

【錯因分析與防范措施】“函數(shù)歹=以）在x=Xo處的導(dǎo)

數(shù)值為0”是“函數(shù)y=/（x）在點x=xo處取極值”的必要條

件，而非充分條件，但解題中卻把“可導(dǎo)函數(shù)/）在x=x0處

取極值”的必要條件誤作充要條件.

對于給出函數(shù)極大（小）值的條件，一定要既考射（沏）

=0,又考慮檢驗“左正右負”（“左負右正”）的轉(zhuǎn)化，否則

易產(chǎn)生增根.

【正解】/（幻=3/+2依+6,由x=l時，函數(shù)取得

『⑴=3+2a+b=0,

極值10,1/(1)=l+a+b+/=10,

。=4,

聯(lián)立①②得，

當(dāng)a=4,6=-11時，/（x）=3x2+8x-11=（3x+U）（x

一1）在尸1兩側(cè)的符號相反，符合題意.

當(dāng)1=-3,6=3時，/（x）=3（x-l）2在JC=1兩側(cè)的符號

相同，所以。=-3,6=3不符合題意，舍去.

綜上可知。=4,b=—\\,..?。+6=-7.

【答案】-7

變式訓(xùn)練8若函數(shù)丸、)=X3—方2—公+/在^=[處有極

值10,求，(x)>0的解集.

【解】由八、)=工3—方2—以+。2,得/(x)=3x2—2ax

-b,又y(x)在x=l處有極值10,

.3—2a—6=0,

??1-a-6+[2=10,

4=3,6r=-4,

解之得或

b=—3匕=11.

但a=3,6=—3時，/(x)=3f—6x+320,/(x)在R上

為增函數(shù)，不可能在x=l處有極值，舍去4=3,b=—3.

當(dāng)cf=—4,6=11時，經(jīng)檢驗./(X)在x=l處有極值.

由/'(X)=3X2+8X-11>0,得

(3x+1l)(x_1)>0,所以x>l或xv—1，

因此f(x)>0的解集為{布>1或XV—?}.

導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系不明致誤

》例9已知函數(shù)/U）=x'一辦?—3x,若函數(shù)/（x）在[2,

+8）上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

【錯解】/（x）=3x2-2ax-3,由題意知（幻＞0,

在x￡[2,+8）上恒成立.

即qV^x一:，在x￡[2,+8）上恒成立.

4X）

3（八

記《幻=5工一;，當(dāng)x22時，《x）是增函數(shù).

么X）

.工n9

??，（X）min=J2-5=].

9

<

4一

中

9LA

-

89-

4y

【錯因分析與防范措施】人劃在區(qū)間團，〃上為增函

數(shù)，則有了（幻20,而U）＞0,本題錯誤就在此處.在

實際解答時應(yīng)驗證等號成立時，函數(shù)/（X）是否為增函數(shù).

【正解】f(x)=3x~—2or—3,由題意知廣(x)20在x

e[2,+8)時恒成立，

3r

-n一

2

1tA7，在x￡[2,+8)上恒成立.

3(1)

記《x)=5x—[，當(dāng)x￡[2,+8)時，《用是增函數(shù).

9

當(dāng)4=4時，/(x)2。，當(dāng)且僅當(dāng)X=2時取等號.

9

因此

9

【答案】一8,4

r

e

變式訓(xùn)練9已知函數(shù)/(x)=]+《八二，a>0,若/(x)是R上

的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

爾-2ox+1

【解析】/(x)=e：(I+OY2)2，

函數(shù)/⑺是R上的單調(diào)函數(shù)，則r(x)在R上不變號.

由4>0知，ax?—2QX+120在R上恒成立.

則/=4/-4aW0,所以O(shè)VaWl.

【答案】(0,1]

忽視基本不等式成立的條件致誤

》例1()已知：a>0,b>0,a+5=l,求(a+[)2+(b+

%2的最小值.

[錯解】(。+/+(6+/)2=/+/+*+p+422而

+喜+4241/而4+4=8,

??.(a+：)2+(b+"y的最小值是8.

【錯因分析與防范措施】上面的解答中，兩次用到了

基本不等式/+/22H,第一次等號成立的條件是。=6=

L第二次等號成立的條件是而=2，這兩個條件不能同時

2ab

成立.因此，8不是最小值.如多次應(yīng)用基本不等式必須保

證等號同時成立，若某一條件不滿足時，可以通過拆項、添

項、配湊因式、調(diào)整系數(shù)等方法使之滿足條件.

【正解】原式=/+/+，2+/+4=(/+〃)+(3+/

+4=[(〃+6)2—2"]+[(：+：)2—嘉]+4

=(1—2")(1+/7)+4.由:得：1—2ab21

一廠5'且再216,1+作217，

???原式衿1X17+4=等25(當(dāng)且僅當(dāng)4=4方1時，等號成

1175

立)，，m+))2+3+6)2的最小值是).

變式訓(xùn)練10（2013?威海模擬）已知函數(shù)/（x）=|lgx|,若

氏a）=J（b）且a〈b,貝必+26的取值范圍是（）

A.（2啦，4-°°）B.[2/2,+0°）

C.（3,+8）D.[3,+8）

【解析】:加尸也），A|lga|=|lgZ）|,

??.4=人（舍去），或

2

.??4+26=。+一，又Ovqvb,0<a<1<b,

a

2

令/（4）=q+j易知/3）在（0.1）上為減函數(shù)，

2

?7A。）次1）=1+[=3，即a+26的取值范圍是（3，+8）.

【答案】C

易誤點［11忽視角的范圍致誤

》例（2013?西安模擬）設(shè)tana.tan4是方程f+3

+4=0的兩根，且?！辏ㄒ幻?，夕￡（一名分，則。+夕的值

為（）

A.-?Bjeg或一？D.一鼻或空

【錯解】易得tan（a+0=-3,又aW（一微，分，眸（一

7171、,、11H,八兀12兀

2，2），a+￡n￡（一兀，7T）,從而a+￡=3或一3.

【答案】C

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是沒有充分利用

三角函數(shù)值的符號限制角的范圍，從而產(chǎn)生增解.解決此類

問題時，可根據(jù)三角函數(shù)值的正負判斷角所在的象限，根據(jù)

三角函數(shù)值縮小角的范圍.

【正解】由題意可知

tana+tan/?=—3/3,

tan?tan§=4,

tana+tan僅一3小r

tan(a+^)=

1—tanatanp1-46

又tana+tan4=—3tanatan夕=4>0,

tana<0,tan^<0.

兀、c/兀兀

又a￡（一多力蚱（一5，2），

71Tt

.\ae(--,0),陣L?，0),

...a+SW-兀，0),

2兀

:?a+B=T,

【答案】A

變式訓(xùn)練11已知cosa=1,5-；3cIt

sin(a+/?)=

14，0<a<2，

0<y5<2>求COS夕.

[解】???04與0〈遍,

/.0<a+^<7t.

???/上*"

?sin(a+p)-14<2,

7T2

0〈0+/?<3或3兀<0+/<兀.

又cosa=U4^3

sina—

72'7，

.2TT.??一介H

??cos((X?B)—[4,

cos4=cos[(a+0-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+』)sin

11,5m,4。1

a=F)X/，4X7=2-

圖象變換本質(zhì)不明出錯

12已知函數(shù)/(x)=sinGX+：(x￡R,G>0)的最小

正周期為兀，將y=/(x)的圖象向左平移|夕|個單位長度，所得

圖象關(guān)于歹軸對稱，貝物的一個值是()

7tc3兀71—九

A-2BTC4D8

2TT

【錯解】由題意可知，周期為兀=石,

7T

所以①=2,所以/(x)=sin[2x+aj,

'兀、

平移后函數(shù)變?yōu)椤?0。2x+M+z,

又平移后函數(shù)圖象關(guān)于請由對稱，

7T7T7T_7T

???3+1=4兀M=kGZ,取4=0,(p=&

【答案】C

【錯因分析與防范措施】X軸上的平移變換出錯，平

移對象是x,而不是2x,平移是對、”而言，如果x前有系數(shù)

/\

G，則應(yīng)寫成+2的形式，同時要注意平移變換中的“左

加右減”，否則導(dǎo)致弄錯方向，錯求9=小誤選C.

【正解】由上解，易知/(x)=sin2x+1，平移后函數(shù)

變?yōu)?(x)=sin2x+2|^|+^,

又平移后函數(shù)圖象關(guān)于歹軸對稱，

.,?2|夕|十彳=版+],磔=5+仁AGZ.

7[

取%=o,(p=a

【答案】D

變式訓(xùn)練12將函數(shù)y=sinX的圖象上所有的點向右平

移的個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍

（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

z

/兀

71-snm-一

A.y=sinc_v2X5

\__7t

C.y=sin'1_2LD.y=sin

?一位2”一比

【解析】將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平移

看個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為尸si/x一再，再

11/I1

把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得函

17T

數(shù)圖象的解析式歹=sinQx-1o.

【答案】C

易條件轉(zhuǎn)換不當(dāng)，錯判三角函數(shù)性質(zhì)

》例13（2013南昌模擬）已知函數(shù)/（幻=$皿2^+3）,其中

9為實數(shù)，若加0<；［胃對x《R恒成立，且/（胃>_/（兀），則/（x）的

單調(diào)遞增區(qū)間是（）

7T71

A.kn—y%兀+j（%￡Z）

B.kn>攵兀+?（攵￡Z）

7T2

C.E+z，依+2兀（%￡2）

o5J

n

D.E—2，E（左￡Z）

[錯解】由于/(x)W對X￡R恒成立,

???/:是函數(shù)的最大值，

????=sin]+0)=l,

兀

：?(p=2kn+3kWTL).

(7T\

因此/(x)=sin2x+3,

TTJTTT

由2%兀一5忘2^+4<2%兀+](%￡Z),

7T7T

得版一3WX〈〃兀+6（%￡Z）.

7T7T

丁?/（x）的遞增區(qū)間是E—3,kZ6（k￡Z）.

【答案】A

【錯因分析與防范措施】1.解答本題主要有三個易誤

點：（1）忽視絕對值符號的影響，遺漏/｛胃可能取得最小值一

1.（2）不能準(zhǔn)確使用條件/導(dǎo)致挖掘不出隱含條件sin

（p<0,造成9=2?+聿（％￡Z）的錯解.⑶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間掌

握不牢，錯求區(qū)間.

2.本題求解關(guān)鍵：（1）把對x￡R恒成立，轉(zhuǎn)

化為sin（2x+p）＜sin5+9對x￡R恒成立，從而得到

sin=±1，準(zhǔn)確利用函數(shù)的對應(yīng)法則和正弦函數(shù)的性

質(zhì)，透徹理解絕對值的定義是正確求解的關(guān)鍵.

（2）將/匕＞洪兀）翻譯成sin（7r+9）＞sin（27r+s）,利用誘導(dǎo)

公式便可推出sin8＜0,化抽象為具體是挖掘隱含條件避免

錯誤的有效手段.

【正解】因為當(dāng)x￡R時，小方圈卜亙成立，所以形

伍1_7C5

=sin=±1,因此9=2%兀+大或9=2%兀-

、JyONOC（AWZ）.

嘯|＞刎,

.'.sin（7r+^）＞sin（27r+^）,

則sin9Vo.

515、

二?取0=2%兀-6兀（“￡2）,y（x）=sin[2x一心.

由2E—4兀〈2攵兀+5，

“r?7T?2

得%兀+4〈1遼%兀+3兀(左￡2).

???函數(shù)/)的單調(diào)增區(qū)間是色兀+畜氏+2御(&Z).

【答案】C

(病

變式訓(xùn)練13已知函數(shù)/(x)=sin2Gx—/—4sin%x+a(G

Iw

>0),其圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為兀

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

兀3

(2)設(shè)函數(shù)/(x)在()，2上的最小值為一5，求函數(shù)/(x)(x￡

R)的值域.

—11—COS2Gx

【解】(l)/(x)=_^_sin2Gx-/cos2Gx—4X-

?心?oJ.

+a=2sin2s?十2cos2a)x—2-\-a

=\bsin(2&zx+：+Q-2.

由已知得函數(shù)/(x)的周期/=兀，即方=兀，

/.cy=1,y(x)=Ssin2A?+§+a—2.

7T7T7T

由-5+2EW2X+5W5+2E,得

“兀一工，z￡Z.

57r7T

??1)的單調(diào)遞增區(qū)間為桁一天，既+"(%￡Z).

11

.、[/r,—兀rr_L兀，一?兀-4兀

(2)當(dāng)OWxWj時，彳乏21+\三丁,

?近V.。_4_兀1/

..一5_Wsin[2x十可W1.

7

這時Ax)的最小值為4—5.

73

由已知得。_]=

/、

.*.（7=2,X%）=^/3sin2x+3,

\3）

??貝X)的值域為[-3,6].

解三角形忽視討論致誤_

＞例的在△48。中，角4B,C所對的邊分別為a,

b,c且a=l,c=j3.

jr

(1)若。=水求力；

(2)若力=*求b.

【錯解】(1)在4/&?中，總=薪，

..,asinC1

??sinA勺9

c2

或不.

由，______C_組.「csinz也,廠—工

Q)由sin4—sinC,何sinC一—2'*,C~V

由。=大知3=5,b—\^cTc~—2.

【錯因分析與防范措施】在第(1)問中，沒有注意到

這個條件，是出錯的根本原因.由于4VC,必有力＜。，所

以力一定是銳角.在第(2)問中，由于。4所以?？梢允卿J

角，也可以是鈍角.在解決此類問題時應(yīng)注意兩點：①三角

形內(nèi)角和為兀②比較兩邊的大小關(guān)系.

【正解】⑴由正弦定理得癮=凝，

即sin力=4S?C=；.

Tl兀

又F."<C,???0<金，?.?4=0

,a_____c__/旦.csin4"馬6

（2）由而1=而下'得sin「=："=—1—=2'

.??C=W或爭.

當(dāng)C=j時，8=5，:.b=2；

當(dāng)。=產(chǎn)時，B=?,：.b=\.

Jo

綜上所述，力=2或8=1.

變式訓(xùn)練14已知平面上三點4B,C,向量比=(2—

A.3),衣=(2.4).

(1)若三點4B,。不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)人應(yīng)滿足的

條件；

(2)若△45C為直角三角形，求%的值.

【解】(1)由三點力，B,。不能構(gòu)成三角形，得4

B,。在同一直線上，即向量比與充平行，

,CBC//AC,???4(2—%)—2X3=0,解得％=,

(2)???欣=(2—￡3),：.CB=(k-2f-3),

：.AB=AC+CB=(k,\).

??,△"C為直角三角形，

則當(dāng)N員4C是直角時，ABLAC,即春?充=0,

?,?2%+4=0,解得左=一2；

當(dāng)N43。是直角時，ABLBC,

即施?反=0,

???*一2-3=0,

解得%=3或左=—1；

當(dāng)N4C3是直角時，ACLBC,

即充撫二0,

???16—2%=0,解得％=8.

綜上得女￡{一2,—1,3,8}.

易誤短國忽視兩向量夾角為o或兀致誤

》例15設(shè)兩個向量0,七，滿足修|=2,|匐=1，白與G

的夾角為.若向量2/4+7七與勺+七的夾角為鈍角，求實數(shù)/

的取值范圍.

［錯解】?.*2/勺+70與e1+%的夾角為鈍角，

（2te\+7七）'（《1+k2）<°，

.\2/2+15/+7<0,解之得：一7<7<一；，

?1的取值范圍為（一7,一；）.

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是誤認為〃與〃夾

角為鈍角

一般地，向量。，力為非零向量，。與。的夾角為仇則①0

為銳角o”力>0且。，力不同向；②6為直角=。力=0；③。為鈍

角0僅6<0且〃力不反向.

(正解】?/2回+702與6+%2的夾角為鈍角，

(2?+7c2>(6+拒2)<°且2/約+7GH-/e2)(2<0).

由(2%i+7/),(約+憶2)<0得2,+15/+7<0,

—7?v—另.若2超1+7?2=2(約+/e2)(2<0),

則(2z-/1)&+(7—譏)七=0.

2/-2=0,日n巫

即尸一

7-4=0,

的取值范圍為（一7,—咽U[—乎,

?問：1.直線的傾斜角，直線與平面、異面直

線、二面角等角的范圍？___

?2.設(shè)Z與B均為非零向量,展=2￡-瓦

—?—*—?—?—?

d=3a-2b,c,d

變式訓(xùn)練15已知同=1,\b\=2,〃與力的夾角為120。，

求使〃+協(xié)與h+〃的夾角為銳角的實數(shù)%的瞿值范圍.

【解】〃=|Q?|COS120°=2X(—-)=—1,

又,.,〃+%力與公/+8的夾角為銳角，

，(。+助)(%〃+。)>0且.+助W4A〃+A)(A0).

5—^2T

又???(“+%〃)(%〃+〃)>(),得尸一5%+lvO,解得一$—

若a+kb=，(ka+b),解得％=1,

??/的取值范圍為"巨，羽誓

易誤點16|運用“4=S”〃一S“—r時遺漏條件“生2”致誤

》例；已知數(shù)列｛0,｝對任意的〃WN*都滿足0+2勿+22的

+…+2'10,=8—5〃，則數(shù)列｛%｝的通項公式為

【錯解】?.,。［+2。2+22。3+3+2"%〃=8—5〃,

+242+2%+…+2"%〃-i=8-5(〃-1)?

兩式相減，得2"-%〃=一5,

??__-5

**On-2〃一1,

—5

【答案】

【錯因分析與防范措施】當(dāng)〃=1時，由題中條件可得

0=3,而代入錯解中所得的通項公式可得6=—5,顯然是

錯誤的.其原因：兩式相減時，所適用的條件是〃22,并不

包含〃=1的情況.本題實質(zhì)上已知數(shù)列｛劣｝的前〃項和求

通項為與S〃的關(guān)系中，a?=S,-Sn-x,成立的條件是力22,求

出的4〃中不一定包括。1，而0應(yīng)由0=S求出，然后再檢驗0

是否在0,中，若適合，則寫成統(tǒng)一的式子，否則斯=

S(〃=l),

S〃一SLI("22).

【正解】當(dāng)〃22時，由于0+242+22的+…+2〃7為

8—5〃，

2=

那么。1+2。2+2%3+…+2"an-iS—5(n—1)?

兩式對應(yīng)相減可得2〃匕=8—5〃一[8-5(〃-1)]=一5,

所以-2'口.

而當(dāng)〃=1時，a[=3￡21-1=-5,

所以數(shù)列的通項公式為

3,〃=1,

2〃-1，

變式訓(xùn)練16(2013?煙臺模擬)已知數(shù)列｛%｝滿足0=1,

a?=ai4-2a2+3a34-----卜(〃-則數(shù)列｛4｝的通項

公式為.

_

【解析】???07=0+2。2+3。31----F(〃—1)0L

I(〃22),

=0+2G+3的+…+〃。〃，

：.a,)+\-atl=na?,

，a〃+i=(〃+1)。〃(〃22)，

如^=〃+1(〃22).

乂0=1,??生

.a?a-aa

??nx????3?2

a“-1?！?2°2

=n\n-I).....31

n!

二r，

1,n=\

??ctn='n!

R'〃22.

1,n—\

【答案】a=\n\

n［丁心2

易誤點17］忽視對等比數(shù)列中公比的分類討論致學(xué)

卜例已知四個數(shù)成等比數(shù)列，其積為1,第二項與第

三項之和為一；3，求這四個數(shù).

【錯解】設(shè)這四個數(shù)為的r,aq)aq,aq\顯然［?

為公比，

'/=1,①

由題意得｛/工、34

優(yōu)〃+夕)=-?、?/p>

13

由①得a=±l,代入②得;;+q=土亍

夕|22,?,?此題無解.

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是這四個數(shù)的設(shè)

法錯誤，因為此設(shè)法使公比為/,這就限制了公比只能大于

0,從而導(dǎo)致失根.在解決此類問題時，一定要考慮公比為1

和不為1,公比為正和為負的情況，即要根據(jù)題意對公比進

行討論.

【正解】法一(1)當(dāng)所求等比數(shù)列的各項同號時，由

上述解法知，此時無解.

(2)當(dāng)所求等比數(shù)列的各項異號時，設(shè)這個數(shù)列的前四項

依次為的\—aq、,aq,~aq3,

a4=1,①

則有L1、36

a(q_/=F②

a=±\,③

得412+|。—Q=O④

把a=l代入④，得q?+羽一1=0,

解得夕=5或9=一2；

把a=-1代入④，得q?一力一1=0,

解得夕=一；或1=2.

111

-或-

綜上，可求得四個數(shù)為：8,-2,8-82-

2,8.

把4=1代入④，得T+力—1=0,

解得或夕=—2；

把a=-1代入④，得夕?一月一1=0,

解得q=一；或9=2.

111

綜上，可求得四個數(shù)為：8,-2,8或-82-

2,8.

法二設(shè)這四個數(shù)為。，aq,aq\*則由題意知:

洲6=1,①

《3

的(1+[)=—2,②

尋[3=±1,③

得《V(l+q)2=*④

把詞2=：代入④，得/—%+1=0,此方程無解；

117

把/如二一，代入④，得始+了,+1=0,

q-

解此方程得q=—1或1=-4.

當(dāng)夕=一；時，4=8；當(dāng)夕=-4時，67=—1.

所以這四個數(shù)為：8,-2,一：或一:，—2.8.

zooz

變式訓(xùn)練17各項均為實數(shù)的等比數(shù)列｛卬｝的前〃項和

為S〃，若Sio=10,030=70,則S40等于（）

A.150B.-200

C.150或一200D.400或一50

【解析】記瓦=Sio,b?=S20-5io，63=830-S20，回=

&0-S30,

b、,b2,仇，也是以公比為r=，°>0的等比數(shù)歹I」.

，仇+62+仇=10+10廣+1。戶=530=70,

.*.r2+r—6—0?

???r=2,廠=一3(舍去)，

,,,10(1-24)

??S4o=6]+62+63+64=-j—2—=150.

【答案】A

誤點18|類比不當(dāng)致誤

》例在平面上，設(shè)九，hb，兒是三角形力8C三條邊上

的高，尸為三角形內(nèi)任一點，。到相應(yīng)三邊的距離分別為七,

Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：7+?+*=1.把它類比到空

間中，寫出三棱錐中的類似結(jié)論：.

【錯解】△48。三邊上的高類比到三棱錐中是過三棱

錐的各頂點及其底面對應(yīng)高的截面面積，三角形內(nèi)一點到相

應(yīng)三邊的距離類比到三棱錐中就是過三棱錐內(nèi)一點向各個面

做垂面，垂面的面積.設(shè)三棱錐,4—武力過各底面的高的截

面面積分別為邑，Sb，Sc，Sd，夕為三棱錐4—8。。內(nèi)任一

點，過點〃的與相應(yīng)底面垂直的截面面積為S'°,S"

s'c，s,小則有*+(+*+￥=1?

□a4b5

【答案】三棱錐J—過各底面高的截面面積分別

為Sb，Sc，S”.點P為三棱錐力一8CQ內(nèi)任一點，過點P與

相應(yīng)底面垂直的截面面積分別為S'a，S'卜S'c，S'd，

cz7

我們可以得到結(jié)論：中+T=i

【錯因分析與防范措施】從平面到空間的類比時缺乏

對應(yīng)特點的分析，在三角形中是其內(nèi)一點到各邊的距離與該

邊上的高的比值之和等于1,類比到空間就應(yīng)該是三棱錐內(nèi)

一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1.本題如果

不考慮比值的特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比

等，從而得到一些錯誤的類比結(jié)論.

【正解】設(shè)兒，hb，兒，加分別是三棱錐J—BCQ四個

面上的高，。為三棱錐4-3CQ內(nèi)任一點，。到相應(yīng)四個面的

距離分別為九，Pb，Pc，Pd，于是我們可以得到結(jié)論：g+

"a

竺+2+為=1

【答案】空間中，設(shè)兒，心，hc,自分別是三棱錐

4—BCD四個面上的高，P為三棱錐,4—8CZ）內(nèi)任一點，P到

相應(yīng)四個面的距離分別為Pb，幾，Pd，于是我們可以得

到結(jié)論

變式訓(xùn)練18已知等差數(shù)列短〃｝中，有陽+勺亮…

=取+倏.??十。亞,則在等比數(shù)列｛兒｝中，會有類似的結(jié)

論：.

【解析】等差數(shù)列中的加法對應(yīng)等比數(shù)列中的乘法，

等差數(shù)列中的除法對應(yīng)等比數(shù)列中的開方，據(jù)此我們可類比

得到19,如仇2…620=3&…仇0?

【答案】仇仍12…仿0=3?/仇慶…仇0

三視圖識圖不準(zhǔn)致誤

》例19如圖1是一個幾何體的

三視圖，試根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù),

并說明幾何體中的主要數(shù)據(jù)，求該

幾何體的側(cè)面積及體積.

圖1

【錯解】由三視圖知該幾何體是一個正四棱錐，其底

面邊長是4,

側(cè)棱長是5,則正四棱錐的高為師，斜高為

故其側(cè)面積為S側(cè)=4X；X4X21=821,體積為/=；

X42XV17=16^.

【錯因分析與防范措施】錯誤的原因是把正四棱錐的

斜高當(dāng)成正四棱錐的側(cè)棱長，導(dǎo)致計算失誤.

在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正視圖和俯視圖

為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮.

當(dāng)正四棱錐的俯視圖是一個正方形及其對角線時，其主

（正）視圖的.三角形的腰是正四棱錐的斜高，而不是其側(cè)棱

長.

【正解】由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個正四

棱錐，其底面邊長是4,斜高是5,則正四棱錐的高是歷，